Учебное пособие 1920
.pdfА. А. Катрахова, В. С. Купцов, Е. М. Васильев
СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ
И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Курс лекций
Воронеж 2019
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
А. А. Катрахова, В. С. Купцов, Е. М. Васильев
СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Курс лекций
Воронеж 2019
УДК 517.53 (075.8) ББК 22.1я7
K29
Рецензенты:
кафедра математического и прикладного анализа Воронежского государственного университета
(зав. кафедрой д-р физ.- мат. наук, проф. А. И. Шашкин); д-р техн. наук, проф. Н. Д. Вервейко
Катрахова, А. А.
Спецглавы математики и их приложения к задачам К29 электромеханики и теории управления: курс лекций / А. А. Катрахова, В. С. Купцов, Е. М. Васильев; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический
университет». – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. - 268 c.
ISBN 978-5-7731-0802-3
В издании содержится теоретический материал и задачи по дисциплине «Спецглавы математики».
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 27.03.04 «Управление в технических системах», 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» (все профили).
Ил. 90. Табл. 48. Библиогр.: 14 назв.
УДК 517.53 (075.8) ББК 22.1я7
Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0802-3 Катрахова А. А., Купцов В. С.,
Васильев Е. М., 2019
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019
2
ВВЕДЕНИЕ
Курс лекций содержит теоретический материал и задачи по дисциплине «Спецглавы математики».
Содержание данной работы соответствует программе курса математики для бакалавров инженерно-технических специальностей вузов, утвержденной Министерством науки и высщего образования Российской Федерации в соответствии с
новыми образовательными стандартами.
Издание состоит из трех частей: уравнения математической физики, элементы вариационного исчисления и элементы
дискретной математики.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1.1. Уравнение колебаний струны
Пусть струна закреплена на концах (рис. 1.1). Струной называется тонкая нить (без сопротивления при изгибе и с неменяющейся длиной). Сила натяжения Т(x) струны будет определяющей, и не учитывается сила тяжести струны.
Рис. 1.1. Схема струны, закреплённой на концах
В положении равновесия струна направлена по оси Ох. Рассматриваются поперечные колебания струны (движение струны будет в одной плоскости m, и точки струны перемещаются вдоль оси Оu) (рис. 1.1).
3
Пусть u(х, t) - перемещение точек струны из положения равновесия. Рассматриваются малые колебания струны, при
этом u(х, t) и производная ди будут малыми (их квадратами и
дх
произведениями можно пренебречь).
Рассмотрим участок (х1, х2) (рис. 1.1). Струна имеет в этом случае положение М1,М2, и ее длина в момент времени t:
x2
S 1 ux2 dx x2 x1 S.
x1
Для малых колебаний участков струны не будет удлинений. По закону Гука натяжение Т для точек струны не меняется со временем. Будем рассматривать в этом случае поперечные колебания струны. Силы инерции и внешние силы будут параллельны оси Оu. Проекция сил на ось Ох будет T x1 cos x1 T x2 cos x2 0 (α(х) - угол между касательной в точке с абсциссой х к струне с положительным направлением оси х). Имеем
cos x |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 и T(x1)≈T(x2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 tg2 x |
|
|||||||
|
|
1 ux2 |
Проекция на ось Оu сил натяжения для точек М1 и М2 равняется Y T0 sin x2 sin x1 , и так как
|
sin x |
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|
u |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 tg2 x |
|
1 u2 |
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
то |
Y T |
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
x x x |
2 |
|
|
x x x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
x2 |
2u |
|||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
||||||||||||||
|
|
x x x |
2 |
|
x |
x x |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4
x2 2u
Имеем Y T0 dx.
x1 x2
Пусть р(х,t) - внешняя сила струны (направлена вдоль оси Оu и меняется по длине). Проекция на ось Оu этой силы на участке М1М2 струны равна
x2
p x,t dx.
x1
Введем ρ(х) линейную плотность струны. Сила инерции участка М1М2 струны
x2 |
|
2 |
|
x |
u |
dx . |
|
|
2 |
x1
t
Из условия равновесия струны проекция всех сил на ось Оu на участке М1М2 струны равна нулю:
x |
|
|
|
2 |
u |
|
|
2 |
u |
|
p x,t |
|
T |
|
x |
|
|
||||||
x2 |
t |
|
|||||||||
|
0 |
|
2 |
|
|||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 0.
И так как х1 и х2 произвольны, то подынтегральная функция равна нулю в произвольный момент времени t:
x |
2u |
T |
2u |
p x,t . |
t2 |
|
|||
|
0 x2 |
|
Получим уравнение колебаний струны.
При ρ=const для однородной струны уравнение имеет вид
|
|
|
|
|
2u |
|
a2 |
2u |
f x,t . |
||
|
|
|
|
|
|
t2 |
x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где a |
T0 |
|
, f (x,t) |
p x,t |
. |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если р(х,t)=0, имеем свободные колебания струны и
2u |
a |
2 |
2u |
. |
t2 |
|
x2 |
||
|
|
|
5
Уравнение будет иметь бесчисленное множество частных решений. Необходимы дополнительные условия, определяемые физическим смыслом задачи. В начальный момент времени (t=0) зададим положение и скорость точек струны:
u |
|
t 0 |
0 |
x , |
u |
|
|
t 0 1 x . |
|
|
|||||||
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия будем называть начальными условиями. Для ограниченной струны задаются условия на ее концах. Если стру-
на закреплена, то на концах u x 0 0, u x l 0 при t ≥ 0, и это
будут краевые или граничные условия.
Можно также исследовать колебания полубесконечной или бесконечной струны (один или оба конца бесконечны).
Для первого случая граничное условие u x 0 0, а для второго
случая граничных условий не будет, а начальные функции будут φ0(х) и φ1(x) для всех 0≤x<∞ или для всех ∞< х <∞.
1.2.Решение задач о колебаниях бесконечной
иполуограниченной cтруны (метод Даламбера)
А. Рассмотрим бесконечную струну (в состоянии равновесия она совпадает с осью Ox (- <x< )) . В начальный момент времени t 0 для точек струны задаются начальные отклонения и начальные скорости. Найдем отклонение
от положения равновесия точки x |
в момент времени t. Най- |
||||
дем функцию u(t, x) из уравнения |
|
|
|||
|
2 u (t, x ) |
a 2 |
2 u (t, x ) |
|
|
|
|
|
|||
|
t 2 |
x 2 |
для x ( , ), t 0 и начальных условий
u(t,x) t 0 (x),
u(t,x)
t 0 (x),t
6
где (x) - начальное отклонение; |
(x) - начальная скорость |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки x при t 0. |
У струны нет граничных точек, поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нет граничных условий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Запишем основное уравнение в новых независимых пе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ременных x at , |
|
x at. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
u |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2u |
|
2 |
|
|
2u |
|
|
|
2u |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Также можно найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
2 |
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
2u |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставим |
|
|
2u |
|
и |
|
|
2u |
|
|
в основное уравнение. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
t2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для функции |
|
|
u( , ) получим дифференциальное урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нение |
2u( , ) |
0 , |
или |
|
|
|
|
u( , ) |
0. |
Решение его будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u( , ) C( ), или u( , ) C1( ) C2 ( ), где C1( ),C2 ( )- про-
извольные функции от одной переменной.
Решение нашего уравнения можно представить в виде u(t,x) C1(x at) C2(x at), и теперь необходимо найти функ-
ции C1( ),C2 ( ) так, чтобы были выполнены начальные усло-
вия. Для вычисления функций C1( ),C2 ( ) имеем систему уравнений
С1(x) C2 (x) (x);
a C1(x) C2 (x) (x).
Интегрируя второе уравнение в пределах от 0 до x , получим:
7
C1(x) C2(x) (x);
|
|
|
1 x |
||
|
|
|
|||
C1 |
(x) C2 |
(x) |
|
(z)dz A. |
|
a |
|||||
|
|
|
0 |
Из этой системы уравнений имеем:
C (x) |
(x) |
|
|
1 |
x |
(z)dz |
|
A |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
2a |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
C2 |
(x) |
(x) |
|
1 |
x |
(z)dz |
A |
. |
||||||
|
2a |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Решение задачи о колебаниях бесконечной струны будет:
u(t, x) C1 (x at ) C2 (x at )
|
(x at ) |
|
|
1 |
x at |
|
|
|
|
|
(x at ) |
|
|
1 |
|
x at |
|||||
|
|
|
|
(z)dz |
|
|
|
(z)dz |
|||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
2a |
|||||||||||||||
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x at ) (x at ) |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
x at |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z)dz |
|
(z)dz , |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
2a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(x at) (x at) |
|
1 |
|
x at |
|
|
|||||||||
|
|
u(t,x) |
|
|
(z)dz. |
||||||||||||||||
|
|
|
2a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x at |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула называется формулой Даламбера.
Физическая интерпретация формулы Даламбера
Два частных случая колебания бесконечной струны:
1) для колебаний выполнено: начальное отклонение
(x) , начальные скорости (х) 0 ;
2)начальные отклонения (х) 0 , начальные скорости
(х) 0 .
8
В первом случае решением задачи будет выражение
u(t,x) (x at) (x at) . 2
x
x
Рис. 1.2. Начальная форма струны
x
x-at |
x |
x+at |
Рис. 1.3. Форма струны в момент времени t
Если начальная форма струны имеет вид (рис. 1.2), то в момент времени t форма струны будет (рис. 1.3).
Т. е. возмущение струны для точки x распространяется вправо и влево со скоростью a по величине в два раза меньше. При прохождении полуволны точки струны возвращаются в положение равновесия. Отклонение точки x в момент времени t вычисляется сложением отклонений точек x at и x at в начальный момент времени (уменьшенные вдвое).
Во втором случае решение задачи имеет вид:
|
1 |
x ax |
|
1 |
(x at) (x at) , |
|
u(x,t) |
(z)dz |
|||||
2a |
|
|||||
|
x ax |
|
2a |
|||
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
||
где (x) (z)dz - первообразная функции (x). |
||||||
|
|
|
|
|
||
Пусть график функции |
(x) имеет вид, показанный на |
|||||
рис.1.4. |
|
(x) получит вид, представлен- |
||||
Тогда график функции |
||||||
ный на рис. 1.5. |
|
|
|
|
9