Учебное пособие 1613
.pdfl 24 C1 5C2 9x l C1 x l 2 x2 2lx 3l2
0
C2 x l 3 3x2 4lx 3l2 3x x l 3 3x2 4lx 3l2 dx 0.
Интегрируя эту систему при l 1, получим
26, 07C1 33,36C2 0, 72;
31, 05C1 25, 74C2 1, откуда C1 0,0407; C2 0,0102.
Окончательно будем иметь
y2 0, 0407 x 1 2 x2 2x 3 0, 0102 x 1 3 3x3 4x 3 .
14.9. Найти упругую линию равномерно загруженной нагрузкой p балки-полоски единичной ширины,
дифференциальное уравнение изгиба которой имеет вид
|
|
|
|
|
Dw |
IV |
|
p. |
|
|
|
|
|
|
Tw |
||
Здесь D |
|
Eh3 |
|
— цилиндрическая жесткость балки- |
||||
|
|
v2 |
|
|||||
|
12 1 |
|
|
|
|
|
полоски, E — модуль упругости, v — коэффициент Пуассона, h — толщина полоски, T h — продольная сила,— напряжение, действующее в срединной поверхности, считаемое положительным при растяжении.
Граничные условия: а) балка-полоска свободно оперта на жесткие опоры w w 0 при z 0 и z l; б) балка-полоска
жестко заделана по концам w w 0 при z 0 и z l. Решение. а) Расположим начало координат на опоре (рис.
1.11).
Рис. 1.11
111
Воспользуемся методом Бубнова-Галёркина. Представим искомую упругую линию в виде ряда
w k Ck sin k l z
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям. Подставляя решение в дифференциальное уравнение,
получим
L k D kl 4 T kl 2 Ck sin k l z P 0.
|
Умножая функцию |
L |
|
на |
|
|
|
sin |
n z |
|
и учитывая, что при |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрировании по длине балки-полоски |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
sin k z sin |
n z |
|
dz 0 |
при k n; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l |
sin2 |
n z |
dz |
|
l |
|
|
|
|
при k n, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
n z |
|
C |
l |
|
|
|
n 4 |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
l |
|
|
|
n z |
|
|
||||||||||||||||
|
L sin |
|
dz |
n |
|
D |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
p |
|
sin |
|
|
|
|
dz |
0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
n z |
|
|
|
2l |
|
, |
|
|
n 1,3,5,... |
|
||||||||||||||||||||
|
Поскольку sin |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
n 2, 4,6,... , |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
то окончательно получим |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
4 |
|
k 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
Здесь следует иметь в виду, что k n. Таким образом упругая линия балки-полоски имеет вид
112
|
|
|
4 p sin |
|
k z |
|
|
|
|
|
||||
w |
|
|
|
l |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
k |
|
4 |
|
k |
|
2 |
|
||||||
|
k 1,3,5,... |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k |
D |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
б) Решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, представим в виде ряда
Подставляя w
L 1 D 2 k
w |
Ck |
cos |
2k z |
||
|
1 |
|
. |
||
|
|
||||
k |
2 |
|
l |
в дифференциальное уравнение, получим
2k 4 |
|
2k 2 |
|
2k z |
|
||
|
|
T |
|
|
Ck cos |
|
p 0. |
|
|
l |
|||||
l |
|
l |
|
|
Умножим функцию |
|
L |
на |
|
|
1 cos |
2n z |
|
|
|
и |
воспользуемся |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n z |
|
|
||||||||||
методом Бубнова-Галёркина L |
1 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
dz 0. |
Учитывая, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n , |
l |
2k z |
|
|
|
l |
|
|
2k z |
|
|
|
|
2n z |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||
cos |
dz 0; |
cos |
cos |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
k |
n , |
||||||||||||||||||||
l |
|
l |
|
|
|
|
l |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2n z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
cos |
|
|
|
|
|
|
dz pl, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
2n |
4 |
|
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
C |
n |
pl 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку n k, то имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
4 |
|
|
2k |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, упругая линия рассматриваемой балкиполоски имеет вид
113
|
|
|
|
cos |
2k z |
|
|
|
||||
|
|
p 1 |
|
l |
|
|
|
|
||||
w 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2k |
4 |
|
|
2k |
2 |
|||||
k |
|
|
|
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.10. Найти решение уравнения равновесия свободно опертой балки-полоски, выделенной из цилиндрической поверхности радиуса R
D d 4 w |
p |
d 2 w |
|
p |
|
|
q |
, |
|
h dy4 |
dy2 |
R |
h |
||||||
|
|
|
|
||||||
где h — толщина балки-полоски; |
|
p — сжимающее |
напряжение от нагрузки q , приложенной со стороны
выпуклости.
Решение. Поскольку балка-полоска свободно оперта, то w wyy 0 при y 0 и y b.
В качестве первого приближения выражение для прогиба w, удовлетворяющее граничным условиям, примем в виде
w f sin by .
Воспользуемся методом Бубнова-Галёркина
b Y sin y dy 0,
0 b
где
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
Y |
D d |
|
w4 |
hp d |
|
w2 |
|
|
q. |
|
|
|
R |
||||||||
|
dy |
dy |
|
|
|
|||||
Подставляя сюда значение прогиба w |
||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Df |
|
|
5 |
|
phf |
|
|
3 |
p |
h |
q |
||||
|
|
4b4 |
|
|
|
4b2 |
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
ph |
|
|
|
|
||
или |
|
f |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
2 |
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 D ph |
|
|
||||
|
|
|
|
|
4b |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
и интегрируя,
0
114
|
|
|
q |
ph |
y |
|||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||
Таким образом, w |
|
|
|
|
|
sin |
b . |
|||
3 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
D |
|
|
2 |
ph |
|
||
|
4b |
2 |
b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.15. Системы дифференциальных уравнений
1°. Метод исключения. Рассмотрим нормальную систему
дифференциальных уравнений |
|
|||
|
dx1 |
|
f1 t, x1, x2 ,..., xn , |
|
|
dt |
|
|
|
|
dx2 |
|
f2 t, x1, x2 ,..., xn , |
|
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
……………………….. |
(1) |
|||
|
dxn |
|
fn t, x1, x2 ,..., xn , |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
здесь x1, x2 ,..., xn — неизвестные функции, t — независимая
переменная.
Система уравнений (1) может быть сведена к одному дифференциальному уравнению n-го порядка с одной неизвестной функцией. Для этого необходимо продифференцировать одно уравнение и с помощью другого исключить одну неизвестную функцию. Затем еще раз продифференцировать и исключить другую неизвестную функцию и т. д. Таким образом, решение сводится, как правило, к интегрированию одного уравнения n-го порядка
xi n P1xi n 1 ... Pn xi Q.
Остальные n 1 неизвестные функции находятся из общего интеграла xi xi t,C1,C2 ,...,Cn этого уравнения путем
дифференцирования и алгебраических действий.
Для нахождения частного решения системы (1) (задача Коши) необходимо иметь n начальных условий
x1 t0 a1, x2 t0 a2 ,..., xn t0 an .
115
Постоянные интегрирования C1,C2 ,...,Cn находятся подстановкой начальных условий при t t0 в общее решение
системы.
2°. Метод интегрируемых комбинаций. Суть метода заключается в такой комбинации уравнений системы, которая дает возможность получить легко интегрируемые уравнения.
Линейные системы, содержащие дифференциальные уравнения высших порядков, также можно посредством дифференцирования и комбинации уравнений свести к одному уравнению.
Методом интегрируемых комбинаций решаются системы
вида |
dx1 dx2 |
... dxn |
|||||
|
|||||||
или |
X1 |
X2 |
|
Xn |
|||
|
|
|
|
|
dxn |
|
|
dx1 |
X1, |
dx2 |
X2 , ..., |
|
Xn . |
||
|
|
||||||
dt |
|
dt |
|
|
dt |
Умножая на подходящие множители и складывая, иногда удается получить уравнение, содержащее только две
переменные xi , xj . Интегрируя это уравнение, находим один из n 1 интегралов системы f xi , xj C.
15.1. Решить систему уравнений:
dx 3x y 0,
dt
dy x y 0,dt
при t 0, x 1, y 1.
Решение. Продифференцируем по t первое уравнение
d 2 x |
3 |
dx |
|
dy |
0. |
|
dt2 |
dt |
dt |
||||
|
|
|
116
Исключая с помощью второго уравнения dydt и y с
помощью первого уравнения системы, получим
d 22x 4 dx 4x 0. dt dt
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка.
Корни характеристического уравнения кратные k1,2 2. Следовательно, общее решение для x будет x C1 C2t e 2t . Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для y C1 t 1 C2 e 2t .
Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями. При t 0, x 1 имеем
C1 1. При |
t 0, y 1 |
имеем 1 1 C2 , C2 2. |
Следовательно, частное решение имеет вид
x 1 2t e 2t ,y 1 2t e 2t .
15.2. Решить системы:
|
|
|
|
dx |
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dx |
x |
2 |
xy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4x |
4x y 0, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
а) |
dy |
z, б) |
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
y 4 y |
4 y 25x 16et . |
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
dy |
xy y |
2 |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x; |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение, а) Дифференцируем |
по t |
первое |
уравнение |
|||||||||||||||||
|
d 2 x |
|
dy |
. |
Подставляя сюда второе, получим |
d 2 x |
z. Еще раз |
|||||||||||||||
|
dt2 |
|
dt |
dt2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
продифференцируем полученное |
уравнение |
по |
|
t : |
d 3 x |
|
dz |
. |
||||||||||||||
|
dt3 |
dt |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
d 3 x x 0. dt3
Таким образом, задача свелась к однородному линейному уравнению третьего порядка относительно x. Решение этого уравнения имеет вид
|
|
|
|
|
x C1et |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
C2 cos |
|
|
|
|
|
t C3 sin |
|
|
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее решение для y находим |
|
|
дифференцированием |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первого уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y C1et |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
2 |
C2 |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
t C3 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
2 |
C2 cos |
|
|
|
|
t |
C3 sin |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
C et e 2 |
|
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
3 C |
|
|
cos |
|
|
2 |
|
|
t |
|
2 |
|
C |
|
|
|
3 C |
|
|
sin |
2 |
t . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Общее |
решение |
|
|
|
для |
|
|
|
находим |
|
|
из |
|
|
|
второго |
|
|
|
уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z C et |
e |
2 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
3 |
C |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
C |
|
|
3 C |
|
|
|
|
cos |
|
|
t |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
б) Воспользуемся методом интегрируемых комбинаций. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сложим первое и второе уравнения |
|
|
|
d x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx dy |
x2 |
2xy y2 |
или |
x y 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Откуда |
|
d x y |
|
dt, |
|
|
|
1 |
|
|
t C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x y 2 |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Теперь разделим первое уравнение на второе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x x y |
|
|
или |
|
|
|
|
dx |
|
x |
, |
|
|
x C2 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
Исключая из решений сначала y , а затем x , получим
общее решение
x C2 1C2t C1 , y C2 11 t C1 .
в) Из |
первого |
уравнения находим, что y x 4x 4x. |
|||
Вычислим |
производные: |
|
y x 4x 4x и y x IV 4x 4x. |
||
Подставляя y, y и y |
во второе уравнение, получим |
||||
|
|
d 4 x |
8 |
d 2 x |
9x 16et , |
|
|
dt4 |
|
||
|
|
|
dt2 |
т. е. задача свелась к линейному неоднородному уравнению четвертого порядка. Находим корни характеристического
уравнения, |
соответствующего |
однородного |
уравнения |
||||||||
k1,2 3, k3,4 |
i. Решение однородного уравнения будет |
|
|||||||||
|
|
|
u C e3t C |
e 3t C cos t C |
4 |
sin t. |
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Частное |
решение |
неоднородного |
уравнения |
x1 ищем |
в |
||||||
виде |
x Aet . |
Подставляя x |
в неоднородное |
уравнение |
|||||||
|
1 |
|
A 1. |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
находим, что |
Таким образом, |
общее решение для |
|||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x et C1e3t C2e 3t C3 cos t C4 sin t.
Подставляя x, x и x в первое уравнение системы, находим общее решение для y
yet C1e3t 25C2e 3t C3 3cos t 4sin t C4 3sin t 4 cos t .
15.3.Решить систему:
а) |
dx |
|
dy |
|
|
dz |
; б) |
dx |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dz |
. |
|
|
x3 3xy2 |
2 y3 |
|
2 y2 z |
z y |
|
x z |
|
y x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
а) |
|
Уравнение |
|
|
dy |
|
|
dz |
|
или |
dy |
dz |
||||||
|
|
|
2 y3 |
2 y2 z |
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
представляет интегрируемую комбинацию и имеет решение y C1z.
119
Рассмотрим |
|
теперь |
|
|
уравнение |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dy |
|
и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 3xy2 |
2 y3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
представим |
|
его |
в |
виде |
|
|
dx |
|
|
|
1 x3 |
|
|
3x |
. |
Это |
однородное |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
2 |
|
|
y3 |
|
2 y |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнение первого |
порядка. Пусть x — функция, y |
— |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
независимая |
|
переменная. |
|
|
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
заменой |
|||||||||||||||||||||||||
x ty, xy t yty , |
тогда второе решение будет иметь вид |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t y |
|
|
|
2 t |
|
|
2 t |
, |
|
|
|
|
|
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dy |
|
t t2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ln t |
2 |
ln t |
2 |
1 ln |
|
C2 y |
|
, |
|
t2 |
|
C2 y, |
|
x2 |
|
|
C2 y. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t2 1 |
|
x2 y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
б) Сложим все числители и знаменатели |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
dz |
|
|
dx dy dz . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
z y |
x z |
|
y x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда |
|
получим, |
|
|
|
что |
|
|
|
dx dy dz d x y z 0. |
Следовательно, первый интеграл системы будет x y z C1.
Чтобы получить второй интеграл системы, умножим числители и знаменатели, соответственно, на 2x, 2 y, 2z и
сложим числители и знаменатели. Тогда будем иметь
|
2xdx |
|
2ydy |
|
2zdz |
|
2xdx 2ydy 2zdz |
. |
|
|
2x z y |
2y x z |
|
2z y x |
0 |
||||
Отсюда |
|
dx2 dy2 |
dz2 d x2 |
y2 z2 0. |
|
Таким образом, второй интеграл системы примет вид
x2 y2 z2 C2 .
Нетрудно заметить, что первый интеграл системы дает семейство плоскостей, а второй — семейство сфер.
120