Учебное пособие 1613
.pdfгде y0 y x0 , y x0 f x0 , y0 , а дальнейшие производные y x0 , y x0 ,... находятся последовательным дифференциро-
ванием исходного уравнения и заменой в них х на х0. Аналогично при помощи степенных рядов решаются уравнения высших порядков. Следует заметить, что при интегрировании уравнений посредством степенных рядов необходимо следить за сходимостью полученных рядов.
3°. Приближенное интегрирование уравнений методом Бубнова-Галёркина. В общем случае приближенное решение ищем в виде ряда
|
n |
|
|
y ci i x , |
(3) |
|
i 1 |
|
где c |
- неопределенные коэффициенты, подлежащие опреде- |
|
i |
i x - некоторые, наперед |
|
лению, |
заданные функции, |
удовлетворяющие граничным условиям.
Для того, чтобы функция (3) являлась точным решением дифференциального уравнения, необходимо, чтобы уравнение тождественно удовлетворялось при подстановке в него решения, а это требование равносильно требованию ортогонально-
сти по п функциям системы i x |
i 1, 2,..., n |
|
|
b |
X x, y i x dx 0 , |
(4) |
|
a |
|
|
|
где X(x,y)- дифференциальный оператор уравнения. Неопределенные коэффициенты ci находятся из решения
системы (4).
14.1. Проинтегрировать уравнение y 2 y x .
Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда y a0 a1x a2 x2 ... an xn ...
Отсюда y a1 2a2 x ... nan xn 1 ... . Подставляя y и y в исходное уравнение, получим
a1 2a2 x ... nan xn 1 ... 2 a0 a1x a2 x2 ... an xn ... x .
101
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
|
|
|
|
|
x0 |
a |
2a |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
2a |
2 |
|
2a |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 |
3a |
2a |
2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
4a |
4 |
|
2a |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из решения этой системы получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a1 |
2a0 , a2 |
1 |
2a0 |
, a3 |
|
2 |
1 |
2a0 |
|
|
1 2 1 |
|
,... |
||||||
2 |
3 |
|
2 |
, a4 |
2 3 |
|
2 |
2a0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в решение неопределенные коэффициенты, выраженные через а0 будем иметь
ya0 2a0 x 2a0 x 2a0 x2 23 2a0 x3 24 23 2a0 x4 52 24 23 2a0 x5 ...
12 x2 12 23 x3 12 23 24 x4 12 23 24 52 x5 ...
|
1 |
n |
a0 2x |
n |
1 |
n |
2x |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
n! |
|
4n! |
|
|||||
n 0 |
|
|
|
n 2 |
|
|
Неопределенный коэффициент а0 играет роль произвольной постоянной интегрирования. Пользуясь признаком Даламбера, нетрудно доказать, что полученные ряды сходятся на всей числовой оси.
14.2. Найти решение уравнения y xy2 2cos x , взяв
пять первых членов разложения, если у = 1 при х = 0. Решение. Из заданного уравнения и начальных условий
y 0 1 находим, что |
|
y 0 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Продифференцируем уравнение |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
y |
|
2sin x y |
2 |
|
|
|
|
y |
|
2cos x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
yy |
|
||||||||
|
|
2xyy , |
|
2 yy |
2 yy |
|
|
||||||||||||||||||||
y |
4 |
2sin x 4 |
y |
2 |
yy |
|
|
2 y |
2 |
yy |
|
2x 2 yy |
|
|
|
|
yy |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
102
Полагая x 0 и y 0 1, y 0 2 находим частные значения производных y 0 1, y 0 10, y 4 0 18 .
Подставляя частные значения производных в разложение (2), будем иметь
y 1 |
2x |
x2 |
|
5 |
x |
3 |
|
3 |
x |
4 |
... |
2 |
3 |
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.3. Проинтегрировать уравнение y xy y x , если y 0, y 0 при x 0 .
Решение. Ищем решение в виде ряда (2) y y n 0 xn .
n 0 n!
Из уравнения и начальных условий имеем y 0 0 , y 0 0 ,
y x xy y, |
y 0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дифференцируя заданное уравнение, находим |
|
|
|||||||||||
y |
|
1 |
|
4 |
y |
|
|
5 |
2 y |
|
xy |
4 |
, |
|
xy , y |
|
|
xy , y |
|
|
|
||||||
|
y 6 |
3y 4 xy 5 , |
y 7 4 y 5 xy 6 ,... |
|
|
Полагая x 0 , |
y 0 0 , |
y 0 0 , |
|
y 0 0 будем иметь |
|||||||||||||
y 0 1 , y 4 0 0 , y 5 0 2 , y 6 0 0 , |
y 7 |
0 2 4,... |
|||||||||||||||
Искомое решение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y |
1 x3 |
|
1 2x5 |
|
1 2 4x7 |
|
1 2 4 6x9 |
... |
|||||||||
3! |
5! |
7! |
|
9! |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
x3 |
2 1 x5 |
|
4 1 2 x7 |
|
8 1 2 3 x9 |
... |
||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
3! |
|
|
5! |
|
|
7! |
|
|
9! |
|
|
|
|
|||
|
|
|
n 1 |
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
x2n 1, x R . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 |
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14.4. Найти решение уравнения |
|
y |
y |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
, |
взяв первые |
||||||||||||
|
y |
||||||||||||||||
шесть членов разложения, если y 1, |
y 0 при |
x 1 . |
103
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
||||
Решение. Ищем решение в виде ряда y |
y |
|
x 1 n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|||||
Из уравнения и начальных условий имеем, что y 1 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дифференцируя уравнение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
1 |
y |
2 |
y |
2 |
x |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
2 y |
3 |
y |
3 |
2x |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y y |
|
|
|
3y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y |
5 |
y |
4 |
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
2 y |
3 |
y |
2 |
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
|
|
3y y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 y |
3 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
6x |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Найдем значения этих производных в точке x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y 1 0, |
|
y 4 1 2, |
|
|
y 5 |
1 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, искомое решение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y 1 x 1 2 |
|
|
|
2 |
|
|
x 1 4 |
|
x 1 5 |
... |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14.5. Дифференциальное |
|
|
|
|
|
уравнение |
|
траектории для |
самонаводящегося снаряда в полярной системе координат имеет вид
|
|
dr 2 |
r |
2 |
|
k2 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin |
4 |
|
||||||
где k vс H , |
d |
|
|
|
|
|
|
||||
v — скорость |
снаряда, |
v — скорость цели, |
|||||||||
vц |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H — постоянная высота цели, r — модуль радиус-вектора центра тяжести снаряда (точка M ), — полярный угол вектора r (рис. 1.10). Найти решение, удовлетворяющее
начальному условию r0 r 0 0.
Решение. В данном случае имеем дифференциальное уравнение первого порядка второй степени. Требуется найти
зависимость r от . Представим r в виде ряда Тейлора
r r 0 r 0 0 r 0 0 2 ...
1! 2!
104
Рис. 1.10
Теперь задача состоит в том, чтобы найти r 0 , r 0 , r 0 , r 0 и т.д. Из начального условия имеем r 0 0. Заданное уравнение справедливо для любого момента
времени, |
в |
частности, |
|
в |
|
|
начале |
движения |
имеем |
||||||||||||||||||
r0 |
2 |
2 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
r0 |
|
, |
|
откуда |
|
|
|
. |
Знак |
плюс |
берется |
|||||||||||||||
|
sin4 0 |
|
sin2 0 |
||||||||||||||||||||||||
здесь из чисто физических соображений. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Чтобы найти r0 |
продифференцируем заданное уравнение, |
|||||||||||||||||||||||||
рассматривая r как неявную функцию от , тогда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
|
2k2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin5 cos . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||
|
Учитывая начальные условия r0 0 и r0 |
|
, |
получим |
|||||||||||||||||||||||
|
sin2 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
r0 |
cos 0 2r0ctg 0 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
продифференцируем уравнение еще раз |
||||||||||||||||||||
|
Чтобы найти r0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 5ctg2 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
rr |
|
2k |
sin4 0 |
. |
|
||||||||||
|
Учитывая начальные условия, имеем |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 r0 1 6ctg2 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
Продолжая процесс дифференцирования и используя |
||||||||||||||||||||||||||
начальные |
условия, |
|
|
|
можно |
получить |
любое |
число |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициентов разложения. Таким образом, решение примет вид
|
k |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
r |
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
1 6ctg |
|
|
|
... . |
||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
3! |
|
|
0 |
0 |
|
|
||
|
sin 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно построить траекторию снаряда для различных |
|||||||||||||||
углов старта 0 |
и для различных отношений скоростей vс / vц. |
||||||||||||||
14.6. Найти решение уравнения Бесселя |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 y xy x2 |
n2 |
y 0 |
|
|
|
|
(1) |
в окрестности особой точки x 0.
Решение. Поскольку решение ищется в окрестности
особой точки x 0, |
то представим его в виде обобщенного |
|||
степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
a0 |
0 . |
|
|
y ak x k |
(2) |
||
|
k 0 |
|
|
|
Подставляя (2) в (1), будем иметь |
|
|
||
k k 1 ak x k k ak x k ak x k 2 |
||||
k |
k |
|
|
k |
n2ak x k 0
k
или
k 2 n2 ak xk ak xk 2 0.
k
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x
x0 |
|
2 n2 a0 0; 2 n2 0; 1 n; 2 n, |
|
|
|
|
|||
x1 |
|
1 2 n2 a1 0, |
(3) |
|
... |
................................. |
|||
|
||||
xk |
|
k 2 n2 ak ak 2 0, k 2. |
|
|
Будем |
искать решение для корня 1 n. При |
n |
равенство (3) примет вид
106
n 1 2 n2 a1 0; 2n 1 a1 0; a1 0, т.к. n 0, |
|
||||
……………………………………………………....... |
(4) |
||||
n k 2 n2 ak ak 2 0; k 2. |
|
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
ak 2 |
|
ak 2 |
|
|
ak |
|
|
|
, k 2. |
|
n k 2 n2 |
k 2n k |
|
Так как a1 0, то a2k 1 0 при всех k . Для четных числовых коэффициентов имеем
|
|
a2k 22 k n k . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2k 2 |
|
|
|
|
Выразим a2k через a0 k 1, 2,... |
|
|
|
|
|||||||
|
|
a2 |
|
|
|
a0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
22 1 n 1 |
|
|
|
|||||
a4 |
a2 |
|
|
a0 |
|
; |
|
||||
22 2 n 1 |
24 1 2 n 1 n 2 |
|
|||||||||
a6 |
|
a4 |
|
|
|
a0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
; |
|||||||
22 3 n 3 |
26 3! n 1 n 2 |
n 3 |
……………………………………………………… (5)
a2k 1 |
k |
a0 |
|
. |
|
22k k ! n 1 n 2 |
... n k |
Подставляя коэффициенты (5) в выражение (2), получим
|
k |
|
a x2k |
|
|
|
|
y xn 1 |
|
|
|
0 |
|
. |
(6) |
2 |
2k |
k ! n 1 n 2 |
... n k |
||||
k 0 |
|
|
|
Пользуясь признаком Даламбера, нетрудно показать, что ряд (6) сходится при любом значении x , следовательно,
коэффициент a0 может быть выбран произвольно. Полагаем
a0 |
1 |
, |
(7) |
2n n 1 |
107
где a xa 1e xdx a 0 — гамма-функция, обладающая
0
свойством a 1 a a .
Подставляя (7) в (6), первое частное решение будет иметь
вид
|
|
1 |
x |
|
n 2k |
|
|
y1 n x 1 |
k |
, |
(8) |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|||||
k 0 |
|
k ! n k 1 |
|
|
|
где n n |
— функция Бесселя первого рода n -го порядка. |
|
||
Найдем теперь второе частное решение, соответствующее |
||||
2 n. Из выражений (4) имеем |
|
|
|
|
|
n 1 2 n2 a1 0; 2n 1 a1 0, |
|
|
|
т. е. если |
n не равно половине нечетного числа |
2k 1 |
и не |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
является числом целым n k, то все коэффициенты ak (5)
a2k |
a2k 2 |
22 k n k |
могут быть выражены через произвольный коэффициент C0
C0 2 n 1 n 1 .
Таким образом, второе частное решение уравнения (1) примет вид
|
|
1 |
x |
|
n 2k |
|
y2 n x 1 |
k |
. |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
||||
k 0 |
|
k ! n k 1 |
|
|
Отсюда общее решение уравнения Бесселя будет
y C1 n x C2 n x ( n — не целое число).
Если в качестве второго частного решения взять функцию Бесселя второго рода n -го порядка
108
|
1 |
k x |
n 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
k |
1 |
k n |
1 |
|
|||
|
|
|
||||||||||||
Yn n |
|
2 |
|
2ln |
2C |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k ! n k ! |
2 |
v |
v |
|||||||||||
k 0 |
|
|
v 1 |
v 1 |
|
|
n 1 |
n k 1 ! x |
n 2k |
|
||
|
|
|
|
|
, |
k ! |
|
||||
k 0 |
2 |
|
|
( C 0,5772157...— постоянная Эйлера), то общее решение уравнения Бесселя примет вид
y C1In x C2Yn x ( n — целое положительное число). Здесь следует заметить, что функция Yn x в особой точке
x 0 обращается в бесконечность.
14.7.Найти решение уравнения Бесселя
x2 y xy x2 1 y 0
на отрезке 1, 2 при граничных условиях y 1 1, y 2 2.
Решение. С целью упрощения выбора решения при помощи подстановки y z x приведем граничные условия к
виду z 1 z 2 0. Само уравнение в этом случае примет вид
|
L f x, z |
xz z |
x2 1 |
z x2 0. |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Решение, удовлетворяющее новым граничным условиям, |
|||||||||
выберем в виде |
z1 C1 1 C1 x 1 2 x . |
|
|||||||
|
|
|
|||||||
Воспользуемся теперь методом Бубнова-Галёркина |
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
x2 |
1 |
|
2 |
||
L f |
x, z |
2C1x 3 2x C1 |
|
|
|
|
x 1 2 x C1 x |
|
|
|
|
x |
|||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 1 2 x dx 0. |
|
||||||
Интегрируя данное выражение и разрешая его |
|||||||||
относительно C1, находим, что C1 0,811. |
|
||||||||
Приближенное решение уравнения Бесселя примет вид |
|
||||||||
z1 0,811 x 1 2 x |
или y1 0,811 x 1 2 x x. |
|
109
Следует заметить, что сравнение точного решения уравнения Бесселя через функции Бесселя
y3,6072 I1 x 0,75195 Y1 x
сприближенным имеет расхождение в четвертом знаке, т. е. даже первое приближение дает достаточно точный результат.
14.8. Найти решение |
уравнения yIV y 3x |
при |
граничных условиях y y 0 |
при x l; y y 0 при |
x 0. |
Решение. Чтобы удовлетворить граничным условиям первое приближение выбираем в виде многочлена
y1 C1 1 C1 x l 2 x2 2lx 3l2 .
Пользуясь методом Бубнова-Галёркина, будем иметь
l y1IV y1 3x x l 2 x2 2lx 3l2 dx 0.
0
Подставляя сюда y1 и интегрируя, находим, что C1 при l 1 равно 0,0324. Таким образом
y1 0,0324 x 1 2 x2 2x 3 .
Второе приближение, удовлетворяющее граничным условиям, запишем в виде
y2 C1 1 C2 2 C1 1 C2 x l 3 3x2 4lx 3l2 .
Для определения C1 и C2 составляем систему
l
y2IV y2 3x 1dx 0;
0
l
y2IV y2 3x 2dx 0,
0
которая в раскрытом виде будет
l 24 C1 5C2 9x l C1 x l 2 x2 2lx 3l2
0
C2 x l 3 3x2 4lx 3l2 3x x l 2 x2 2lx 3l2 dx 0;
110