Учебное пособие 948
.pdfdivFdV FndS
V S
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
В.В. Горбунов О.А. Соколова
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Часть 1
Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2017
УДК 517.2
Горбунов В.В. Элементы высшей математики: учеб. пособие / В.В. Горбунов, О.А. Соколова. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. Ч. 1. - 88 с.
В учебном пособии излагаются элементы математического анализа. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств» (все профили), дисциплине «Математика».
Ил. 22. Библиогр.: 6 назв.
Научный редактор д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских
Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова
Горбунов В.В., Соколова О.А., 2017
Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017
ВВЕДЕНИЕ
Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторско-технологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.
Данное пособие посвящено изучению следующих разделов высшей математики: матрицы, определители и системы линейных алгебраических уравнений, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, кривые второго порядка.
Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности и вопросы для самопроверки. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.
Учебное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств».
3
1.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1.Матрицы
1.1.1. Понятие матрицы
Матрицей называется совокупность чисел, записанная в виде прямоугольной таблицы вида
a11 a12 ...a1na21 a22 ...a2n
А = ... ... ... ...
am1 am2 ...amn
. (1.1)
Числа aij (i =1, 2, …, m, j =1,2, …,n) называются элемен-
тами матрицы. Индексы i и j описывают номера строки и столбца, на пересечении которых находится элемент матрицы. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n. Используется и сокращенная запись матрицы в виде
А=aij , i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется
нулевой матрицей. Особенно интересны квадратные матри-
цы, т.е. матрицы размера n n
a11 a12 ...a1na21 a22 ...a2n
А = ... ... ... ...
an1 an2 ...ann
.
Элементы a11,a22,..., ann образуют главную диагональ матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю
4
a |
0 |
... 0 |
|
|
|
11 |
a22 ... 0 |
|
|
0 |
|
|||
А = |
|
... |
... ... |
. |
... |
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
...ann |
Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все элементы главной диагонали равны единице:
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|||
, Е = |
|
0 1 0 |
|
и т.д. |
||||||
Е = |
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1.1.2. Линейные операции над матрицами
Простейшей операцией над матрицами является операция сравнения матриц: матрицы Aи B одинакового размера m n называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы aij bij .
1) Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.
cij aij bij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.
Свойства операции суммирования матриц 1. А+В=В+А.
2. (А+В)+С=А+(В+С).
3. А+О=А, где О – нулевая матрица.
Пример 1.1.1. Пусть даны матрицы А и В:
2 3 3 2 |
2 1 5 6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
А = 0 |
1 2 1 , |
В = 3 2 4 -1 . |
||||
|
3 |
4 -3 5 |
|
|
2 -3 5 -2 |
|
|
|
|
|
Тогда их суммой, согласно определению, является мат-
рица
5
2 2 |
3 1 |
3 5 |
2 6 |
0 4 2 8 |
|||
|
1 2 |
2 4 |
|
|
|
|
|
С = 0 3 |
1 -1 = 3 1 6 |
0 . |
|||||
|
4-3 -3 5 |
|
|
3 |
|
||
3 2 |
5-2 |
5 1 2 |
|
||||
2) Произведением матрицы А на число |
|
называется |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица В= А, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на :
|
bij aij |
Свойства произведения матрицы на число: |
|
1. А В А В, |
где А, В – матрицы, имеющие |
одинаковый размер, а |
и - некоторые вещественные |
числа.
2.( )А А А.
3.А А .
4.ОА=О, где О – нулевая матрица.
Пример 1.1.2. Пусть даны матрица А и число :
|
|
3 |
5 |
2 |
5 |
|
, =2. |
|
|
А = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|||
Тогда |
А равно |
6 |
10 |
4 |
|
10 |
|
|
А = |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
26 |
8 |
14 |
12 |
|
|
|
|
|
|
3) Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка, т.е. для
матрицы А=aij транспонированная матрица равна АТ =aji
Свойства операции транспонирования матриц:
1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
(АТ )Т А.
2. Элементы главной диагонали квадратной матрицы не меняются при транспонировании.
6
Пример 1.1.3. Пусть даны матицы А и В
|
2 |
3 |
7 |
|
|
1 |
5 |
7 |
9 |
||
|
|
|
9 |
|
|
|
|||||
|
А = 0 |
-5 , В = |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
3 |
|
|
3 |
6 |
|
|
|
1 |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
соответствующие |
транспонированные матрицы |
|||||||||
|
2 |
0 |
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
имеют вид |
|
9 |
6 |
|
5 |
|
|
|
|
||
АТ = 3 |
, ВТ= |
7 |
|
3 |
. |
|
|
||||
|
|
-5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
|
|
9 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Операция произведения матриц АВ будет корректной при равенстве числа столбцов матрицы А числу строк матрицы B , т.е. матрица А имеет размер m k , а матрица B имеет размер k n. При соблюдении этого условия произведением матриц АВ называется третья матрица С порядка m n, составленная по следующему правилу: элемент ckl , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки
с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов k строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:
Ckl ak1b1l |
ak2b2l |
ak3b3l ... aknbnl . |
(1.2) |
||
Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее |
|||||
элементы вычисляются по формуле (1.2). |
|
|
|||
Пример 1.1.4. Найти произведения АВ и ВА матриц |
|
||||
4 |
2 |
1 |
3 |
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
А = 3 |
3 4 , |
В = 2 |
4 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 -3 |
0 |
1 |
-1 1 |
|
|
Решение. По формуле (1.2) получаем элементы матрицы |
|||||
АВ: |
|
|
|
|
|
c11 4 3 2 2 11 17; |
c12 4 2 2 4 1 ( 1) 15; c13 4 5 2 6 1 1 33; |
||||
c21 3 3 3 2 4 1 19; |
c22 3 2 3 4 4 ( 1) 14; |
c23 3 5 3 6 4 1 37; |
|||
|
|
|
7 |
|
|
c31 2 3 ( 3) 2 0 1 0; c32 2 2 ( 3) 4 0 ( 1) 8; c33 2 5 ( 3) 6 01 8;
17 |
15 |
33 |
|
|
|
|
14 |
37 |
|
Имеем АВ = 19 |
. |
|||
|
0 |
-8 |
-8 |
|
|
|
По формуле (1.2) получаем элементы матрицы ВА:
c11 3 4 2 3 5 2 28; |
c12 3 2 2 3 5 ( 3) 3; |
c13 3 1 2 4 5 0 11; |
|||||||
c21 2 4 4 3 6 2 32; |
c22 2 2 4 3 6 ( 3) 2; |
c23 2 1 4 4 6 0 18; |
|||||||
c31 1 4 ( 1) 3 1 2 3; c32 1 2 ( 1) 3 1( 3) 4; |
c33 11 ( 1) 4 1 0 3; |
||||||||
28 |
3 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, ВА= 32 |
18 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
-4 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1.1.5. Найти произведение АВ матриц |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
||
|
7 1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
В = |
4 |
1 |
. |
|||||
А = |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 -8 |
|
|||
|
9 4 |
7 7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу B . По формуле (1.2) находим:
c11 7 1 1 4 3 0 6 2 23; c12 7 5 1 1 3 ( 8) 6 4 36;
c21 9 1 4 4 7 0 7 2 39; |
c22 9 5 4 1 7 ( 8) 7 4 21; |
23 36
Следовательно: АВ = .
39 21
Свойства произведения матриц:
1.АВ ВА (некоммутативность).
2.(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность).
3.(А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность).
4.А(В + С) = АВ + АС (дистрибутивность).
5.(АВ) = ( А)В = А( В), где - действительное число.
8
В алгебре квадратных матриц единичная матрица E играет роль единицы, т.е.
6. АЕ = ЕА= А.
Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.
1.2.Определители
1.2.1.Понятие определителя
Любой квадратной матрице А размера n n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число,
называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы.
|
a |
a |
|
|
Для матрицы второго порядка А= |
11 |
12 |
|
ее опреде- |
|
|
|
||
|
a21 |
a22 |
|
литель второго порядка вычисляется по формуле
det A= |
a11 |
a12 |
= a |
a |
22 |
a a |
21 |
, |
(1.3) |
|
a21 |
a22 |
11 |
|
12 |
|
|
т.е. из произведения элементов на главной диагонали вычитается произведение элементов на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по форму-
ле
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 (1.4) a31 a32 a33
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 ,
т.е. определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком “плюс” берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагона-
9