Учебное пособие 490
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
125-2017
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика»
для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2017
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев |
|
||||||||
УДК 517.2 (07) |
|
|
|
|
|
|
|||
ББК 22.1я7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Методы |
интегрирования: |
методические |
указания |
для |
|||||
организации самостоятельной работы по курсу«Высшая |
|||||||||
математика» |
|
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|||||
«Техносферная |
безопасность» (направленности |
«Защита |
в |
||||||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности |
|||||||||
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы |
|||||||||
обучения / |
ФГБОУ ВО |
«Воронежский |
государственный |
||||||
технический |
университет»; |
сост. И.Н. Пантелеев. |
Воронеж, |
||||||
2017. 43 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические |
указания |
предназначены |
в |
качестве |
|||||
руководства |
|
для |
организации |
самостоятельной |
работы по |
||||
курсу "Высшая |
математика" |
по разделу «Интегральное |
|||||||
исчисление» |
|
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|||||
«Техносферная безопасность» во 2 семестре. В работе приведен |
|||||||||
теоретический |
материал, |
необходимый |
для |
выполнения |
|||||
заданий и решение типовых примеров. |
|
|
|
|
|||||
Методические |
указания |
подготовлены |
в |
электронном |
|||||
виде и содержатся в файле Vmfmm_MetInt_17.pdf. |
|
|
Ил. 11. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2017
I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Первообразная функции
Основные понятия и определения
Основной |
задачей |
дифференциального |
исчисления |
|
является |
нахождение производной f ' (x) или df |
= f ' (x)dx |
||
функции |
f (x) . |
|
|
|
В интегральном исчислении решается обратная задача.
По заданной функции f (x) |
требуется найти такую функцию |
||||||||
F (x) , что F ' (x) = f (x) или dF (x) = F ' (x)dx = f (x)dx . |
|
||||||||
Таким |
образом, |
основной |
задачей |
интегрального |
|||||
исчисления является |
восстановление |
|
функцииF (x) |
по |
|||||
известной производной (дифференциалу) этой функции. |
|
||||||||
Определение 1. |
Функция F (x) |
называется |
перво- |
||||||
образной для функции f (x) на некотором множестве, если она |
|||||||||
дифференцируема на этом множестве и |
|
|
|
|
|||||
F ' (x) = f (x) или. dF(x) = f (x)dx . |
|
|
|||||||
Теорема 1. |
Любая |
непрерывная |
на[a;b] |
функция |
|||||
f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x) . |
|
|
|||||||
Теорема |
2. |
Если F1(x) и |
F2 (x) |
— |
две |
различные |
|||
первообразные одной и той же функции f (x) |
на множестве х, |
||||||||
то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е. |
|||||||||
F2 (x) = F1(x) + C , где С — постоянная. |
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Пусть F1(x) и F2 (x) — первообразные |
|||||||||
функции f (x) . Их разность F (x) = F2 (x) - F1 (x) является диф- |
|||||||||
ференцируемой функцией. Следовательно, |
|
|
|
|
|||||
F ' (x) = F ' (x) - F ' (x) = f (x) - f (x) = 0 Þ F (x) = C, |
|
||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. F2 (x) - F1 (x) = C .
Следствие. Если F (x) — некоторая первообразная
функции f (x) , |
то |
все |
первообразные |
этой |
функции |
|||
определяются выражением F (x) + C , где С — произвольная |
||||||||
постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. |
Операция |
отыскания |
первообразной |
||||
F (x) |
функции f (x) называется интегрированием. |
|
|
|||||
|
Определение 3. |
Совокупность F (x) + C |
|
всех |
||||
первообразных |
функции f (x) |
называется неопределенным |
||||||
интегралом и обозначается |
|
|
|
|
|
|||
|
f (x)dx — |
ò f (x)dx = F (x) + C, |
|
f (x) — |
||||
где |
подынтегральное |
выражение, |
подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — постоянная интегрирования.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная — подынтегральной функции.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. (ò f (x)dx)' = f (x) и d (ò f (x)dx) = f (x)dx.
Доказательство. Пусть
ò f (x)dx = F (x) + C Þ (ò f (x)dx )' = (F (x) + C )' = F ' (x) = f (x).
d(ò f (x)dx)= d (F (x) + C) = (F (x) + C )' dx = F ' (x)dx = f (x)dx.
2.òdF (x) = F (x) + C.
Доказательство. Так как
dF (x) = F ' (x)dx, F ' (x) = f (x) , то òF ' (x)dx = F ( x) + C.
3. òaf (x)dx = aòF (x)dx.
2
Доказательство. Пусть F (x) — первообразная функции.
Тогда aF (x) — первообразная функции |
af (x) : |
|
(aF (x))' = aF ' (x) = af (x) . |
|
|
Следовательно, |
|
|
aò f (x)dx = a(F (x) +C) = aF (x) +C1 = òaf (x)dx, C1 = aC. |
||
4. ò( f1 ± f2 ± f3 ±...)dx = ò( f1 )dx ± ò( f2 )dx ± ò( f3 )dx ±... |
||
Доказательство. Проведем для |
двух |
функций. Пусть |
F ' (x) = f1(x), F' (x) = f2 (x) . Тогда F (x) ± F(x) |
является перво- |
|
образными функций. Следовательно |
|
|
ò f1 (x)dx ± ò f2 (x)dx = (F (x) + C1 ) ± (F(x) + C2 ) =
= F (x) ± F(x) + C1 ± C2 = ò( f1 (x) ± f2 (x))dx
Замечание. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.
5.Если F (x) первообразная функции f (x) , то
òf (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + C.
a
Доказательство. Действительно
æ |
1 |
|
ö' |
1 |
|
' |
|
|
ç |
|
F (ax + b) + C ÷ = |
|
F |
|
(ax +b) ×a = f (ax +b). |
||
|
a |
|
||||||
è a |
|
ø |
|
|
|
|
||
6. (Инвариантность формул интегрирования.) Любая формула |
||||||||
интегрирования |
сохраняет |
|
|
свой , видесли |
переменную |
|||
интегрирования |
заменить |
|
любой |
дифференцируемой |
функцией этой переменной:
ò f (x)dx = F (x) + C Þ ò f (u)du = F (u) +C,
где u — дифференцируемая функция. |
|
|
|
Доказательство. |
Воспользуемся |
свойством |
|
инвариантности формы дифференциала первого порядка. |
|
||
Если dF (x) = F ' (x)dx , то |
dF (u) = F ' (u)du , |
где |
|
u = u(x) . Пусть ò f (x)dx = F (x) + C , |
тогда F ' (x) = f (x) . |
Так |
3
как |
d (ò f (u)du ) = f (u)du и |
d (F (u) + C ) = dF (u) = f (u)d (u) |
|
||||
получаем ò f (u)d (u) = F (u) + C . |
|
|
|
|
|||
|
|
Основные формулы интегрирования |
|
|
|||
|
Таблица основных формул интегрирования получается |
|
|||||
из |
таблицы |
производных |
элементарных |
функций |
при |
||
обратном ее чтении. |
|
|
|
|
|
||
|
Буква |
z может |
обозначать |
как |
независимую |
||
переменную |
z = x , так |
и |
функцию |
от |
независимой |
переменной z = z(x) .
zn+1
1.ò zn dz = n +1 + C (n ¹ -1), òdz = z + C.
2.ò dz = ln z + C.
z |
|
||
3. òaz dz = |
az |
+ C, òez dz = ez + C. |
|
ln a |
|||
|
|
4.òsin zdz = -cos z + C.
5.òcos zdz = -sin z + C.
6.ò cosdz2 z = tg z + C.
7.ò sindz2 z = -ctg z + C.
8. ò |
|
|
dz |
|
= |
1 |
|
ln |
a + z |
+ C. |
||||||||||||||
a2 - z2 |
|
|
2a |
a - z |
|
|||||||||||||||||||
9. ò |
|
|
dz |
|
|
= |
1 |
|
arctg |
|
|
z |
+ C. |
|
||||||||||
a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||
10. ò |
dz |
|
|
= |
|
1 |
ln |
|
z - a |
|
|
+ C. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z2 - a2 |
|
2a |
|
z + a |
|
|
|
4
11. ò |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
+ C. 12. ò |
|
|
dz |
|
= arcsin |
z |
+ C. |
|||||
|
|
|
= ln |
z + z2 ± a2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
z |
± a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
- z |
|
|
a |
|
13. ò |
|
|
|
z |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z2 + a2 dz = |
|
z2 + a2 + |
|
ln |
z + |
z2 + a2 |
+ C. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. ò |
a2 - z2 dz = |
z |
a2 - z2 + |
a2 |
arcsin |
z |
+C. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном
исчислении нет универсальных приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.
2. Основные методы интегрирования
Основными методами интегрирования являются: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной и интегрирование по частям.
1. Непосредственное интегрирование. Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы интегралов.
Например,
ò |
x3 |
+ 4x + 2 |
|
ò |
æ 1 |
2 |
|
|
|
dx = |
|
|
x + |
||
|
2x |
è 2 |
|||||
|
|
|
|
ç |
|
|
1 ö |
1 |
ò |
2 |
ò |
|
ò |
dx |
|
|
2 + |
|
ø |
|
x dx + 2 |
dx + |
|
= |
|||
x |
2 |
x |
||||||||
|
÷dx = |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ 2x + ln |
x |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
æ |
x |
3 |
|
|
|
|
ö |
æ |
x |
2 |
|
1 |
ö |
||||
|
Проверка. d |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ç |
|
+ 2x + ln |
|
x |
|
+ C ÷ |
= ç |
|
+ 2 + |
÷dx. |
||||||
|
|
6 |
|
|
2 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
è |
|
ø |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Нет надобности после каждого слагаемого
ставить |
произвольную |
постоянную, так |
как |
сумма |
|
произвольных |
постоянных |
есть |
также |
произвольна |
|
постоянная, которую мы пишем в конце. |
|
|
5
2. Метод замены переменной или способ подстановки.
Пусть f (x) |
непрерывна на (a,b) |
и x = φ(t) дифференцируема |
|
на (α,β) ; причем функция φ |
отображает(α,β) в (a,b) . На |
||
основании |
свойства |
независимости |
неопределенного |
интеграла от выбора аргумента, |
и учитывая, что dx = φ' (t)dt , |
||
получаем формулу замены переменной в неопределенном |
|||
интеграле |
ò f (x)dx = ò f (φ(t)) ×φ' (t)dt. |
|
|
|
(1) |
Интеграл, стоящий в правой части (1) может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным.
Итак, для вычисления ò f (x)dx с помощью подстановки
x = φ(t) надо в функции f (x) |
заменить х на φ(t) и положить |
||||
dx = φ' (t)dt . |
При |
этом |
получаем |
искомую |
функцию, |
выраженную |
через |
переменнуюt. Для |
возвращения |
к |
|
переменной х |
необходимо t |
заменить значениемt = ψ(x) , |
которое находится из соотношения x = φ(t) .
Иногда формулу (9.1) удобно применять справа налево,
т.е.
ò f (φ(x)) ×φ' (x)dx = ò f (φ(x))dφ(x)
или
ò f (φ(x)) ×φ' (x)dx = ò f (t )dt, где t = φ(x) .
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила:
1) если ò f (x)dx = F (x) + C, то ò f (ax)dx = 1 F (ax) + C; a
2) если ò f (x)dx = F (x) + C, то ò f (x ± b)dx = F (x ± b) + C;
3)если ò f (x)dx = F (x) + C, то ò f (ax ± b)dx = 1 F (ax + b) + C. a
6
3. |
Интегрирование |
по |
частям. Пусть u = u(x) |
и v = v(x) — две функции |
отх, имеющие непрерывные |
||
производные. Тогда |
|
|
|
|
òudv = u ×v - òvdu. |
(2) |
|
В |
равенстве (2) произвольной |
постоянной не пишем, |
так как в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную. Формула
(2) называется формулой интегрирования по частям. По этой формуле нахождение интеграла òudv сводится к нахождению
другого интеграла òvdu . Применение этой формулы имеет
смысл в тех случаях, когда последний интеграл будет проще, чем заданный, или когда он будет ему подобен. Чтобы применить формулу интегрирования по частям к некоторому
интегралу |
ò f (x)dx |
надо |
|
подынтегральное |
выражение |
|
ò f (x)dx |
представить |
в |
виде |
произведения |
сомножителей u и dv. За u чаще всего принимают функцию, которая при дифференцировании упрощается(например ln x , xn , arccos x , arctg x и т.д.) За dv всегда выбирают выражение (содержащее dx), из которого интегрированием можно найти v.
Иногда для получения окончательного результата
необходимо |
интегрирование |
по |
частям |
примен |
последовательно несколько раз. |
|
|
|
|
Группы |
интегралов, вычисляемые |
по |
формуле |
|
интегрирования по частям: |
|
|
|
1. òPn (x)ekx dx; òPn (x) sin kx dx; òPn (x) cos kx dx, Pn (x) —
многочлен степени n; k — некоторое число. Интегралы этого типа берутся по частям, если положить u = Pn (x) , и интегрирование по частям ведется n раз.
7
2. òPn (x) ln xdx; òPn (x)arcsin kx dx; |
òPn (x) arccos kx dx; |
ò Pn (x)arctg x dx; òPn (x)arcctg x dx , где |
Pn (x) — многочлен |
степени n. Во всех этих случаях за u принимают функцию, являющуюся множителем при Pn (x) .
3. òeax cos bxdx; òeax sin bxdx, где a, b — числа. Для этих интегралов решение по частям применяется дважды.
3. Многочлены. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби
Определение 4. Корнем многочлена P(x) называют всякое число a , обращающее многочлен в ноль, т.е. такое, что P(a) = 0 .
Теорема 3. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, . . многочлен Pn (x) можно представить в виде
Pn (x) = A(x - x1 )k1 (x - x2 )k2 L(x - xr )kr (x 2 + p1x + q1 )t1 ´ ´(x2 + p2 x + q2 )t2 L(x2 + pm x + qm )tm ,
где x1, x2 ,..., xr — корни многочлена кратностиk1, k2 ,..., kr
соответственно. При этом k1 + k2 +... + kr + 2(t1 + t2 + ... + tm ) = n, все кратные трехчлены не имеют вещественных корней.
|
|
Определение 5. |
Рациональной |
дробью |
называется |
|||
функция, |
равная |
частному |
от деления |
двух |
многочленов |
|||
|
Pm (x) |
, Pm |
(x) — многочлен степени m, Qn |
(x) — многочлен |
||||
|
Qn (x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степени n. Рациональная дробь называется правильной, если |
||||||||
степень числителя меньше степени знаменателя, в противном |
||||||||
случае рациональная дробь называется неправильной. |
|
|||||||
|
|
Теорема 4. |
|
Всякую |
неправильную рациональную |
|||
дробь можно представить в виде |
суммы |
многочлена и |
||||||
правильной рациональной дроби, т.е. |
|
|
8