Учебное пособие 415
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
116-2018
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления
20.03.01 «Техносферная безопасность» (профили «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2018
УДК 517.219(07) ББК 22.1я7
Составитель канд. физ.-мат. наук И. Н. Пантелеев
Функции |
нескольких |
переменных: методические |
|
||||||||
указания |
|
для |
организации |
самостоятельной |
работы |
по |
|||||
дисциплине «Высшая математика» для студентов направления |
|
||||||||||
20.03.01 |
«Техносферная |
безопасность» (профили |
«Защита |
в |
|
||||||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности |
|
||||||||||
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы |
|
||||||||||
обучения |
/ |
ФГБОУ ВО |
«Воронежский государственный |
|
|||||||
технический |
университет»; |
сост. |
И. Н. Пантелеев. Воронеж: |
|
|||||||
Изд-во ВГТУ, 2018. 42 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
методических |
|
указаниях |
приведен |
теоретический |
|
|||||
материал, необходимый для выполнения заданий и решения |
|
||||||||||
типовых примеров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предназначены в качестве руководства для организации |
|
||||||||||
самостоятельной |
работы |
по |
дисциплине«Высшая |
|
|||||||
математика» по разделу «Функции нескольких переменных» |
|
||||||||||
для студентов 20.03.01 |
«Техносферная |
безопасность» во |
2 |
|
|||||||
семестре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические |
указания подготовлены |
в |
электронном |
|
|||||||
виде и содержатся в файле Vmfmm_FNP _18.pdf. |
|
|
|
|
|||||||
Библиогр.: 7 назв. |
|
|
|
УДК 517.219(07) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ББК 22.1я7 |
|
|
Рецензент − Г. Е. Шунин, канд. физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики и физико-математического
моделирования ВГТУ
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
Примеры решения типовых задач
Частные производные
Постановка задачи. Найти частные производные до
второго порядка включительно функции z = f(x1,x2,…,xn). |
|
|||||
План решения. |
|
|
|
|
||
1. |
Чтобы |
найти |
частную |
производную |
функции |
|
z = f(x1,x2,…,xn) |
по переменнойхк, |
фиксируем |
остальные |
|||
переменные и |
дифференцируем f |
как функцию |
одной |
|||
переменной хk. |
производные |
высших |
порядков |
вычисляются |
||
2. |
Частные |
аналогично последовательным дифференцированием, т.е.
|
¶ |
2 |
f |
|
|
|
|
¶ |
æ |
|
¶f |
ö |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
ç |
|
÷ |
||||||||||
|
¶x 2 |
¶x |
|
|
|
||||||||||
|
ç ¶x |
÷, |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
è |
|
1 |
ø |
|||
2 |
f |
|
|
|
|
æ |
|
¶f |
ö |
||||||
¶ |
|
|
|
|
¶ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||
¶x2 ¶x1 |
|
ç |
|
¶x |
÷, |
||||||||||
|
|
|
¶x1 è |
|
2 ø |
¶ |
2 |
f |
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
æ |
¶f |
|
ö |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
||||||||
¶x ¶x |
|
|
= ¶x |
|
|
¶x |
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
ç |
÷, |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
1 |
|
ø |
|||||
¶ |
2 |
f |
|
|
¶ |
|
æ |
¶f |
ö |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
ç |
|
÷ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
¶x |
2 |
|
|
|
¶x |
|
ç |
¶x |
÷ |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 è |
2 ø |
|
Замечание. |
Частные |
производные можно обозначать |
||||||
¢ |
, |
¢ |
, …, |
¢¢ |
, |
¢¢ |
¢¢ |
и т. д. |
также z x1 |
z x 2 |
z xn |
z x1x1 |
, z x1x 2 |
Пример. Найти частные производные до второго порядка включительно функции z = xy (x > 0).
Решение.
1. Для того чтобы найти частную производную хпо, фиксируем у и дифференцируем функцию z = xy как функцию одной переменной х. Используя формулу для производной степенной функции (хα)' = αхα-1, получим
z ¢x = yx y -1 .
Для того чтобы найти частную производную поу, фиксируем х и дифференцируем функцию z = xy как функцию одной переменной у. Используя формулу для производной показательной функции (аu ) = аu ln а (а > 0), получим
z ¢y = x y ln x.
3
2. Частную производную второго порядка z ¢xx¢ вычисляем,
дифференцируя z ¢x по х (при фиксированном у), т. е.
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
|
y -1 |
|
¢ |
= y( y -1)x |
y -2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z xx = ( yx |
|
|
|
) x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Частную производную второго порядка |
|
¢¢ |
вычисляем, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z xy |
||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z ¢x |
|
по у (при фиксированном х), т. е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¢¢ |
= ( yx |
y -1 |
|
|
¢ |
|
= x |
y -1 |
+ yx |
y -1 |
ln x. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
z xy |
|
|
|
) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Частную производную второго порядка |
|
¢¢ |
вычисляем, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z yx |
||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z ¢y |
|
по х (при фиксированном у), т. е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
y -1 |
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= yx |
|
|
ln x + x . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z yx = |
(x ln x) x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
¢¢ |
|
|
|
Частную производную второго порядка |
|
вычисляем, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
z yy |
||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z ¢y |
|
по у (при фиксированном х), т. е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x ln x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z yy |
|
= (x ln x) y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
¢ |
= yx |
y -1 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
y -1 |
|
y -1 |
|
|
Ответ. |
|
|
, |
|
= x |
|
ln x , |
|
|
|
|
= x |
|
+ yx ln x , |
||||||||||||||||
|
z x |
|
|
|
z y |
|
z xy |
= z yx |
|
||||||||||||||||||||||
¢¢ |
|
y -1 |
¢ |
= y( y |
-1)x |
y -2 |
, |
|
¢¢ |
|
|
y |
ln |
2 |
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z xx = ( yx |
|
) x |
|
|
|
|
|
z yy = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Условия задач. Найти частные производные до второго |
||||||||||||||||||||||||||||||
порядка включительно заданных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. |
z = e xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
z = xli(x / y). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
z = sin( xy). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
z = e x cos y. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
z = x 2 + y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
z = ln( x 2 |
+ y). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. z = 2xy + y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
z = ln 3 xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
z = x cos y + y sin x. |
|
|
|
|
|
10. |
z = (1 + x) 2 (1 + y) 4 . |
|
|
Градиент
Постановка задачи. Найти градиент функции u = f(x,y,z)
в точке M(x0,,y0,,z0).
4
План решения. Градиент функции f(x,y,z) – это вектор,
r r r
координаты которого в базисеi , j , k являются частными производными функции f(x,y,z), т. е.
|
¶f |
r |
¶f |
r |
¶f |
r |
ì¶f |
|
¶f |
|
¶f ü |
||
grad f = |
|
i + |
|
j + |
|
k = í |
|
, |
|
, |
|
ý . |
|
¶x |
¶y |
¶z |
¶x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
î |
|
¶y ¶z þ |
1. Находим частные производные функции f(x,y,z)
¶f |
, |
¶f |
, |
¶f |
. |
|
|
|
|||
¶x |
¶y |
¶z |
2. Вычисляем частные производные функцииf(x,y,z) в
точке M(x0,,y0,,z0).
3. Вычисляем градиент функцииu = f(x,y,z) в точке
M(x0,,y0,,z0):
grad f |
|
M = {f x¢(x0 , y0 , z 0 ), |
f y¢(x0 , y0 , z 0 ), |
f z¢(x0 , y0 , z 0 )}. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Записываем ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример. Найти градиент функции u = x 2 |
- arctg( y + z) в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
точке М (2,1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Находим частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x 2 - arctg( y + z) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
¶f |
= 2x, |
|
¶f |
= - |
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
¶f |
= - |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ ( y + z)2 |
|
|
+ ( y + z)2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
¶x |
|
¶y |
1 |
|
|
|
|
¶z |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
2. Вычисляем частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u = x 2 |
- arctg( y + z) в точке М (2,1,1): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
f x¢(2, 1, 1) = 4, |
f y¢(2, 1, 1) = - |
1 |
, |
f z¢(2, 1, 1) = - |
1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
u = x 2 |
|
5 |
|
|
|
||||||
3. |
Вычисляем |
градиент |
|
функции |
- arctg( y + z) в |
|||||||||||||||||||||||||||
точке |
М (2,1,1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 ü |
||||||
grad f |
|
(2,1,1) = {f x¢(2, 1, 1), |
f y¢(2, 1, 1), |
|
f z¢(2, 1, 1)}= |
ì |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
í4,- |
|
|
,- |
|
ý. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Ответ. grad |
f |
|
|
|
|
ì |
1 |
|
1 |
ü |
|
|
|
î |
5 |
|
|
|
5 þ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(2,1,1) = |
í4,- |
|
,- |
|
|
ý. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
Условия задач. Найти градиент функции u = f (x, y, z) в |
||||
точке М. |
|
|
|
|
|
1. |
u = x + ln( z 2 + y 2 ), |
M (2, 1, 1). |
|||
2. |
u = x 2 y - |
xy + z 2 , |
M (1, 5, - 2). |
||
3. |
u = sin( x + 2 y) + 2 |
xyz , M (p / 2, 3p / 2, 3). |
|||
4. |
u = x 3 + |
y 2 |
+ z 2 , |
M (1, 1, 0). |
|
5. |
u = xy + |
9 - z 2 , |
M (1, 1, 0). |
||
6. |
u = ln(3 - x 2 ) + xy 2 z, |
M (1, 3, 2). |
|||
7. |
u = x 2 y 2 z - ln( z -1), |
M (1, 1, 2). |
|||
8. |
u = ln( x 2 + y 2 ), |
M (1, -1, 2). |
|||
9. |
u = xy - x / z, |
M (-4, 3, -1). |
|||
10. |
u = ln( x + |
z 2 + y 2 ), |
M (1, - 3, 4). |
Производная по направлению
Постановка задачи. Найти производную функции u(x,y,z) в точке А(x1, y1, z1) по направлению к точке В(x2, y2,z2).
План решения.
1. Если функция u(x,y,z) дифференцируема в точке
А(x1,y1,z1), то в этой точке существует ее производная
r
по любому направлению l , определяемая формулой
|
¶u |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= (grad u |
|
A , l0 ), |
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
¶l |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|||||
grad u = ì¶u |
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
||||||||
|
¶u |
|
¶u |
|
|
l |
|
||||||||||
, |
, |
, |
l |
|
= |
|
. |
||||||||||
|
|
0 |
|
r |
|||||||||||||
|
|
|
|
í |
|
¶y |
|
¶z |
ý |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
î¶x |
|
|
þ |
|
|
|
|
l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. В данном случае |
||||||
2. Находим координаты вектора l |
r
l = A B = {x2 - x1 , y2 - y1 , z 2 - z1 }.
6
r
3. Находим единичный вектор (орт) l0 :
r |
|
r |
|
|
{x2 - x1 , y2 |
- y1 , z 2 |
- z1 |
} |
|
l |
|
|
|||||
l0 = |
|
r |
|
= |
(x2 - x1 ) 2 + ( y2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
l |
|
|
- y1 ) 2 + (z 2 - z1 ) 2 |
4. Вычисляем частные производные и градиент функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1):
grad u A = {u¢x (x1 , y1 , z1 ), u¢y (x1 , y1 , z1 ), u ¢z (x1 , y1 , z1 )}.
5. Вычисляем скалярное произведение в формуле(1),
получаем ответ. |
|
|
Пример. |
Найти |
производную |
u = x 2 - arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1) по направлению к точке В(2, 4, -3).
Решение.
1.Так как функция u = x 2 - arctg( y + z) дифференцируема
вточке А(2,1,1), то в этой точке существует ее производная по
r
любому направлению l , которая определяется формулой (1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
. В данном случае |
|||
2. Находим координаты вектора l |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
= {0, 3, - 4}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
A |
|
B |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
3. Находим единичный вектор (орт) l0 : |
|
|
|
||||||||||
r |
|
r |
|
|
{0, 3, - 4} |
ì |
3 |
|
4 ü |
||||
|
l |
|
|
|
|||||||||
l0 = |
|
r |
|
= |
0 2 + 32 + (-4) 2 |
= í0, |
|
, - |
ý. |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
l |
|
|
î 5 |
|
5 þ |
4. Вычисляем частные производные функции u = x 2 - arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1):
|
¶u |
|
|
(2,1,1) |
= 2x |
|
(2,1,1) |
= 4, |
|
¶u |
|
|
(2,1,1) |
= - |
|
|
1 |
|
|
|
|
(2,1,1) |
= - |
1 |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
1+ ( y + z) 2 |
|
5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
¶u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2,1,1) |
= - |
|
|
|
1 |
|
|
|
(2,1,1) |
= - |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ ( y + z) 2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad u |
|
|
|
|
ì |
|
|
|
ü |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,1,1) |
= í4, |
- |
|
|
|
, - |
|
ý. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
þ |
|
|
|
7
5. Подставляя полученные значения в формулу(1) и вычисляя скалярное произведение, получим
¶u |
|
|
|
|
r |
æ |
|
1 ö |
|
3 |
æ |
|
1 ö æ |
|
4 ö |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(2,1,1) |
= (grad u |
(2,1,1) |
, l |
0 |
) = 4 ×0 + ç |
- |
|
÷ |
× |
|
+ ç |
- |
|
÷ |
×ç |
- |
|
÷ |
= |
|
. |
¶l |
|
5 |
5 |
5 |
5 |
25 |
||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
ø |
|
è |
|
ø |
è |
|
ø |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
¶u |
|
|
(2,1,1) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
¶l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Условия задач. Найти производную функцииu(x,y,z) в |
||||||||||||||||||||||||||
точке А по направлению к точке В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
u = x + ln( z 2 |
- y 2 ), |
A(2, 1, 1), |
|
B(0, 2, 0). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
u = x 2 y - |
xy + z 2 , |
A(1, 5, - 2), |
B(1, 7, - 4). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
u = sin( x + 2 y) + 2 |
xyz , |
|
æ p |
, |
3p |
, 3 |
ö |
æ p |
+ |
4, |
3p |
+ 3, 3 |
ö |
|||||||||||||
Aç |
2 |
2 |
÷, |
Bç |
2 |
2 |
÷. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
è |
|
|
|
ø |
||||
4. |
u = x 3 + |
|
y 2 |
+ z 2 , |
A(1, 1, 0), |
|
B(1, 2, -1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
u = |
xy + |
9 - z 2 , |
A(1, 1, 0), |
|
B(3, 3, -1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
u = ln(3 - x 2 ) + xy 2 z, |
|
A(1, 3, 2), |
B(0, 5, 0). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
u = x 2 y 2 z - ln( z -1), |
|
A(1, 1, 2), |
B(6, - 5, 2 |
5 + 2). |
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
u = ln( x 2 |
+ y 2 ), |
|
A(1, -1, 2), |
|
B(2, - 2, 3). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. |
u = ln( x + |
z 2 + y 2 ), |
|
A(1, - 3, 4), |
B(-1, - 4, 5). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. u = xy - |
x |
, |
A(-4, 3, -1), |
B(1, 4, - 2). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные сложной функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Постановка |
|
задачи. |
Найти |
производные z ¢x |
и |
z ¢y |
||||||||||||||||||||
функции z = z(u,u), |
|
где u = u(x, y) и u = u(x, y). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
План решения. Поскольку z является сложной функцией |
||||||||||||||||||||||||||
двух |
переменных х |
и |
у, |
то |
|
ее |
производныеz ¢x |
и |
z ¢y |
||||||||||||||||||
вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
¶z |
= |
|
¶z |
× |
¶u |
+ |
|
¶z |
× |
¶u |
, |
|
|
(2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
¶x |
¶u ¶x |
|
|
|
¶u |
|
¶x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
¶z |
= |
¶z |
× |
|
¶u |
+ |
¶z |
× |
¶u |
. |
|
|
(3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
¶y |
|
¶u ¶y |
|
|
|
|
¶u |
|
¶y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. Вычисляем частные производные |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶z |
, |
|
|
¶z |
, |
|
|
¶u |
, |
|
|
¶u |
, |
¶u |
, |
¶u |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
¶u |
|
|
¶u ¶x |
|
|
¶y |
¶x |
¶y |
2.Подставляем полученные результаты в формулы(2) и
(3)и записываем ответ.
Замечание. Формулы (2) и (3) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана
функция |
f (u,u, w) , |
|
где |
|
|
u = u(x, y, t), |
|
|
|
u = u(x, y, t) |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w = w(x, y, t), |
|
то |
|
ее |
|
|
|
|
частные |
|
|
|
|
¢ |
¢ |
, f |
|
¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
производныеf , f |
t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
¶f |
= |
|
¶f |
× |
|
|
¶u |
+ |
|
|
¶f |
× |
|
|
¶u |
+ |
|
|
¶f |
× |
|
|
¶w |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
¶x ¶u ¶x ¶u ¶x ¶w ¶x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶f |
= |
|
¶f |
× |
|
¶u |
+ |
|
¶f |
× |
|
¶u |
+ |
|
¶f |
× |
|
¶w |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶y ¶u ¶y ¶u ¶y ¶w ¶y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶f |
= |
¶f |
× |
¶u |
+ |
¶f |
× |
¶u |
+ |
¶f |
× |
¶w |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶t |
|
|
|
¶u ¶t |
|
¶u ¶t |
|
|
|
¶w ¶t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти производные z ¢x и z ¢y |
функции z = u / u , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где u = x y |
и u = |
|
xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Вычисляем частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶z |
= |
1 |
, |
|
|
¶z |
= - |
u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶u |
|
u |
|
|
¶u |
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
¶u = yx y -1 , |
|
¶u = x y ln x, ¶u = |
|
|
|
|
y , |
|
|
|
¶u = |
x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶x |
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
|
2 x |
|
|
|
¶y |
2 y |
|
|
|
|
2. Подставляя полученные результаты в формулы (8) и (9), получаем
9
|
¶z = 1 × yx y -1 - u |
× |
y , ¶z = 1 × x y ln x - u |
|
× |
x . |
||||||||
|
¶x u |
|
|
|
u 2 |
2 x |
|
¶y u |
u 2 |
2 y |
||||
|
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶z = 1 × yx y -1 - u × |
y |
, |
¶z = 1 × yx y ln x - u |
× |
x , |
|
||||||||
¶x u |
|
u 2 |
2 x |
¶y u |
u 2 |
2 y |
|
|||||||
где u = x y , u = |
|
xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Условия |
задач. Найти |
производные z ¢x |
и |
|
z ¢y |
функции |
|||||||
z = z(u,u) , где u = u(x, y) |
и u =u(x, y). |
|
|
|
|
|||||||||
1. |
z = u 2 +u 2 , |
u = x + y, u = x - y. |
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
z = ln(u 2 |
+u 2 ), |
u = xy, |
u = x / y. |
|
|
|
|
|
|||||
3. |
z = uu , |
u = sin x, |
u = cos y. |
|
|
|
|
|
||||||
4. |
z = u 2 + 2u 3 , u = x 2 - y 2 , u = e xy . |
|
|
|
|
|||||||||
5. |
z = arctg(u / u), |
u = x sin y, |
u = x cos y. |
|
|
|
|
|||||||
6. |
z = ln(u -u 2 ), |
u = x 2 |
+ y 2 , |
u = y. |
|
|
|
|
||||||
7. |
z = u 3 +u 2 , |
u = ln |
x 2 + y 2 , u = arctg ( y / x). |
|
|
|
||||||||
8. |
z = uu , |
|
u = ln( x 2 |
+ y 2 ), |
u = xy 2 . |
|
|
|
|
|||||
9. |
z = euu , u = ln x, u = ln y. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
z = ln(u / u), |
u = sin( x / y), |
u = |
x / y. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Производная неявной функции |
|
|
|
||||||||
|
Постановка |
|
задачи. |
Найти |
производную |
функции |
||||||||
y = y(x) , заданной неявно уравнением |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
F (x, y) = 0. |
|
|
|
|
(4) |
План решения. Если при каждом фиксированномх, принадлежащем некоторой областиD, уравнение (4) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области
10