- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Воронежский государственный технический
университет
В.В. Горбунов О.А. Соколова
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть 4
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2006
УДК 517.2
Горбунов В.В., Соколова О.А. Начала математического анализа. Ч. 4: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2006. 113 с.
В учебном пособии излагаются элементы теории функции нескольких переменных, кратных интегралов, криволинейных и поверхностных интегралов. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.
Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 6151000 «Конструкторско-технологическое обеспечение автоматизированных машиностроительных производств», специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», дисциплине «Математика».
Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word и содержится в файле
“МатАн4.doc”.
Ил. 36. Библиогр.: 6 назв.
Научный редактор д-р физ.-мат.наук, проф. В.Д. Репников
Рецензенты: кафедра естественно-научных дисциплин
Международного института компьютерных
технологий (зав. кафедрой канд. техн. наук,
доц. С.П. Попов);
д-р физ. -мат.наук, проф. В.А. Родин
Горбунов В.В., Соколова О.А., 2006
Оформление. ГОЧВПО «Воронежский государственный технический университет», 2006
ВВЕДЕНИЕ
Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторско-технологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.
Данное пособие продолжает серию пособий по высшей математике и посвящено изучению следующих разделов: двойные интегралы, тройные интегралы, криволинейные интегралы, поверхностные интегралы с элементами теории поля.
Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.
Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 657800 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», специальности 120200 «Металлообрабатывающие станки и комплексы».
1.Функции нескольких переменных
1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
Говорят, что определена функция z = f (x,y) двух переменных х,у , если каждой паре значений независимых переменных (аргументов) х,у из области D по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение переменной z из множества Z. Область D называется областью определения функции z, а множество Z - множеством значений функции. Поскольку каждой паре чисел х,у на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х,у), то функцию двух переменных рассматривают как функцию точки М из некоторой области D плоскости Оху .
Точка называется внутренней точкой множества D, если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества. Точка называется граничной точкой множества D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие. Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей. Множество D называется замкнутым , если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Множество D точек плоскости Оху называется областью, если: во-первых, множество D является открытым, т.е. состоит только из внутренних точек, во-вторых, множество D является односвязным, т. е. любые две внутренние точки множества должны соединяться непрерывной линией, целиком принадлежащей области.
Функция двух переменных имеет простую геометрическую интерпретацию. Возьмем пространственную декартову систему координат. Для произвольной точки М (х,у) в области D вычислим соответствующее значение функции z = f (х,у). Множество точек P(x,y,z) образует некоторую поверхность с уравнением z = f(х,у). Таким образом, геометрической интерпретацией функции двух переменных является поверхность (Рис 1.), аппликата каждой точки которой вычисляется по закону z =f(х,у). Например, для функции геометрическим образом является верхняя полусфера. Область определения данной функции определяется неравенством или .
Существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на построении сечений поверхности z = f (х,у) плоскостями , где с - любое число. Линией уровня называется множество точек плоскости Оху, в которых функция принимает одно и тоже значение с. Множество линий уровня дает представление о поверхности подобно тому, как в картографии линии уровня описывают рельеф местности. Все сказанное об определении функции двух переменных легко распространяется на случай функции большего числа переменных. Геометрическая интерпретация функции в этом случае отсутствует.