Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
Главный момент всех внутренних сил относительно произвольного центра равен нулю.
F12(i ) = −F21(i )
(i) |
(i) |
) = 0, |
|
mO (F12 |
) + mO (F21 |
(3) |
|
|
|
|
(i ) |
N |
N |
|
= mO |
(Fk(i ) ) = rk Fk(i) = 0. |
||
M O |
|||
|
k =1 |
k =1 |
(4)
71
Дифференциальное уравнение движения k–й точки
mk d 2rk = Fk(e) + Fk(i)
dt2
72
Дифференциальные уравнения движения механической системы в векторной форме:
m |
d 2rk |
= F(e) + F(i) |
|
|
|
|
|||
k |
dt2 k |
k |
(5) |
|
(k = 1, 2, …, N).
73
3.11. Моменты инерции
Момент инерции относительно точки (полярный момент инерции) есть произведение массы m точки M на квадрат расстояния r до точки О:
j |
O |
= mr2 . |
(1) |
|
|
|
|
Момент инерции системы материальных |
точек |
||
равен сумме их моментов инерции:
N |
N |
|
JO = jO |
= mk rk2 |
(2) |
k =1 |
k =1 |
74 |
|
|
Осевой момент инерции механической системы (момент инерции относительно оси) есть сумма произведений массы каждой точки на квадрат расстояния hk этой точки до оси:
N |
|
Jl = mk hk2 |
(3) |
k =1
75
Момент инерции относительно оси координат Oz:
|
|
|
N |
|
J |
z |
= |
m h2 |
hk2 = xk2 + yk2 |
|
|
k k |
|
|
|
|
|
k =1 |
76 |
|
|
|
|
N
Jx = mk
k =1
N
J y = mk
k =1
N
Jz = mk
k =1
( yk2 + zk2 ),
(z2 |
+ x2 ), |
(4) |
k |
k |
|
(xk2 + yk2 ).
77
Момент инерции относительно начала координат О:
N
JO = mk rk2
k =1
rk2 = xk2 + yk2 + zk2
N |
|
JO = mk (xk2 + yk2 + zk2 ) |
(5) |
k =1 |
78 |
|
Сложив левые и правые части уравнений (4), с учётом формулы (5), получим
2JO |
= Jx +Jy |
+Jz. |
(6) |
|
|
|
Сумма осевых моментов инерции механической системы относительно трех координатных осей равна удвоенному полярному моменту инерции этой системы относительно начала координат.
79
Для плоскости:
N |
|
N |
J x = mk yk2 , |
J y = mk xk2 |
|
k =1 |
|
k =1 |
N |
|
|
JO = mk (xk2 + yk2 ) |
(7) |
|
k =1
JО = Jx + Jy, |
(8) |
момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции этой фигуры относительно двух координатных осей, лежащих в
плоскости этой фигуры. |
80 |