4499
.pdfкоэффициенты k , k |
2 |
: |
tg |
|
k2 k1 |
, |
. |
(4.7) |
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
k1 k2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
Для ее доказательства предположим, что прямые u1 , u2 не являются перпендикулярными, и воспользуемся известной формулой тригонометрии,
тогда tg tg |
2 |
|
1 |
|
tg 2 tg 1 |
|
k2 k1 |
, |
что и требовалось. |
|
|
||||||||
|
|
|
1 tg 1 tg 2 |
1 k1 k2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых |
|||||||||
Если прямые |
u1 , u2 |
параллельны, |
то 0 |
и, значит, tg 0 , откуда |
следует, что k1 k2 .
Вывод: условием параллельности прямых служит равенство их угловых коэффициентов. Если прямые u1 , u2 перпендикулярны, то 2 , и формулой
(4.7) воспользоваться нельзя. Однако в этом случае можно рассматривать
котангенс угла между прямыми: |
ctg |
1 |
|
|
|
|
1 k1 k2 |
, |
0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
k |
2 |
|
k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
В случае перпендикулярности прямых ctg ctg 0 |
. Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 k1 k2 |
|
0 , |
откуда 1 k k |
2 |
0 |
|
или k |
|
|
k |
2 |
|
1. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
k2 k1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние между двумя точками |
||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
две точки плоскости |
|
M x0 , y0 |
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
N x1, y1 . Тогда проекция отрезка MN на ось Ox |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
равна |
|
x1 x0 |
|
, а проекция на ось Oy равна |
|
y1 y0 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Далее |
рассмотрим прямоугольный |
треугольник |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
MKN . |
|
|
|
По |
теореме |
Пифагора |
|
|
имеем |
|
|
|||||||||||||||||||||
MN2 MK 2 |
NK 2 , то есть d 2 x |
|
x |
2 y |
|
|
y |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
или |
d |
|
x1 x0 2 y1 y0 2 . |
Значит, формула |
расстояния между двумя |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
точками M x0 , y0 и N x1, y1 имеет вид d |
|
x1 x0 2 y1 y0 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки до прямой |
||||||||||||||||||||||
Рассмотрим прямую u , заданную |
|
общим |
уравнением Ax By C 0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||
некоторую точку M x0 , y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Под расстоянием от точки M до прямой u понимается длина перпендикуляра d , опущенного из
точки M на прямую u . |
|
Если известно, что |
|||
прямые перпендикулярны, то их угловые |
|||||
коэффициенты соотносятся как k1 k2 1. |
|||||
Из |
уравнения |
данной |
прямой Ax By C 0 и |
||
уравнения перпендикуляра к |
ней |
|
|
|
0 найдем их угловые |
A x B y C |
|
коэффициенты. Для этого разделим каждое из них на коэффициенты при
переменной y и приведем к каноническому виду: |
y |
A |
x |
|
C |
, |
т.е. |
k |
|
A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
B |
|
|
1 |
|
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
A |
x |
C |
, т.е. |
|
k |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Так как |
|
k |
|
k |
|
|
1, |
то |
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
B |
|
|
|
и уравнение перпендикуляра |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимает вид y |
|
B |
x |
C |
|
|
или |
|
|
Bx Ay |
|
A C |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Координаты |
точки |
M x0 , y0 |
|
|
и |
|
координаты |
основания перпендикуляра |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1, y1 |
|
удовлетворяют |
|
|
|
|
уравнению |
|
|
|
перпендикуляра, |
то |
|
есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Bx Ay |
A C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Bx Ay |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B x x |
|
A y y 0 |
, |
|
|
B x x A y y |
|
, |
|
x1 x0 |
|
|
y1 y0 |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Расстояние между двумя точками равно d |
|
|
|
x1 x0 2 y1 y0 2 . |
Далее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
получаем d |
|
|
A2 |
B2 |
|
|
t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Имеем x1 x0 |
At и y1 |
y0 Bt , тогда уравнение прямой u примет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ax By C A x At B y Bt C Ax By C A2 B2 t 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Откуда параметр t равен |
|
t |
|
Ax0 By0 |
|
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
Получаем |
d |
|
Ax0 |
By0 |
C |
|
. |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A2 B2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть расстояние от точки M x0 , y0 до прямой Ax By C 0 .
Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Рассмотрим в пространстве плоскость П. Положение ее вполне определяется заданием вектора p , перпендикулярного этой плоскости и некоторой фиксированной точки M 0 x0 , y0 , z0 , лежащей в плоскости П.
Вектор p , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости ( p 0 ). Будем предполагать, что нормальный вектор p имеет координаты A, B, C : ь p A, B, C 0 .
Выведем |
уравнение плоскости П, проходящей через данную точку |
||
M 0 x0 , y0 , z0 и имеющей данный нормальный вектор p A, B, C . |
|||
Известно, |
что координаты радиус-вектора |
|
|
r0 , проведенного в точку M 0 , |
совпадают с координатами конца M 0 этого вектора, следовательно, r0 x0 , y0 ,z0 .
Проведем радиус-вектор |
r x, y,z в любую точку M плоскости П. Тогда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор M 0 M , или |
|
|
|
целиком лежит в |
плоскости П, и, значит, он |
|||
r |
r0 |
|||||||
ортогонален (перпендикулярен) вектору p . |
Из условия ортогональности |
векторов следует, что скалярное произведение векторов p , |
|
|
|
|
равно 0, т.е. |
|||
r |
r0 |
|||||||
p |
|
|
r0 0 . |
(4.8) |
||||
r |
35
Рис.4.5
Уравнение (4.20) называется векторным уравнением плоскости П.
Выражая скалярное произведение векторов через их проекции, получим уравнение той же плоскости П в координатной форме:
|
A x x0 B y y0 C z z0 0 . |
(4.9) |
||
Уравнение (4.9) называется уравнением плоскости, проходящей через |
||||
точку M0 x0 , y0 , z0 и ортогональной вектору p A, B, C |
|
. |
|
|
0 |
|
|||
Если ввести обозначение Ax0 By0 Cz0 D , то уравнение (4.9) |
|
|||
принимает вид |
Ax By Cz D 0 . |
(4.10) |
Уравнение (4.10) называется общим уравнением плоскости (ортогональной вектору p A, B, C 0 ).
Прямая линия в пространстве. Уравнение прямой линии
Пусть требуется найти уравнение прямой линии, проходящей через точку
M0 x0 , y0 , z0 .
Чтобы задать прямую линию, нужно знать так называемый направляющий вектор прямой.
Определение. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, которому прямая параллельна.
Будем предполагать, что направляющий вектор a прямой u имеет компоненты l , m, n : a l , m, n 0 .
Обозначим через r0 радиус-вектор,
проведенный в точку M 0 , и заметим, что он имеет вид r0 x0 , y0 ,z0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведем радиус-вектор |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r x, y,z в любую точку M |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой u . Тогда вектор M0M , или |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
r0 целиком принадлежит прямой |
||||||||||
u , а значит, коллинеарен (параллелен) вектору a . |
Из условия |
|||||||||||||||
коллинеарности векторов следует, что найдется число t |
такое, что |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
r0 t a |
r |
r0 t a . |
|
|
|
36
Уравнение, в котором скаляр t играет роль переменного параметра,
называется векторным уравнением прямой линии.
Если записать векторное уравнение прямой линии в проекциях, то получим
равенства x x0 |
lt, |
y y0 mt, |
z z0 |
nt. |
|
При изменении параметра t |
точка с координатами x, y, z , определяемыми из |
||||
последних уравнений, движется по прямой u . |
|||||
Векторные |
уравнения |
прямой |
линии в проекциях называются |
параметрическими уравнениями прямой линии.
Наряду с параметрическими уравнениями прямой линии, представляющими собой 3 уравнения с 4 неизвестными t, x, y, z , нередко определяют прямую линию посредством системы уравнений первой степени между текущими
координатами. Поскольку |
|
x x0 |
|
t, |
y y0 |
t, |
z z0 |
t, то приходим к |
||||
|
|
l |
m |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
уравнениям, |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
, которые называются |
|
|||||
l |
m |
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каноническими уравнениями прямой линии, проходящей через точку
M0 x0 , y0 , z0 параллельно вектору a l , m, n .
Замечание 1.6. В последних уравнениях все числа l, m, n одновременно не могут обратиться в ноль, так как a 0 . Но некоторые из них могут равняться нулю. В этом случае будем считать, что соответствующий числитель также равен нулю.
Угол между двумя прямыми линиями
Определение. Углом между прямыми u1 , u2 в пространстве
называется любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную общую точку параллельно данным прямым. Легко видеть,
что 0 .
Вычисление cos . Пусть обе прямые u1 , u2 заданы каноническими
уравнениями |
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
, |
x x2 |
|
y y2 |
|
z z2 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
l1 |
|
m1 |
|
n1 |
l2 |
|
m2 |
|
n2 |
37
Очевидно, за угол |
между |
ними можно принять угол между их |
|||||||||||||||
направляющими векторами a1 l1 ,m1 ,n1 |
и a2 l2 ,m2 ,n2 или же смежный с |
||||||||||||||||
ним угол. Поэтому cos |
|
a1 a2 |
|
|
|
|
l1 l2 m1 m2 n1 n2 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a1 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
l12 m12 n12 l22 m22 n22 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
В последней формуле можно ставить любой знак в зависимости от выбора одного из двух различных углов между прямыми u1 , u2 .
5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.
В общем случае это уравнение имеет следующий вид:
Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 ,
где коэффициенты A, B, C, D, E, F – действительные числа и, кроме того, по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от нуля.
Различают 4 типа кривых второго порядка:
1) эллиптический; 2) гиперболический; 3) параболический; 4) вырожденный. Ниже будут получены следующие канонические (простейшие, принятые за
образец) уравнения:
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1 уравнение эллипса; |
|||
|
|
a2 |
b2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
|
y2 |
1 уравнение гиперболы; |
|||||
|
|
b2 |
|||||||
|
a2 |
|
|
|
|
||||
x2 2 py, |
y2 |
2 px уравнение параболы. |
К вырожденному типу относится каждое из следующих уравнений: x2 a2 0 пара вертикальных прямых;
y2 b2 0 пара горизонтальных прямых;
a2 y2 b2 x2 0 пара пересекающихся прямых; a2 x2 b2 y2 0 точка О(0;0);
a2 x2 b2 y2 1 пустое множество.
Напомним формулу для вычисления расстояния между двумя точками:
38
если имеются две точки M x1; y1 и N x2; y2 , то расстояние между ними вычисляется по формуле MN x2 x1 2 y2 y1 2 .
|
Замечание. Если обе точки лежат на горизонтальной прямой, то |
y1 y2 |
и |
|||||||||||||||||||
|
MN |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Если |
же обе |
точки |
лежат на вертикальной прямой, |
то |
и |
||||||||||||||||
|
MN |
|
|
|
y2 |
y1 |
|
. |
Эллипс, его каноническое уравнение |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть |
имеются |
две |
точки |
F1 c;0 и |
F2 c;0 , |
c 0 , |
симметричные |
||||||||||||||
относительно оси Oy . Назовем эти точки фокусами. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Определение. |
Эллипсом |
называется |
геометрическое |
место точек |
(множество всевозможных точек) плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов является постоянной величиной 2a , превышающей расстояние между фокусами 2c .
Обозначим произвольную точку эллипса через M x; y . Согласно определению эллипса
MF1 MF2 2a .
Рис. 5.1
Поскольку
MF1 x c 2 y 0 2 x c 2 y2 , MF2 x c 2 y 0 2 x c 2 y2 ,
то уравнение эллипса принимает вид
x c 2 y2 x c 2 y2 2a . (5.1)
Далее будем преобразовывать эту формулу, чтобы в результате прийти к каноническому уравнению эллипса.
39
Из определения эллипса следует, что 2a 2c , поэтому |
|
|
|||
|
a c . |
|
(5.2) |
||
Так как a2 c2 , то можно обозначить положительное число |
a2 c2 |
через |
|||
b2 , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
a2 c2 . |
|
(5.3) |
По существу, в уравнении (5.1) осталось избавиться от иррациональности, а это осуществляется, как известно, возведением в квадрат обеих частей
равенства. Здесь это действие придется совершить дважды. |
|
||||||||
Введем вспомогательное обозначение |
|
||||||||
|
|
z x2 y2 c2 |
(5.4) |
||||||
и возведем в квадрат обе части равенства (5.1), получим уравнение |
|
||||||||
z 2cx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
z 2cx 4a2 , |
|
z 2cx |
z 2cx |
|
|||||||
или |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
2z 2 z2 4c2 x2 4a2 , |
|
||||||||
которое можно записать таким образом: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z2 4c2 x2 2a2 z . |
|
||||||
Обе части последнего равенства снова возведем в квадрат, получим |
|
||||||||
z2 4c2 x2 4a4 4a2 z z2 , |
|
или, после деления на 4, c2 x2 a4 a2 z . |
|
|
Подставляя вместо z сумму из (5.4), приходим к равенству |
||
c2 x2 a4 a2 |
x2 y2 c2 , |
|
которое можно записать так: a2 c2 x2 |
a2 y2 a2 a2 c2 . |
|
Разность a2 c2 равна b2 , а значит, имеем |
b2 x2 a2 y2 a2b2 . |
Разделив обе части полученного равенства на произведение a2b2 , приходим
к каноническому уравнению эллипса |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(5.5) |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Следует заметить, что в определении эллипса фигурируют два числа a, c, а в каноническом уравнении появляется b, связанное с ними по формуле (5.3).
Найдем точки пересечения эллипса с осями координат: если положить x 0 в (3.5), то y b , если в (5.5) положить y 0, то x a .
40
Определение. Число а называется большой полуосью эллипса, а число b – его малой полуосью.
Нетрудно видеть, что эллипс представляет собой кривую, симметричную относительно координатных осей и начала координат.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного
расстояния с к большей полуоси а, т.е. ac .
Из (5.2) вытекает, что для эллипса 1.
Частный случай. Если a b , то c 0 , оба фокуса совпадают и образуют центр O(0, 0), а уравнение соответствующей кривой принимает вид
x2 y2 a2 .
Мы видим, что получено уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат, причем эксцентриситет окружности 0 , так как c 0 .
Гипербола, ее каноническое уравнение
Пусть снова имеются точки F1 c;0 и F2 c;0 , c 0 , называемые фокусами. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов
является постоянной величиной 2a |
|
|
( a 0 ), меньшей |
расстояния между |
||||||||||||||||||||
фокусами 2c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обозначим произвольную |
точку |
|
гиперболы |
|
|
через |
M x; y . Согласно |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
определению гиперболы |
MF1 |
MF2 |
|
Так как |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
MF |
|
|
x c 2 y2 , |
|
|
MF |
|
x c 2 y2 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
то уравнение гиперболы принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x c 2 |
y2 |
|
x c 2 |
y2 |
|
|
2a . |
(5.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее приведем полученное уравнение к каноническому виду. С этой целью возведем дважды обе части равенства (5.6) в квадрат.
41
Из определения гиперболы следует, что 2c 2a , поэтому
с a . |
(5.7) |
Так как c2 a2 , то можно обозначить положительное число c2 a2 через
b2 , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
c2 a2 . |
(5.8) |
|||||
Введем, как и выше, обозначение |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z x2 y2 c2 |
(5.9) |
||||||
и возведем в квадрат обе части равенства (5.6), получим уравнение |
|
||||||||||
|
z 2cx 2 |
|
|
|
|
|
z 2cx 4a2 , |
|
|||
|
z 2cx |
z 2cx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Или 2z 2 |
z2 4c2 x2 4a2 , которое запишем таким образом: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z2 4c2 x2 z 2a2 . |
|
||||||
После возведения в квадрат обеих частей последнего равенства получаем |
z2 4c2 x2 z2 4a2 z 4a4 ,
или, после деления на (–4), c2 x2 a2 z a4 . |
|
|
Подставляя вместо z сумму из (5.9), приходим к равенству |
||
c2 x2 a2 x2 y2 c2 |
a4 , |
|
которое можно записать следующим образом: |
|
|
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 |
. |
|
Разность c2 a2 равна b2 , значит, мы имеем |
b2 x2 |
a2 y2 a2b2 . |
Разделив обе части последнего равенства на a2b2 , приходим к
каноническому уравнению гиперболы |
|
|
|||
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(5.10) |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Заметим, что в определении гиперболы также фигурируют два числа a, c, а в каноническом уравнении появляется b, связанное с ними по формуле (5.8).
Найдем точки пересечения гиперболы (5.10) с осями координат: если x 0 , то приходим к невозможному равенству y2 b2 , если y 0, то x a .
Определение. Число а называется действительной полуосью гиперболы, а число b – ее мнимой полуосью.
42