4499
.pdfВыберем в R3 произвольную точку M и построим вектор OM . Так как векторы i , j , k образуют базис, то вектор OM можно разложить на компоненты по этому базису: OM 1i 2 j 3 k ,
где 1 , 2 , 3 – координаты вектора OM в заданном базисе.
Проведем через точку O в направлении векторов i , j , k оси Ох, Оу, Оz соответственно и
спроектируем вектор OM на каждую из осей
(рис. 2.15).
Пусть точки M1, M 2 , M3 есть проекции точки M на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.
Тогда
OM OM1 OM 2 OM3
ПрOx OM i ПрOy OM j ПрOz OM k .
Координаты вектора OM определяются по формулам
1 ПрOx OM , 2 ПрOy OM , 3 ПрOz OM .
В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через x, y, z соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора OM или декартовыми координатами точки M R3 .
Итак, OM 1i 2 j 3 k xi y j zk x; y; z .
Координаты точки M R3 записываются в форме M(x; y; z). Пусть вектор a OM задан в координатной форме a x; y; z . Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.2.15), то его длина равна
длине этой диагонали. Следовательно, |
a |
|
OM |
|
x2 |
y2 z2 . |
|
|
|
|||||||||||||
Обозначим через , , |
углы, |
между вектором a и осями координат Oх, |
||||||||||||||||||||
Oу, Oz. |
Тогда из |
прямоугольных |
треугольников |
OMM1, OMM2 , OMM3 |
||||||||||||||||||
|
cos |
|
x |
|
|
|
cos |
|
|
|
y |
|
|
|
, cos |
|
z |
|||||
получим |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 y2 |
z2 |
|
|
|
x2 y2 |
z2 |
|
x2 y2 z2 |
23
Определение. Косинусы углов , , , называются направляющими
косинусами вектора a .
Нетрудно проверить, что направляющие косинусы связаны между собой соотношением cos2 cos2 cos2 1.
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
Пусть векторы a1 и a2 заданы в координатной форме:
a1 x1; y1; z1 x1i y1 j z1k, a2 x2 ; y2 ; z2 x2 i y2 j z2 k.
Непосредственно из теорем 2.2 и 2.3 о проекциях векторов на определения координат вектора вытекают правила:
a1 a2 , если x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ; a1 a2 x1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k ; a1 a2 x1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k ;
a1 x1i y1 j z1k , где R .
(3.1)
ось и
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Задача нахождения условия коллинеарности двух векторов
Установить условие коллинеарности векторов a1 и a2 , если a1 x1; y1; z1 ,
a2 x2 ; y2 ; z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как векторы коллинеарны, |
то |
a1 a2 , |
где |
− некоторое |
число. |
||||||||||||
Согласно (3.2) − (3.5) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1i y1 j z1k x2 i y2 j z2 k |
|
|
|
|
||||||||||||
x |
x , |
y |
y |
2 |
, |
z |
z |
2 |
|
|
x1 |
|
y1 |
|
z1 |
. |
(3.6) |
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (3.6 ), то a1 a2 .
Равенства (3.6) называются условием коллинеарности двух векторов.
24
|
Задача определения расстояния между двумя точками |
|
||
Пусть в |
пространстве R3 заданы своими |
координатами |
две |
точки |
M1 x1; y1; z1 |
и M2 x2; y2; z2 . Построим векторы |
OM1 , OM 2 , |
M1M 2 |
(рис. |
2.16). |
|
|
|
|
Рис. 2.16.
Тогда OM1 x1; y1; z1 , OM 2 x2; y2 ; z2 , M1M2 OM 2 OM1
иM1M2 x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k .
Так как длина вектора M1M 2 равна расстоянию между точками M1 и M 2 , то
d M1M 2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек: M1M2 x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k .
Скалярное произведение векторов
Пусть даны два вектора a и b . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор.
Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними (рис. 2.17). Скалярное произведение обозначается
символом ab . Итак, ab ab cos .
25
Рис. 2.17.
Так как |
b |
cos Прa b, |
a |
cos Прb a , |
то ab |
a |
Прa b |
b |
Прb a , |
откуда следует, что скалярное произведение векторов a и b равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора.
Свойства скалярного произведения векторов
1)ab ba ;
2)ab 0 , если a b или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);
3)aa a 2 ;
4) |
ab a b a b для R ; |
5) |
a b c ac bc . |
Пусть векторы a и b заданы своими координатами: |
|
|
a x1i y1 j z1k , b x2 i y2 j z2 k . |
Найдем скалярное произведение ab . Вычислим предварительно скалярные
произведения единичных векторов. |
|
|
Имеем ii i i cos0 1 1 1 1, |
j j 1, |
k k 1. Векторы i , j , k взаимно |
перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.
Итак, если векторы a и b |
заданы |
своими |
|
координатами, то |
||||
ab x1x2 y1 y2 z1z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 1. Если , то ab 0 |
или |
x x |
y y |
2 |
z z |
2 |
0. |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее называется условием перпендикулярности двух векторов.
26
Следствие |
2. |
|
Так |
|
|
как |
ab |
a |
b |
cos , |
то |
||||
cos |
ab |
|
|
x1x2 y1 y2 z1z2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
b |
x12 y12 z12 |
|
x22 y22 |
z22 |
|
|
|
|
|
Векторное произведение двух векторов
Определение. Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов a и b называется вектор, обозначаемый символом a b , который определяется следующими тремя условиями:
1) модуль вектора a b равен площади параллелограмма, построенного на
векторах a и |
b |
|
как на сторонах, то есть |
||||||
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
sin a, b |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) вектор a b перпендикулярен каждому из векторов a и b ;
3) направлен вектор a b так, что если смотреть из конца его, то кратчайший поворот от вектора a к вектору b производится против движения часовой стрелки.
Свойства векторного произведения
1.a b 0 , если a 0 , или b 0 , или a и b коллинеарны.
2.Если a b , то a b ab
3.a b b a
4.a b c a c b c
5.a b a b
Выражение векторного произведения двух векторов через координаты векторов сомножителей
27
Если a ax , |
ay , az , b bx , |
by , bz , то |
|
i |
j |
k |
|
a b |
ax |
ay |
az |
. |
|||
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
Геометрический смысл модуля векторного произведения
a b S параллелограмма
12 a b S треугольника
Смешанное произведение векторов
Пусть даны три вектора a , b , c . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют разные виды произведений.
Рассмотрим подробно произведение называемое смешанным. Это. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, а затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.
Например, вначале находится векторное произведение a b d , затем – скалярное произведение d c a b c .
Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом a b c или символом abc . Результатом смешанного произведения является число.
Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если
известны координаты |
этих |
векторов |
|
a x1; y1; z1 , |
b x2 ; y2 ; z2 , |
|||||||||||||||
c x3; y3; z3 . Вычислим предварительно a b d . Имеем |
|
|
|
|
||||||||||||||||
d a b |
|
i |
j |
k |
|
|
|
y1 |
z1 |
|
i |
|
x1 |
z1 |
|
j |
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
k |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|
|
x2 |
z2 |
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
или d c a b c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
z1 |
x |
|
|
x1 |
z1 |
y |
x1 |
y1 |
z |
. Полученное равенство, |
||
|
y2 |
z2 |
3 |
|
|
x2 |
z2 |
3 |
|
x2 |
y2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно |
|||||||||||||
|
a b с |
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
переписать в форме |
|
x2 |
y2 |
z2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
|
|
|
Формула дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов a , b , c записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя.
Для смешанного произведения векторов справедливы равенства
a b с b c a c a b a c b c b a b a с .
Проверим, например, справедливость равенства a b с b a с . Согласно
формуле) имеем b a с |
x2 |
y2 |
z2 |
|
x1 |
y1 |
z1 |
. Как известно, при перестановке двух |
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
срок определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда,
умножая |
обе |
части |
|
предыдущего |
равенства на (−1) , получим |
||||||
b a с |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
a b с . |
|
|
|
|
|||||||||
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|||
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
Итак, |
a b с b a с . Модуль смешанного произведения трех векторов |
a b с равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора a , b , c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их
29
смешанное произведение равнялось нулю, т.е. a b с 0 или в координатной
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
форме |
x2 |
y2 |
z2 |
0 . |
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
|
|
|
4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия на плоскости |
|
|
|
|
Прямая линия |
Из школьного курса математики известно, что в декартовой системе
координат прямая линия может задаваться одним из уравнений: |
|
x a , |
(4.1) |
y kx b . |
(4.2) |
Первое равенство является уравнением вертикальной прямой линии, проходящей через точку A a,0 и параллельной оси Oy . Второе уравнение задает линейную функцию, графиком которой является невертикальная прямая. Напомним геометрический смысл параметров k и b , входящих в уравнение
(4.2).
Будем обозначать прямые строчными латинскими буквами (возможно с нижними индексами).
Определение. Углом наклона прямой u к оси Ox называется угол,
откладываемый против часовой стрелки от положительного направления оси Ox до прямой u : u,Ox , 0 .
Рис. 4.1
Определение. Угловым коэффициентом невертикальной прямой u
называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox . |
|
|
В действительности угловой коэффициент прямой |
u совпадает с |
|
коэффициентом k при x в уравнении (4.2), т.е. k tg , |
|
. |
|
|
2 |
30 |
|
|
Теперь положим x 0 в уравнении (4.2), получим y b . Геометрически это означает, что число b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy .
Определение. Уравнение прямой вида (4.2) называется уравнением прямой
с угловым коэффициентом. |
|
|
|
|
|
||
Замечание 4.1. Если задан угловой коэффициент k прямой |
u , то угол |
||||||
наклона этой прямой к оси Ox можно найти таким образом: |
|
|
|||||
arctgk если |
k 0 , |
|
|
|
|
|
|
arctg k |
если |
k 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
при |
0 2 |
уравнение |
k tg 0 |
эквивалентно |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнению arctgk . Если же |
2 , |
то |
0 |
2 |
и, значит, |
||
tg tg k 0 , |
откуда |
находим, |
что |
arctg k , или |
arctg k .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть дана точка M x0 , y0 , а также дан угловой коэффициент k , определяющий направление прямой линии, проходящей через точку M .
Уравнение этой прямой записывается в виде y y0 k x x0 . (4.3)
В самом деле, если искать уравнение прямой в виде (4.2), то неизвестное число b следует определять из условия принадлежности точки M прямой.
Подставляя в (4.2) |
вместо текущих координат x , y числа |
x0 , |
y0 , получаем |
числовое равенство |
y0 kx0 b , из которого находим, что b y0 kx0 . |
||
Следовательно, искомое уравнение принимает вид y kx y0 |
kx0 . |
||
Если теперь перенести y0 в левую часть равенства, |
а в |
правой части |
|
вынести k за скобки, то придем к (4.3), что и требовалось. |
|
|
Замечание 4.2. Направление прямой линии можно задать не только угловым коэффициентом k , но также ее углом наклона к оси Ox , и тогда в силу (4.4) уравнение прямой, проходящей через точку M x0 , y0 под углом к оси Ox , записывается в виде
y y0 tg x x0 . (4.4)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
31
Пусть даны точки M x0 , y0 и N x1, y1 , не лежащие на вертикальной прямой, т.е. x0 x1 . Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Оказывается, что уравнение этой прямой записывается в виде
y y0 |
|
x x0 |
. |
(4.5) |
||||
|
y |
|
|
|||||
y |
0 |
|
x |
x |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Для доказательства воспользуемся уравнением (4.3) прямой, проходящей через точку M , и найдем неизвестное число k из условия принадлежности точки N искомой прямой. Подставляя в (4.3) вместо текущих координат x , y
числа x1 , y1 , получаем числовое равенство |
y1 y0 |
k x1 x0 , |
||||
из которого находим, что k |
y1 |
y0 |
. |
|
(4.6) |
|
|
|
|
||||
|
x |
x |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Мы получили полезную формулу (4.6), выражающую угловой коэффициент прямой линии через координаты двух ее точек.
Замечание 4.3. Если данные точки M и N лежат на прямой параллельной
оси Ox ( y1 y0 0 ) или |
оси Oy |
( x1 x0 0), |
то уравнение прямой будет |
|
соответственно иметь вид |
y y0 |
или x x0 . |
|
|
|
Угол между прямыми |
|
||
Пусть даны две прямые u1 , u2 . |
|
|
|
|
Определение. Углом |
между прямыми |
u1 , |
u2 называется угол, на |
который нужно повернуть прямую u1 против часовой стрелки, чтобы она совпала с прямой u2 (или стала ей параллельной)
|
u2 ,u1 , |
0 . |
|
Вычисление угла . Пусть прямые u1 , u2 заданы уравнениями |
|||
|
y k1x b1 и |
y k2 x b2 . |
|
Обозначим через 1 , 2 |
углы наклона прямых u1 , |
u2 к оси Ox и заметим, |
|
что tg 1 k1 , tg 2 k2 . |
Из определения угла между прямыми вытекает |
||
|
равенство |
2 1 , |
откуда находим, что |
|
2 1 . |
|
|
|
Вычисление tg . В приложениях используется |
||
|
формула, |
выражающая |
tg через угловые |
32