- •Частота изменяется при изменении числа опытов.
- •Частота зависит от самой серии опытов, т.Е. Если серию опытов повторить, то частота может быть другой.
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей
- •3 .3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Дискретные - если возможные значения св (значения, которые она принимает) могут быть перечислены. Например, число попаданий в мишень при п выстрелах, число вызовов на атс и т.Д.
- •Непрерывные - если возможные значения св непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, расстояние от точки попадания до центра мишени, время безотказной работы блока устройства.
- •Биномиальное распределение.
Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообраз случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.
Пример 1. Опыт состоит в бросании Монеты один раз. Возможными исходами при этом будут - выпадение герба или цифры. Тогда Е = {е,, еЛ где е1 - выпал герб, е2 - выпала цифра.
Пример 2. Брошена игральная кость. Здесь Е = {е{, е2ей}, е1 .
Пример 3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда Е = {е,, ег,..., е. - событие, состоящее в “г — 1” вызовах в течение суток.
Пример 4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь Е = (x(f), y(t), z(t)} , где x(t), y(t), z{t) - непрерывные функции времени t.
Определение 2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.
Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.
1.3. Операции над событиями
Определение 3. Если всякий раз, когда происходит событие А в данном опыте происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В и пишут А а В .
Проиллюстрируем это понятие на схематичном рисунке.
П ример 5. При бросании игральной кости рассмотрим два события:
А - выпадение четырёх очков;
В - выпадение четного числа очков.
Тогда A cz В, т.е. событие А влечет
за собой событие В.
Ьсли же А с. В vl В а А , то А = В ,
Определение 4. Суммой двух событий А и В называется событие А + В или A<JB, состоящее н появлении по крайней мере одного из событий А или В.
Определение 5. Произведением двух событий А и В называется событие АН или АпВ, состоящее в одновременном появлении событий
А и В.
П
цц
ример 6. Опыт состоит в подбрасывании двух монет:А - выпадение герба на первой монете:
В - выпадение герба на второй монете Тогда А + В - выпадение хотя бы одного герба, А-В — выпадение двух гербов одновременно.
О пределение 6. Разностью двух событий А а В называется событие А - В или А \ В , состоящее в появлении события А без события В. Пример 7. Брошена игральная кость.
Рассмотрим два события:
А - выпадение четного числа очков;
В - выпадение двух очков.
Тогда событие А - В - выпадение
четырех или шести очков.
Определение 7. Событие Е называется достоверным событием, т.е. это такое событие, которое в результате опыта непременно произойдёт.
Определение 8. Пустое множество 0 называется невозможным событием, т.е. это событие, которое в данном опыте не может произойти.
О пределение 9. Событие А-Е-А называется событием, противоположным событию А, Событие А означает; '* что; событие А не произошло.
>лТ:ч <ЖНН1
Определение 10. События А и В называются несовместными событиями, если А -В = 0 . Это означает, что наступление А исключает появление В.
П ри этом Е = 0 .
Пример 8. Брошена монета.
Рассмотрим два события:
А - появление герба;
В - появление цифры.
Очевидно, что А и В-несовместные события.
Определение 11. События А1,А2,...,АН образуют полную группу событий, если:
Они попарно несовместны, т.е. А, ■ А) — 0, / * /;
А, + А2 + ..;! + у4„ = Е.
Пример 9. Брошена игральная кость. Тогда события - появление
очков (/ = 1, 2, ..., 6) образуют полную группу событий.
Пример 10. А+Л = Е, А + А — А, ^•/4=0.
Пусть осуществляется п опытов, в результате которых может либо пройзойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события | называют число
. . .. к(А)
рЦА)
п
где к{А) - число появлений события А в п опытах.
Из'определения частоты следуют её основные свойства: -
О < р * (А) < 1, так как 0 < к(А) < п ;
р*{Е) = 1;
р*(0) = 0.
Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику - его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам: «...
Частота изменяется при изменении числа опытов.
Частота зависит от самой серии опытов, т.Е. Если серию опытов повторить, то частота может быть другой.
В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого являются исторические примеры:
Число испытаний Число появлений герба Частота
Бюффон 4040 2048 0,5080
Пирсон 24000 12012 0,5005
Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством ста; ист и чес кой устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.
В рассмотренном примере, очевидно, что в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.
Еще ОДИН пример, как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки - 0,49. ш
Для изучения дальнейшего материала нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики:
[у Перестановки.
, Пусть дано множество М, состоящее из п элементов. Если переставлять эти элементы всевозможными способами, сохраняя их количество, то получим последовательности, каждую из которых называют перестановкой из п элементов.
Число перестановок из п элементов Рп - п\= 1 -2•...• П.
Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3,4 и 5?
По формуле для числа перестановок находим количество всевозможных пятизначных чисел Р5 = 5! = 1-2-3-4-5 = 120.
Более общим является случай, когда множество из п элементов разбито на к групп одинаковых элементов, причем в каждой 1-той группе содержится Щ элементов (п-п1+п1+...+пк). в этом случае число различных перестановок п элементов (с повторениями элементов данных групп) вычисляется по формуле
п!
РЛп., п2, -.
П1 ! п2 V
Пример 2. Сколько различных десятизначных чисел можно сложить из множества цифр (1,1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3) ?
По формуле для перестановок с повторениями находим количество раз-
11 (4 з ЗІ 10? -3628800-1200
личных десятизначных чисел 10' ’ ’ ^ 4; 3131 24-6-6
[2] Сочетания.
Всякое подмножество, содержащее к элементов данного множества М, состоящего из п элементов, называется сочетанием из п элементов по к.
к п\ л(и-1)(и-2)-...(л--Л: + 1)
Число сочетаний С" = *!(и_А)! = 1-2-3-...-*
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать трех из группы в 11 студентов?
По формуле для числа сочетаний находим количество возможных
з, 11! _ 111 _ 11109
способов выбора Чи ^ з;п і_3)| ~ 3!-8! ~ Г2-3 =
1 Размещения.
Всякое упорядоченное подмножество, содержащее к элементов данное множества М из п элементов, называется размещением из п элементов по Л
Число размещений 4» “ , _ ^“ п (п 1) ’ (и — 2) •... • (и - А +1)^
Пример 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 и 5?
По формуле для размещений находим количество всевозможных трех.
з 5| 5!
значных чисел ^5 = = 27 = 5-4-3 = 60.
Замечание. Часто при решении задач число п достаточно велико, поэтому в таких случаях полезно использовать формулу Стирлинга
и!» уіілп п" е~п .
[4^ Основные правила комбинаторики.
Правило суммы. Если некоторый объект Вх можно выбрать п разными способами, а объект В 2 можно выбрать т разными способами, причем никакой выбор В х не совпадает ни с каким выбором В 2, то один из объектов В, или В 2 можно выбрать п + т способами.
Пример 5. На двух полках находится 35 и 40 книг соответственно. Сколькими способами можно выбрать одну книгу?
По правилу суммы находим число всех возможных способов выбора п+т = 35<± 40 = 75.
Правило произведения. Если некоторый объект В, можно выбрать п разными способами и при каждом выборе объекта Вх объект В2 можно выбрать т разными способами, то выбор пары объектов (5,, В2) можно осуществить п • т способами.
Пример 6. В груше 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек.
Сколькими способами можно выбрать одного юношу и одну девушку
для участия в конкурсе?
Каждый из П = 8 вариантов выбора юноши может комбинироваться с одним из т - 12 вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения число способов выбора пары равно П'Ш- 812 = 96.
Пример 7. В іруппе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек.
Сколькими способами можно выбрать двух юношей и трех девушек для участия в конкурсе?
Каждый из С * вариантов выбора двух юношей может комбинироваться і одним из С,2 вариантов выбора девушки, поэтому но правилу произведения
^ - - С2-С3 - — .12'11'--" = 28 220 = 6160.
число способов выбора равно ^ 1-2-3
Это определение относится только к тем опытам, у которых ВОЗМОЖНО конечное число равновозможных исходов. Исходы яилямэтся равновошож- ными, если нет оснований считать, что ни один из них будет более во> можным, чем другие. Например, если брошена игральная кость, то исходи: выпало одно очко, - два очка, - шесть очков - являются равно-
возможными.
. т
Определение 1. Вероятностью события А называется число *\А) —,
п
где п - число всех исходов опыта, а т - число исходов, благоприятных появлению события А.
Из определения следуют основные свойства вероятности:
< Р(А) й \, так как 0 £ т £ п;
Р(Е) = 1, так как в этом случае т = п ;
-Р(0) = 0 , так как в этом случае т = 0.
Пример 8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет в сумме три очка.
Пусть А - интересующее нас событие. Благоприятные исходы: (1,2) и (2, 1), т.е. т = 2 . Число общих исходов определяем из того, что каждое число очков на одной кости может сочетаться с шестью вариантами числа
т _ 2 _ 1
очков На другой кости, т.е. и = 6-6 = 36. Тогда "И) - — - — - —.
П Зо I о
Пример 9. Абонент забыл последние три цифры семизначного номера и, помня, что они различные, набрал их наугад. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.
Пусть А - интересующее нас событие. Очевидно, что т = 1. Число различных вариантов набора трёх различных цифр из десяти будет равна
т«то
Пример 10. Некий гражданин купил карточку лото и наугад отметил 6 номеров из 49. Найти вероятность того, что он правильно угадал к номеров из 6 (0 < к < 6) .
Пусть А - интересующее нас событие. Общее число исходов ^6 ' • 49! ' 6!
49 - ^ | ^ ^ і • Число угаданных 6 - к\-(6-к)\ ’ каждьш из эгих
43!
вариантов может сочетаться с одним из '-♦з ~ (б-£)!-(37 + А)1 нвЧ*‘ вильных вариантов.
Тогда
т CfCfc* _ 6!• 43 !• 6!• 43i
Р^~ п I С469 49!- к! (37 + к)\-((6 -
Кстати, при к-3 => Р(А) = 0,0176.