Sin_i_cos
.pdfПримеры вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции sin x и cos x . |
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sin2 x dx |
sin3 x dx |
sin4 x dx |
sin5 x dx |
sin6 x dx |
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dx |
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dx |
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sin x |
6 |
x |
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x sin x dx |
x 2 sin x dx |
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sin |
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dx |
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dx |
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cos2 x dx |
cos3 x dx |
cos4 x dx |
cos5 x dx |
cos6 x dx |
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cos x |
2 |
x |
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dx |
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cos |
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x cos x dx |
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4 |
x |
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cos |
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chdxx
sin2 x dx
Применим формулу понижения степени sin : |
sin2 x |
1 cos 2x |
, тогда |
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1 cos 2x |
1 |
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1 |
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2 |
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x |
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1 |
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sin2 |
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cos 2x d 2x |
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x dx |
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dx |
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dx |
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sin 2x C |
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2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
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sin3 x dx
sin3 x dx sin2 x d cos x 1 cos2 x d cos x
d cos x cos2 x d cos x cos x |
1 cos3 x C |
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3 |
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Или: |
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cos x t |
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sin3 |
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sin2 |
x sin x dx |
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1 t 2 |
dt |
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x dx |
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sin x dx dt |
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t 3 |
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t 3 |
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1 |
cos3 x cos x C |
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t |
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C |
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t C |
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3 |
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3 |
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3 |
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sin4 x dx |
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Применим формулу понижения степени sin и cos : |
sin2 x 1 cos 2x и |
cos2 2x |
1 cos 4x |
, тогда |
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2 |
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2 |
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2 |
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sin4 x sin2 x |
2 |
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1 |
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1 |
cos 2x |
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1 |
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1 |
cos 2x |
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1 |
cos2 |
2x |
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2 |
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4 |
2 |
4 |
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2 |
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1 |
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1 |
cos 2x |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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cos |
4x |
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cos 2x |
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cos 4x |
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4 |
2 |
4 |
2 |
2 |
4 |
2 |
8 |
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8 |
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3 |
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1 cos 2x |
1 cos 4x |
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8 |
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2 |
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8 |
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следовательно:
sin4 x dx 83 dx 41 cos 2x d 2x 321 cos 4x d 4x 83 x 41 sin 2x 321 sin 4x C
1
sin5 x dx
sin5 |
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cos x t |
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1 |
t 2 |
2 |
dt 1 |
2t 2 t 4 dt t |
2 |
t 3 |
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1 |
t 5 |
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x dx |
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C |
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3 |
5 |
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sin x dx |
dt |
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cos x |
2 cos3 x |
1 cos5 x C |
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3 |
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5 |
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sin6 x dx |
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Используем формулы понижения степени sin |
и cos : |
sin2 x 1 cos 2x |
, cos2 2x |
1 cos 4x |
, тогда |
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2 |
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2 |
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sin6 x sin2 x |
3 |
1 |
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1 |
cos 2x |
3 |
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1 |
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3 |
cos 2x |
3 |
cos2 2x |
1 |
cos3 2x |
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2 |
2 |
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8 |
8 |
8 |
8 |
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|||||||||||
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1 |
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3 |
cos 2x |
3 |
1 |
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1 |
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1 |
cos3 |
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5 |
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3 |
|
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3 |
|
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1 |
cos3 2x |
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cos 4x |
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2x |
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cos 2x |
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cos 4x |
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8 |
8 |
8 |
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2 |
8 |
16 |
8 |
16 |
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8 |
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2 |
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следовательно: |
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5 |
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3 |
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3 |
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1 |
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I sin6 x dx |
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dx |
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cos 2x d |
2x |
cos 4x d 4x |
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cos3 2x dx |
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16 |
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16 |
64 |
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8 |
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165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 cos3 2x d 2x
вто же время
cos3 x dx cos2 x d sin x 1 sin2 x d sin x
d sin x sin2 x d sin x sin x 31 sin3 x
ив итоге, с учётом sin3 x 3sin4 x sin43x , получаем:
I |
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5 |
x |
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3 |
sin 2x |
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3 |
sin 4x |
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1 |
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cos3 |
2x d 2x |
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16 |
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|||||||||||||||||
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16 |
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64 |
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16 |
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|
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||||||||||||||
|
5 |
|
x |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
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1 |
|
3 |
|
|
|||||||
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sin 2x |
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sin 4x |
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sin 2x |
|
sin |
|
2x |
C |
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16 |
16 |
64 |
16 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
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165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 sin 2x 481 sin3 2x C
165 x 41 sin 2x 643 sin 4x 481 sin3 2x C
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5 |
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1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
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3 |
sin 2x |
1 |
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|||
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|
x |
|
sin 2x |
|
|
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sin 4x |
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4 |
sin 6x |
C |
|||
16 |
4 |
64 |
48 |
4 |
|||||||||||||||||
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||||||||||||
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5 |
x |
15 sin 2x |
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3 |
sin 4x |
|
|
1 |
|
sin 6x C |
|
|
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|||||||
16 |
64 |
192 |
|
|
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||||||||||||||||
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2
sindxx
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
t tg |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
||
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
|
2dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
x |
|
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|||||
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|
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|
|||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
t |
C ln |
tg |
|
|
C |
|||
sin x |
1 t |
2 |
t |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sin x |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
|
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|
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1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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- интеграл вычислен с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
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dx |
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cos x t |
|
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|
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dt |
|
|
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|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
1 ln |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
1 cos2 x |
1 |
t 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x dx dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
ln |
|
|
1 cos x |
|
C |
1 |
ln |
|
|
|
1 cos x 1 |
cos x |
|
|
C |
1 |
ln |
|
1 cos x 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 cos x |
|
2 |
|
|
|
1 cos x |
1 |
cos x |
|
2 |
|
1 cos2 x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
ln |
|
|
1 cos x 2 |
|
C ln |
|
1 cos x |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||
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|
|
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||||
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|
- интеграл вычислен с помощью подстановки.
Заметим, что
tg |
x |
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1 cos x |
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sin x |
x 0 , |
x 2 k , |
k Z |
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2 |
sin x |
1 cos x |
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C
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1 cos x 1 cos x |
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tg |
2 |
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2 |
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2 |
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1 cos x 1 cos x |
1 cos2 x |
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2 |
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2sin |
2 x |
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1 cos x 1 cos x |
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1 cos2 x |
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sin2 x |
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tg |
2 |
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2 |
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2 |
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1 cos x |
1 cos x 1 cos x |
1 cos x 2 |
1 cos x 2 |
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2 cos |
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2 |
x |
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2 |
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dx |
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6 |
x |
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sin |
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tg x t |
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arctg t |
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x |
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1 t 2 3 |
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1 t 2 |
2 |
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1 |
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2 t 4 |
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dx |
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dt |
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2t |
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dx |
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dt |
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dt |
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sin6 |
x |
1 |
t 2 |
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t 6 |
1 |
t 2 |
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t 6 |
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t 6 |
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tg 2 x |
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t 2 |
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sin2 |
x |
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||||||
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1 |
tg 2 x |
1 |
t |
2 |
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dt |
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dt |
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dt |
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1 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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||||||||||||
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6 |
2 |
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4 |
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2 |
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t 5 2 |
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t 3 1 t 1 |
C |
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C |
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t |
t |
t |
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5 |
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5 tg |
5 |
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x |
3 tg |
3 |
x |
tg x |
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3 |
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3
x sin x dx
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u x |
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x sin x dx |
du dx |
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x cos x cos x dx sin x x cos x C |
||||||
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|
udv uv vdu |
|||||||||
|
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dv sin x dx |
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v cos x |
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||
x 2 sin x dx |
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||
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2 |
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u x |
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|
2 |
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u x |
|
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|
2 |
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|
x |
|
du 2x dx |
|
uv vdu x |
cos x 2 x cos x dx |
du dx |
|
|
|||
|
sin x dx |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dv sin x dx |
|
|
|
dv cos x dx |
|
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||
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v cos x |
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v sin x |
|
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x 2 cos x 2 x sin x sin x dx x 2 cos x 2x sin x 2 cos x C 2 x 2 cos x 2x sin x C
cos2 x dx
Применим формулу понижения степени cos : |
cos2 x |
1 cos 2x |
, тогда |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 cos 2x |
1 |
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1 |
2 |
|
x |
|
1 |
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||
cos2 |
|
|
cos 2x d 2x |
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|
||||||||
x dx |
|
dx |
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dx |
|
|
|
|
sin 2x C |
||||
2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x dx
cos3 x dx cos2 x d sin x 1 sin2 x d sin x
d sin x sin2 x d sin x sin x 31 sin3 x C
cos4 x dx
Применим формулу понижения степени cos : |
cos2 x 1 cos 2x |
, тогда |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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2 |
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|
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|
|
2 |
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|
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||
cos4 x cos2 x |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
cos 2x |
|
1 |
cos2 |
2x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
cos 2x |
|
4 |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||
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1 |
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1 |
cos 2x |
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1 |
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1 |
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1 |
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|
|
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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|
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|||||
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cos 4x |
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cos 2x |
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|
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|
cos |
4x |
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||||||
4 |
2 |
4 |
2 |
2 |
4 |
2 |
8 |
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8 |
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|||||||||||||||||||||
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3 |
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1 cos 2x |
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1 cos 4x |
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|||||||
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8 |
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2 |
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8 |
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|
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|
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|
||
следовательно: |
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3 |
|
1 |
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|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 x |
1 sin 2x |
1 |
|
||||
cos4 x dx |
dx |
cos 2x d 2x |
|
|
cos 4x d 4x |
sin 4x C |
||||||||||||||||||||||||||||
8 |
4 |
32 |
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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8 |
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4 |
|
4
cos5 x dx
cos5 x dx sin x t 1 t 2 2 dt 1 2t 2 t 4 dt t 2 t 3 1 t 5 C
cos x dx dt 3 5
sin x 23 sin3 x 51 sin5 x C
cos6 x dx
Используем формулы понижения степени sin и cos : sin2 x |
1 cos 2x |
, |
cos2 2x 1 cos 4x |
, тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
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2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|
||
cos 6 x cos 2 x |
3 |
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1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
cos 2x |
3 |
cos 2 |
2x |
1 |
cos 3 |
2x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
cos 2x |
|
8 |
8 |
8 |
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||
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1 |
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3 |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
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|
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3 |
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|
|
|
|
3 |
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|
|
|
1 |
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|
||||
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
cos 4x |
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|
cos |
3 2x |
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
cos 4x |
|
cos 3 2x |
||||||||||||
8 |
8 |
8 |
2 |
8 |
16 |
8 |
16 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
следовательно: |
|
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5 |
|
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3 |
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|
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|
|
3 |
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1 |
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|
||||||
|
|
|
|
I cos6 |
x dx |
|
dx |
cos 2x d 2x |
|
|
cos 4x d 4x |
cos3 2x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
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16 |
|
16 |
64 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 cos3 2x d 2x
вто же время
cos3 x dx cos2 x d sin x 1 sin2 x d sin x
d sin x sin2 x d sin x sin x 31 sin3 x
ив итоге, с учётом sin3 x 3sin4 x sin43x , получаем:
I |
|
|
5 |
x |
|
3 |
sin 2x |
|
3 |
sin 4x |
|
1 |
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- использован метод интегрирования по частям.
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chdxx
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dx |
sh x t |
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dt |
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dt |
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dt |
arctg t C arctg sh x C |
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ch x |
ch2 x |
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1 sh2 x |
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1 t2 |
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ch x dx |
dt |
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Вычисление интегралов в Mathcad 14:
Для получения сопоставимой формы результата один из интегралов вычислен в Maxima 5:
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