МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Векторная алгебра
методические указания
и индивидуальные задания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
института транспорта
очной формы обучения
Тюмень 2003
Утверждено редакционно–издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Бакановская Н.Н., ассистент
Редактор: Скалкина М.А., к.ф.–м.н., профессор
© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
2003
Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач.
Перед выполнением индивидуальных заданий рекомендуем ознакомиться с решением заданий нулевого варианта, изложенных в данных методических указаниях.
З а д а н и е 1. Написать разложение вектора по векторам,,, если,,,.
Р е ш е н и е. Запишем вектор в виде линейной комбинации векторов,и:. Найдем коэффициенты,,. Для этого запишем разложение векторав координатной форме:
Подставим координаты заданных векторов. Получим систему
решив которую, найдем коэффициенты . Т.е..
З а д а н и е 2. Найти угол между векторами и, если,,,.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой . Определим координаты векторови, при этом учтем, что при умножении вектора на число, мы умножаем на это число каждую координату этого вектора, а при сложении векторов – складываем одноименные координаты:,.
Найдем скалярное произведение векторов ии их длины.,,. Подставив в формулу, получим. Отсюда.
З а д а н и е 3. Найти проекцию вектора на вектор, если, , .
Р е ш е н и е. Проекция вектора на векторнаходится по формуле. Определим координаты векторови, их скалярное произведение и длину вектора:,,,. Тогда.
З а д а н и е 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если,.
Р е ш е н и е.
Площадь параллелограмма будем искать по формуле. Для этого найдем сначала координаты векторови, а затем их векторное произведение.,,
.
Вычислим модуль полученного векторного произведения, который и будет численно равен искомой площади параллелограмма:
З а д а н и е 5. Параллелограмм построен на векторах и, где,,^. Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
Р е ш е н и е.
, ,
Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда
Следовательно,
З а д а н и е 6. Компланарны ли векторы ,,?
Р е ш е н и е. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов:
векторы некомпланарны.
З а д а н и е 7. Точки являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грании высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Р е ш е н и е. Объем пирамиды будем искать по формуле, где,и–векторы, совпадающие с ребрами пирамиды. В нашем случае такими векторами будут.
Найдем координаты этих векторов, а затем их смешанное произведение.
Теперь найдем площадь грани по формуле.
. Тогда площадь грани будет равна
Т.к. , то высотаH =, опущенная на грань, равна.
З а д а н и е 8. Найти вектор , перпендикулярный к векторамии удовлетворяющий условию.
Р е ш е н и е. Пусть вектор имеет координаты. Т. к. векторперпендикулярен векторами, то. Запишем все три скалярных произведения в координатной форме:
Решив полученную систему, получим, что .
З а д а н и е 9. Зная векторы и, совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершинеи площадь треугольника.
Р е ш е н и е. Угол при вершине – это угол между векторамии. Вектор, тогда,