Механика, кр1(5 вариант)
.pdfМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена трудового Красного Знамени Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Московский технический университет связи и информатики»
Кафедра физики
Контрольная работа Вариант 5
Выполнил студент группы
Москва, 2024
105*. Найти угловое ускорение диска массой m=1кг и радиусом R=0,3м (рис.3), на который намотан шнур с привязанным грузом массой m1=0,5 кг. Найти натяжение шнура.
Решение:
m 1кг m1 0.5 кг R 0,3м
R-?
Второй закон Ньютона для груза:
m a m g T |
|
T m |
g a |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Основное уравнение динамики вращательного движения:
J M
Момент силы натяжения нити: M TR .
Момент инерции диска: J mR2
2
Связь углового и тангенциального ускорений:
a R
mR |
2 |
a |
|
g a R |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ma |
m g m a |
a |
2m g |
|
2 0.5 9.8 |
3.27м / с |
2 |
|||
|
1 |
|
||||||||
2 |
|
1 |
|
1 |
|
3m |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T m g a |
0.5 9.8 3.27 3.27 Н |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
115*. Начало условия смотрите в задаче 111. Человек массой 75 кг стоит на краю платформы, делающей 3 об/мин. С какой скоростью должен идти человек вдоль края платформы, чтобы его скорость относительно Земли стала равной нулю? Масса платформы 100 кг, ее радиус 1,6 м.
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|||
m 75 кг |
|
|
|
||
M 100 кг |
|
|
|
||
n |
3 |
об |
0,05c |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
1 |
|
мин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 1.6 м |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
u ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции диска относительно оси вращения равен
Момент инерции человека относительно оси вращения |
I2 |
I
|
|
MR |
2 |
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
mR |
|
.
Абсолютная скорость человека после начала его движения равна алгебраической сумме скорости платформы относительно земли и скорости человека относительно платформы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
2 |
|
|
|
|
отн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отн |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Закон сохранения момента импульса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I |
1 |
I |
2 |
I |
I |
, |
где |
2 n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
2 a |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
|
I |
|
2 n |
|
I |
0 |
|
|
|
I |
|
I |
|
2 n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отн |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая переносная скорость человека: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MR2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 I2 |
2 n1 |
|
|
|
|
|
|
|
mR2 |
|
2 n1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
u |
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MR2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
отн |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
M 2m 2 n1 |
R 100 2 75 2 0.05 |
1.6 1.27 м/с |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
125*. На тонком кольце равномерно распределен заряд с линейной плотностью заряда τ= 20 нКл/см. Радиус кольца R= 5 см. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его середины, находится точечный заряд q = 40 нКл. Определить силу, действующую на точечный заряд со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: I) h1= 10
см; 2) h2= 2 м.
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|||
R 0.05 м |
|
|
|
|
2 10 6 |
|
Кл |
|
|
|
м |
|
||
|
|
|
||
q 4 10 8 Кл |
|
|||
h1 0.01 м |
|
|
|
|
h2 2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F-? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заряд Q не является точечным, поэтому кольцо разбивается на элементарные части, заряд dQ, которые можно считать точечными. Тогда сила, действующая на точечный заряд q со стороны кольца, определяется по закону Кулона:
dF k |
qdQ |
, dQ dl |
||
r |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
Направление сил будет меняться при переходе от одного элемента к другому, поэтому нужно найти проекции силы на ось x:
dFx
dF cos
, где cos hr ,
r |
R |
2 |
h |
2 |
|
|
|
,
Тогда с учетом всего этого получим |
|
|
|
|
||||||||||||
F dF cos |
k q dl h k |
|
qh 2 R |
|||||||||||||
F0 |
|
2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
r2 |
|
|
r |
(R2 h2 )3/2 |
|||||||
При h1 |
0.01 м : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 9 109 |
4 10 8 |
0.01 2 |
10 6 2 0.05 |
17 мН |
||||||||||||
|
(0.052 |
|
0.012 )3/2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При h2 |
2 м : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 9 109 |
4 10 8 |
2 2 10 6 |
2 0.05 |
5.65 10 5 Н |
||||||||||||
|
(0.052 |
|
22 )3/2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135*. Сферическая поверхность радиусом R1 = 30 мм имеет равномерно распределенный заряд –5.10-8 Кл. На второй сферической поверхности радиусом R2 = 40 мм равномерно распределен такой же по величине, но положительный заряд. Центры сферических поверхностей совпадают. Все пространство между сферическими поверхностями заполнено однородным диэлектриком (ε= 5). Построить графики функций f1(r) и f2(r) для случаев:
I) r<R1; 2) R1 ≤r≤ R2 ; 3) г >R2. Вычислить разность потенциалов ∆φ между точками r1= 20 мм и r2= 60 мм.
Дано: |
|
|
|
|
||
R 0,03 |
м |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
0,04 |
м |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
0,06 м |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
r |
0,02 м |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
q |
|
–5 10 |
–8 |
Кл |
||
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
5 10 |
–8 |
Кл |
||
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
Е r ? |
|
|
|
|
||
D r ? |
|
|
|
|
||
? |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
1) r < R1.
Применим теорему Гаусса. Выберем в качестве замкнутой поверхности концентрическую сферу радиуса r < R1. Очевидно, что напряженность на поверхности этой сферы будет одинакова по величине и направлена по радиусу.
Тогда поток напряженности через нее будет E 4πr2. Согласно теореме Гаусса
Е 4 r2 |
q |
Е |
q |
|
. |
||
|
0 |
4 |
r2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
Так как гауссова поверхность не охватывает заряд (q = 0), то Электрическое смещение: D 0 Е 0.
2) R1 ≤ r ≤ R2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е 4 r |
2 |
|
q |
|
|
Е |
q |
|
|
. |
1 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Электрическое смещение
Е 0.
D |
|
Е |
q |
|
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) r > R2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е 4 r2 |
q1 q2 |
Е |
q1 q2 |
0. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
4 |
r2 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Электрическое смещение
D 0 Е 0.
Для построения графиков E(r) и D(r) вычислим значения E и D в характерных точках.
область |
|
r < R1 |
R1 ≤ r ≤ R2 |
|
r > R2 |
|||
r, см |
0 |
|
3 |
3 |
4 |
4 |
|
5 |
E, кВ/м |
0 |
|
0 |
–100 |
–56 |
0 |
|
0 |
D, мкКл/м2 |
0 |
|
0 |
–4,4 |
–2,5 |
0 |
|
0 |
Найдем разность потенциалов между точками r1 = 2 см и r2 = 6 см по формуле
E |
d |
|
|
d Edr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
r2 |
|
|
R1 |
R2 |
q1 |
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
||||||
d Edr 0 dr |
|
|
|
|
dr 0 dr |
||||||||||||||||||||
4 |
|
r2 |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
r1 |
|
|
r1 |
R1 |
|
|
0 |
|
|
|
R2 |
|
|
||||||
|
q1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
5 10 8 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
749 В. |
||||
4 |
|
R2 |
|
4 5 8,85 10 |
12 |
|
0, 03 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
R1 |
|
|
|
0, 04 |
|
|
|
145. Электрическое сопротивление R некоторого участка проводника длиной l = 0,6 м и сечением S =1,5 мм2 составило 1,12 Ом. Определить тепловую удельную мощность, выделяемую на участке с напряженностью электрического поля Е=0,56 В/м. Предполагая поле однородным, вычислить количество теплоты, выделяемое в проводнике за 15 с.
Дано: |
|
|
|
l 0.6 м |
|
|
|
S 1.5 10 |
6 |
м |
2 |
|
|
||
R 1.12 Ом |
|
||
Е 0,56 В / м |
|||
t 15 с |
|
|
|
w,Q ? |
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Удельная тепловая мощность тока:
w j2
Зная сопротивление участка, найдем удельную проводимость:
R |
l |
|
|
RS |
|
S |
l |
||||
|
|
|
|||
Закон Ома: |
|
|
|||
j E |
E |
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
E |
2 |
E |
2 |
|
2 |
l |
|
0.56 |
2 |
0.6 |
|
|
Вт |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
w |
|
|
|
E |
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
RS |
1.12 1.5 10 |
6 |
1.12 10 |
м |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Количество теплоты, выделяемое в проводнике за 15 с: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
6 |
0.6 15 1.5Дж |
|
|
|
|
|||||
Q wV t wSl t 1.12 10 |
1.5 10 |
|
|
|
|
155*. Найти напряженность магнитного поля в центре дуги радиусом 0,2 м, замыкающей два параллельных полубесконечных проводника, если лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости дуги, а сила тока в цепи равна 14 А
Дано: R 0,2 м
I 14 A H ?
Решение:
Разобьем проводник на три части. С учетом симметрии части 1 и 3 проводника с током создают магнитные поля с равными напряженностями:
H |
1 |
H |
. |
|
3 |
|
Напряженность магнитного поля, создаваемая отрезком проводника
H |
I |
cos 1 |
cos 2 , |
|
|
||||
4 a |
||||
|
|
|
где μ0 ― магнитная постоянная,
a = R ― расстояние до оси проводника,
α1 и α2 ― углы между направлением тока и направлением на точку, в которой создано магнитное поле, вершинами которых являются соответственно начало и конец прямого участка проводника. α1 = π/2, α2 = π.
H |
|
H |
|
|
I |
|
|
|
|
I |
. |
1 |
3 |
4 R |
cos |
|
cos |
4 R |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность магнитного поля в центре кругового проводника с током
H |
I |
, |
|
2R |
|||
|
|
где R ― радиус проводника.
Полукольцо 2 с током создает магнитное поле с напряженностью
H |
|
|
I |
. |
|
2 |
4R |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
Результирующую напряженность найдем векторным сложением:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
H |
H1 H 2 H3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
H (H |
1 |
H |
)2 |
H 2 |
|
(2H |
)2 H |
2 |
4H 2 |
H 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
4 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
4 |
1 20,7 А/м. |
||||||
4H 2 H 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
4R |
2 |
|
|
|
4 0,2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|