LEKTsIYa_6
.pdfЛЕКЦИЯ № 6.
4. НЕПРЕРЫВНЫЙ ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ (НИ).
Непрерывный (аналоговый) источник выдает непрерывный сигнал x(t) , который является некоторой реализацией случайного процесса (t) .
4.1. Теорема отсчетов для детерминированных функций.
Если спектр функции x(t) |
заключен в интервале частот Fв f Fв , то она |
||||||||||||||||||||||||||||
может быть представлена в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x(t) x( |
|
) |
(4.1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2F |
|
|
(2F t k) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|||||||||||
Здесь |
x( |
k |
) xk - отсчеты функции x(t) , взятые через интервал времени |
||||||||||||||||||||||||||
2Fв |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
1 |
|
, |
F |
- верхняя частота спектра. Замечание: lim |
sin x |
1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2Fв |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. Пусть S( j ) - спектр функции x(t) , |
2 f . Известно, что |
||||||||||||||||||||||||||||
сигнал связан со своим спектром парой преобразований Фурье |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
S( j ) x(t)e j t dt |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
S( j )e j t d |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 Fв , то можно записать: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Так как S( j ) 0 при |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x(t) |
|
S( j )e j t d |
(*) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Далее, в моменты времени tk |
|
|
k |
|
, k 0, 1, 2....... получим |
||||||||||||||||||||||||
2Fв |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 Fв |
|
|
|
|
j |
k |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2F |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x(tk ) |
|
|
|
|
|
S( j )e |
в d |
(**) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разложим функцию S( ) на интервале частот [ 2 Fв ; 2 Fв ] в ряд Фурье: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
S( j ) k e |
2Fв |
, |
|
|
|
(***) |
k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 2F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S( j )e |
|
в |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(****) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из (**) и (****) следует, что |
|
k |
|
|
1 |
|
x( tk ) . Тогда с учетом этого подставим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2Fв |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(***) |
|
в (*): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 Fв |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
x( tk )e |
|
|
2Fв e j t d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв k |
2Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Меняя знак перед |
k |
|
|
в аргументе |
x( ) |
|
и показателе экспоненты, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 Fв |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
1 |
|
2 Fв |
1 |
j (t |
|
k |
) |
|
|
|||||||||||||||
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fв e j t d x( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fв d . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(tk )e |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2F |
|
|
|
|
2F |
2 |
|
2F |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 Fв k |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
в |
|
|
|
|
2 Fв |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
j (t |
2F |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Возьмем интеграл |
|
|
|
|
e |
|
|
в d : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 j sin( (2F t k)) |
|
2sin( (2F t k)) |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
j (t 2F |
) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 2 Fв (t |
2F ) |
|
|
j 2 Fв (t |
2F ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
в |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
|
|
|
|
|
в |
e |
|
|
|
|
|
в |
) |
|
|
|
|
|
|
в |
|
в |
||||||||||||||
2Fв |
|
|
|
|
|
|
2Fв j(t |
|
|
k |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(2Fвt k) |
(2Fвt k) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда окончательно имеем результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
1 |
|
|
2 sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x(t) x( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
x( |
|
|
|
) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2F |
2 |
|
|
|
|
(2F t k) |
|
|
|
|
|
2F |
|
|
|
(2F t k) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
Теорема Котельникова. Функцию с финитным (конечным) спектром,
можно восстановить по ее отсчетам, взятым через интервал времени
t |
1 |
. |
|
||
|
2Fв |
Из формулы (4.1) следует, что чтобы восстановить сигнал x(t) по его отсчетам,
надо совершить свертку отсчетов xk |
с функцией |
sin( (2Fвt k)) |
. Из теории |
||
(2Fвt |
k) |
||||
|
|
|
линейных цепей известно, что выход линейной системы определяется сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой цепи. Поэтому,
если на вход линейной системы с импульсной характеристикой
sin( (2Fвt k))
(2Fвt k)
подать xk , то на ее выходе будет сигнал x(t) . Этим требованиям соответствует
идеальный фильтр низких частот (ИФНЧ), у которого амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) имеет вид:
K |
|
|
|
|
|
2 F , |
|
0 |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
в |
||
K ( ) |
|
|
|
2 Fв . |
|||
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда импульсная характеристика ИФНЧ равна
h(t) sin( 2 Fвt) .
2 Fвt
Нули функции h(t) находятся в точках t tk, t 1 .
2Fв
K( )
K 0
t
2 Fв |
0 |
2 Fв |
1
0.8
0.6
0.4
h(t)
0.2
0
-0.2
3 t |
t |
t |
3 t |
|
2 t |
|
2 t |
-0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
|
|
|
|
t, |
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 10 |
Обобщение теоремы отсчетов.
Теорема отсчетов применима
1) если отсчеты взяты через интервал времени t 21Fв , т.е. частота дискретизации fd 2Fв ,
2) к непрерывным случайным стационарным процессам с ограниченной по частоте спектральной плотностью мощности (СПМ) Gx ( ) .
4.2. Ошибки в теории дискретизации и восстановлении непрерывных функций.
1. Ошибка за счет округления.
При |
цифровой |
записи |
сигнала |
|
вместо |
отсчетов xk |
|
запоминаются |
|
их |
||||||||||||||||||||||
приближенные значения |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая называется |
|||||||||||||||
xk . Тогда появляется ошибка, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ошибкой квантования |
k |
~ |
xk . |
В этом случае восстановленный |
сигнал |
|||||||||||||||||||||||||||
xk |
||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид (см. (4.1)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ˆ |
|
|
~ |
|
sin( (2Fвt k )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x1 |
(t) xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(2Fвt k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а ошибка восстановления определяется как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e1 (t) x1 (t) x(t) k |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(2Fвt k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем энергию ошибки e1 (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
W1 e1 (t)dt ( |
k |
|
|
|
) |
|
dt k |
|
|
|
|
dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(2F t k) |
|
|
|
|
( (2F t k))2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.к. |
случайные величины k |
|
|
независимые. |
|
Введем |
замену |
переменной |
||||||||||||||||||||||||
(2Fвt k ) z , тогда dz 2 Fв dt . Далее |
sin 2 ( (2F t k)) |
dt |
1 |
|
sin 2 (z) |
dz |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( (2F t k))2 |
|
2 F |
|
z 2 |
|
|
2F |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
в |
Подставляя значение вычисленного интеграла в выражения для энергии ошибки, получим
|
1 |
|
|
W1 |
k2 . |
||
2F |
|||
|
|
||
|
в k |
Мощность (дисперсия) ошибки восстановления равна 12 2FвW1 .
Тогда приближенную оценку ошибки восстановления можно записать следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
12 |
|
k2 |
(4.2) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
2. Ошибка за счет отбрасывания членов ряда.
При вычислении |
значений |
|
x(t) |
|
|
|
|
|
реально используется усеченный ряд |
|||||||||||||||||||||||||||
Котельникова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 (t) xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(2Fвt k) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k N |
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) xk |
|
||||||||||
При этом возникает ошибка |
e2 (t) x2 |
(t) |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(2Fвt k) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k N |
|
||
Справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( 2 Fвt) |
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
(4.3) |
||||||||||||||
|
|
|
e2 (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв |
|
|
|
k |
|
N |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fв |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Ошибка, вызванная усечением спектра сигнала. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если спектр S( j ) или Gx ( ) |
сигнала занимает полосу частот [ F0 ; F0 ], шаг |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
дискретизации t |
|
1 |
, где F |
F |
, то возникает ошибка усечения спектр e (t) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
2Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
. В этом случае справедлива оценка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
e3 (t) |
|
|
2 |
(F0 Fв ) |
|
|
|
max |
|
|
S( j ) |
|
|
(4.4) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв 2 F0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
или дисперсия ошибки определяется как |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
Gx ( )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при F0 .
Gx ( )
0 Fв
4. Ошибка стробирования.
На практике выборки значений x(t) |
берутся не точно в моменты времени |
||||||||||
tk |
k |
, в моменты |
tk |
|
k |
|
k , где |
k - ошибка стробирования. Тогда |
|||
|
2Fв |
|
|
2Fв |
|
|
|
|
|||
восстановленный сигнал имеет вид: |
|
|
|
||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
k |
|
sin( (2Fвt k)) |
|
||
|
|
|
x( |
|
k ) |
. |
|||||
|
|
x4 (t) |
|
|
|
|
|||||
|
|
2F |
|
(2F t k) |
|||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
в |
|
Так как ошибка k мала, то функцию x( ) можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться первым приближением:
|
|
|
|
|
x( |
k |
k ) x( |
k |
) x' ( |
k |
) k , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2Fв |
2Fв |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fв |
|
|
|
|||||
где x' ( |
k |
|
) - |
первая производная функции x( ) |
в точке |
k |
. Обозначим |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Fв |
|
|||
k x' ( |
|
k |
) k . |
Тогда |
ошибка |
|
восстановления |
определяется |
следующим |
||||||||||||
2Fв |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
sin( (2Fвt k)) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
e4 (t) x4 (t) x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(2Fвt k) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||
и справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 |
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
5.Ошибка, вызвана не идеальностью характеристик восстанавливающего фильтра нижних частот.
Если вместо ИФНЧ взять RC фильтр, у которого импульсная характеристика имеет вид h(t) RC1 e RCt , то получим следующую картину:
xk |
xˆ5 (t) |
tk
Чем выше частота дискретизации и чем ближе характеристики фильтра к характеристикам ИФНЧ, тем меньше ошибка восстановления.
4.3. Формирование ИКМ сигнала.
ИКМ сигнал – сигнал импульсно-кодовой модуляции.
|
НИ |
x(t) |
|
|
Дискре- |
xk |
Кванто- |
~ |
Кодер |
101…0 |
|||
|
|
|
xk |
||||||||||
|
|
|
|
|
тизатор |
|
|
ватель |
|
источ- |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АЦП |
|
|
|
|
||
k 0,1,2,..... - дискретное время. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Характеристика типового равномерного квантователя. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
h , В |
h7 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
h6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
h4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u , В |
||
u0 |
u1 |
u2 |
u3 |
u4 |
u5 |
u6 |
u7 |
u8 |
h3
h2
h1
h0
2 X m
hl - уровни квантования ul - пороги. Разность между соседними уровнями называется шагом квантования hl hl 1 . Для равномерного квантователя const . Здесь рассмотрен квантователь с 8 уровнями.
X m - полномасштабный уровень АЦП, его значение, как правило, колеблется от 1 до 10 В. Значение квантованного отсчета (сигнала на выходе
квантователя) равно ближайшему уровню квантования, т.е., |
если ul xk ul 1 , |
|||||
то |
~ |
hl . Пример: пусть |
u2 xk u3 , тогда |
~ |
h2 . (См. |
характеристику |
xk |
xk |
квантователя). Шаг квантователя зависит от полномасштабного уровня АЦП и количества уровней квантования:
|
2 X m |
(4.7) |
|
N |
|||
|
|
||
Ошибка (шум) квантования k |
при малых является стационарным |
случайным процессом с равномерной плотностью распределения вероятности на интервале [
w (x)
1
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
Дисперсия шума квантования равна |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
w (x)dx |
2 |
(4.8) |
|
x |
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Если имеется N уровней |
квантования, то каждый квантованный отсчет |
|||||
кодируется |
|
|
|
|
|
|
K log 2 |
N (бит/отсчет), если N 2b , |
(4.9 а) |
||||
K log 2 N 1 (бит/отсчет), если N 2b . |
(4.9 б) |
Здесь - выделение целой части из значения log 2 N . Замечание: кодируется либо само значение квантованного отсчета, либо номер уровня квантования, которому равен квантованный отсчет.
xk дискретизация сигнала, tk k t, xk x(tk )
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
t |
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
|
квантование сигнала с шагом , N 4 . |
|
|
||||||||||||||
xk |
|
|
|||||||||||||||||
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
t |
|
|
|
|
||||||||||
ИКМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
~ |
h1 |
~ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , x1 |
01, x2 h3 11, |
|||||
0 |
1 1 1 |
1 0 |
1 0 |
0 1 |
~ |
h2 |
10, |
~ |
~ |
||||||||||
x3 |
x4 |
h2 10, x5 h1 01 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(кодируется номер уровня квантователя.) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
Достоинства ИКМ сигнала.
1)ИКМ сигналсигнал цифровой. Он позволяет реализовать достоинства цифровой аппаратуры, такие как большая степень интеграции, унификации, стандартизации, меньше объем аппаратуры, больше точность и стабильность параметров по сравнению с аналоговой техникой.
2)Имеет хорошую помехоустойчивость, т.е. его можно восстановить по искаженному принятому сигналу, используя аппарат принятия статистических решений (выносится решение о приходе «0» или «1»). Это сделать проще, нежели постоянно оценивать значения аналогового сигнала в текущем времени.
Недостатки ИКМ.
1) Ширина спектра ИКМ сигнала FИКМ
аналогового сигнала. За время t 1
2Fв
больше ширины спектра Fв исходного нужно передать комбинацию из
Тогда |
длительность одного бита |
T t |
|
|
1 |
. Ширина спектра ИКМ |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
б |
K |
|
K 2Fв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F |
1 |
2KF . Обычно |
K 6 9 , тогда F |
|
в 12-18 раз больше ширины |
||||
|
|
||||||||
ИКМ |
|
в |
|
|
|
ИКМ |
|
|
|
|
Tб |
|
|
|
|
|
|
|
спектра исходного сигнала.
2) При процедуре квантования в представление сигнала вносится ошибка:
~ |
k . |
xk xk |