ОЭТ / 4.5 Последовательное RLC
.docПоследовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
Рис.1 |
Цепь с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости является последовательным колебательным контуром (рис.1). При прохождении по такой цепи тока i=Im·sinωt на каждом элементе создается падение напряжения: |
uR = URmsinωt; uL = ULmsin(ωt+π/2); uC = UCmsin(ωt-π/2).
I). Рассмотрим свойства цепи при XL>XC.
Построим векторную диаграмму напряжений(рис2,а). Для построения векторной диаграммы находим:
UR =IR; UL = IXL; UC = IXC.
Так как XL>XC, то UL>UC. Откладываем вектор тока I, затем вектор напряжения UR, совпадающий по фазе с вектором тока. С конца вектора UR проводим вектор UL перпендикулярно вектору тока. С конца вектора UL проводим вектор UС и получаем результирующий вектор UХ - реактивное напряжение.
Векторы реактивных составляющих напряжения направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому им придают разные знаки: реактивное напряжение индуктивности UL считают положительным, а напряжение емкости UC – отрицательным.
Соединим начало вектора UR с концом вектора UХ, получив вектор суммарного напряжения U.
Рис.2
Разность индуктивного и емкостного падений напряжений называется реактивным напряжением:
UХ = UL - UC = IXL - IXC = I(XL - XC) = IX.
Разность индуктивного и емкостного сопротивлений называется реактивным сопротивлением:
X = UХ/I = XL - XC.
Из треугольника напряжений суммарное напряжение
U= =
Закон Ома для общего случая последовательного соединения:
Полное сопротивление цепи Z:
Z = U/I =
При условии, что XL>XC, полное сопротивление цепи носит индуктивный характер и общее напряжение опережает по фазе ток на угол φ, причем 0φ>π/2.
Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис. 2,б). Из треугольника сопротивлений следует:
R = , X = , cos φ = R/Z, sin φ = X/Z, tg φ = X/R.
Если стороны треугольника напряжений умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (рис. 2,в).
Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении
Р = UR I = I2R = S cos φ = UI cos φ.
Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивностью и источником
Q = UХ I = I2X = S sin φ.
Полная мощность цепи
S = UI = I2Z = .
II). XLXC.
В этом случае ULUC, так как XLXC (рис.3). Тогда общее напряжение отстает по фазе ток на угол φ, причем 0φ>π/2. Это значит, что полное сопротивление цепи носит емкостной характер. Аналогично варианту XL>XC строятся векторные диаграммы сопротивлений и мощностей для XLXC. |
Рис.3 |
Таким образом, при последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости и если XL≠XC, то в цепи преобладает или индуктивное, или емкостное сопротивление и с энергетической точки зрения такая цепь сводится к цепи с R,L или R,C.
Тогда мгновенная мощность р = U Icosφ + U Icos(2ωt + φ), причем знак φ определяется характером сопротивления.
Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении
Р = UR I = I2R = S cos φ = UI cos φ.
Реактивная мощность
Q = UL I = I2XL = S sin φ.
Полная мощность цепи
S = UI = I2Z =
Множитель cos φ называется коэффициентом мощности. Он характеризует степень использования энергии потребителем, т.е какая часть электроэнергии преобразуется в другой вид энергии: cos φ = Р/S.
III). XL= XC : резонанс напряжений
Резонансом напряжений называют явление в последовательной цепи R,L,C, при котором ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника. В этом случае реактивные составляющие напряжений равны по величине (UL=UC) и взаимно компенсируются: UХ =0. (рис.6).
Напряжение источника идет только на покрытие потерь на активном сопротивлении:
UХ = UL - UC = 0; U = .
Сопротивление цепи минимальное и чисто активное:
X= XL - XC =0; Z = .
Ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и максимален:
cos φ = R/Z =1; φ=0º; I=U/R.
Энергии магнитного и электрического полей равны между собой, реактивная мощность цепи равна нулю:
QL=I2XL; QC=I2XC; Q=QL - QC =0; Р = I2R.
Рис.4. |
Особенности энергетического процесса в цепи отражены на рис.4. Преобразование электрической энергии источника в другой вид энергии происходит на сопротивлении. Индуктивность и емкость в течение полупериода накапливают равные количества энергии. Можно считать, что происходит обмен энергией между индуктивностью и емкостью. С увеличением тока энергия магнитного поля в индуктивности увеличивается, а электрическое поле в конденсаторе уменьшается. При максимальном токе UC =0, реактивная мощность сосредоточена в магнитном поле катушки. |
Затем ток в цепи начнет уменьшаться и растет напряжение на конденсаторе. Энергия магнитного поля катушки «перекачивается» в энергию электрического поля конденсатора. При i=0 UC максимально и вся реактивная мощность будет сосредоточена в электрическом поле конденсатора.
Условием резонанса напряжений является Х=0, т.е. XL= XC. Но XL=2πfL и XC=1/(2πfC), где f – частота источника питания. Решив это уравнение относительно f, получим, что частота источника питания f равна собственной (резонансной) частоте контура f0:
, .
Характер изменения в последовательном контуре всех величин изображен на рис.5.
Рис.5 |
При ff0 сопротивление цепи носит емкостной характер и при подходе к резонансу общее сопротивление уменьшается, а ток растет. В момент резонанса сопротивление цепи чисто активное и равно R, а ток максимален (Iр). При f>f0 сопротивление цепи носит индуктивный характер и возрастает с увеличением частоты, а ток уменьшается. Напряжение на активном сопротивлении изменяется по закону тока: UR = IR. |
При резонансе сопротивления реактивных элементов равны ω0L = 1/ω0C. Подставим значение ω0 и получим величину волнового сопротивления контура
Поэтому напряжения на реактивных элементах в момент резонанса
UL = UC = IXL = IXC = IZB = .
Из этого выражения следует, что
.
Если ZB >R, то напряжение на реактивных элементах больше напряжения источника (рис.6). Количественно данное явление характеризуется добротностью контура Q
Т.е. UL=UC = |
Рис.6. Векторная диаграмма напряжений при резонансе |
Чем меньше R, тем меньше потери и больше добротность контура. Чем меньше R, тем меньше потери и больше добротность контура.
Рис.7 |
Большему значению добротности соответствуют больший ток IР при резонансе и более острая резонансная кривая. Резонансная кривая показывает зависимость действующего значения тока от частоты источника при неизменной собственной частоте контура. На рис.7 показаны резонансные кривые при различных Q. |
При неизменной частоте источника питания ввести контур в резонанс можно: - изменяя величину емкости конденсатора;
- изменяя индуктивность катушки (что технически труднее).
Пример расчета последовательной цепи R,L,C:
L |
мГн |
15,90 |
15,90 |
15,90 |
15,90 |
15,90 |
15,90 |
15,90 |
15,90 |
f |
Гц |
5,00 |
20,00 |
40,00 |
50,00 |
60,00 |
80,00 |
100,00 |
150,00 |
XL |
Ом |
0,50 |
2,00 |
3,99 |
4,99 |
5,99 |
7,99 |
9,99 |
14,98 |
C |
мкФ |
637,00 |
637,00 |
637,00 |
637,00 |
637,00 |
637,00 |
637,00 |
637,00 |
Xc |
Ом |
50,00 |
12,50 |
6,25 |
5,00 |
4,17 |
3,12 |
2,50 |
1,67 |
R |
Ом |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
Z |
Ом |
49,54 |
10,69 |
3,01 |
2,00 |
2,71 |
5,26 |
7,75 |
13,46 |
U |
В |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
I |
А |
2,02 |
9,35 |
33,17 |
50,00 |
36,94 |
19,02 |
12,91 |
7,43 |
S |
Bт |
201,87 |
935,40 |
3317,40 |
4999,97 |
3693,58 |
1901,64 |
1290,65 |
742,90 |
Q |
BАр |
2,03 |
174,74 |
4395,55 |
12481,35 |
8173,43 |
2888,71 |
1663,32 |
826,63 |
P |
Bт |
8,15 |
175,00 |
2201,03 |
4999,94 |
2728,51 |
723,25 |
333,16 |
110,38 |
cos φ |
|
0,04 |
0,19 |
0,66 |
1,00 |
0,74 |
0,38 |
0,26 |
0,15 |
UR |
В |
4,04 |
18,71 |
66,35 |
100,00 |
73,87 |
38,03 |
25,81 |
14,86 |
UL |
В |
1,01 |
18,68 |
132,50 |
249,63 |
221,29 |
151,91 |
128,87 |
111,27 |
UC |
В |
100,93 |
116,91 |
207,32 |
249,98 |
153,89 |
59,42 |
32,26 |
12,38 |