Тема 1.1. Системы счисления ↕ ↑
1.1.1. Числа, цифры и коды
1.1.2. Десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы
счисления
1.1.3. Контрольные вопросы по теме «Системы счисления»
1.1.4. Тестовые задания по теме «Системы счисления»
1.1.1. Числа, цифры и коды
Число - основное понятие математики, которое обычно означает либо количество, размер, вес и тому подобное, либо порядковый номер, расположение в последовательности, код, шифр и тому подобное. В простейшем случае мы будем иметь дело с множеством целых неотрицательных чисел, которое начинается с нуля и продолжается до бесконечности: 0, 1, 2, 3, 4, … В информатике эти числа, начинающиеся с нуля, называются натуральными.
Цифра – специальные графические знаки, используемые для представления и записи чисел. Например, число 256состоит из трех цифр 2, 5 и 6, число 16 состоит из двух цифр 1 и 6, а число 0– из одной цифры 0. Цифра – условный знак для обозначения чисел. Числа записываются при помощи цифр. Цифра в узком смысле – один из 10 знаков десятичной системы счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Код – это правило отображения одного набора объектов или знаков в другой набор знаков без потери информации. Чтобы избежать потерь информации, это отображение должно быть таким, чтобы можно было всегда однозначно возвратиться к прежнему набору объектов или знаков. Например, любую информацию можно передать русским языком с помощью 33 букв русского алфавита и добавочных знаков препинания.
Кодирование – это представление, моделирование одного набора знаков другим с помощью кода. Кодовая таблица — это соответствие между набором знаков и их кодами, обычно разными числами. Так, например, однозначными десятичными числами можно закодировать 10 предметов, приписав каждому предмету одно из 10 однозначных чисел, а двузначными десятичными числами – 100 предметов. В качестве примера можно привести универсальную компьютерную кодовую таблицу ASCII.
Система счисления, или просто счисление, — набор конкретных знаков-цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами. Различные системы счисления могут отличаться друг от друга по следующим признакам:
разное начертание цифр, которые обозначают одни и те же числа;
разные способы записи чисел цифрами;
разное количество цифр.
По способу записи чисел цифрами системы счисления бывают позиционные и непозиционные.
Непозиционная система счисления– система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Примером непозиционной системы счисления служат цифры в римской системе, обозначающиеся знаками: 1- I , 3 - III, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500- D, 1000 - M. Тогда, например, десятичное число 27 будет представляться как XXVII = 10+10+5+1+1, то есть количественное значение числа представляется суммой значений символов. Основной недостаток непозиционных систем - большое число разных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления – система, в которой значение символа зависит от его места в ряду символов (цифр), изображающих число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая – количество сотен, третья – количество десятков, четвертая — количество единиц. Номер позиции, определяющий вес единицы, называется разрядом.
Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они и получили наибольшее распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием или базисом.
Основание (базис) позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых в разрядах для изображения числа в данной системе счисления.
Для позиционной системы счисления справедливо равенство:
(1.1)
где: g – основание позиционной системы счисления – целое положительное число; x(g) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; –коэффициент ряда (цифры системы счисления); n, m– количество целых и дробных разрядов.