сунке 25.1. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат внутри прямо-
угольника, образованного прямыми x a , |
x |
a , y |
b , y |
|
b . |
|
|
Введѐм ещѐ одну величину, характеризующую форму эллипса. Отно- |
шение |
|
расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси на- |
зывается эксцентриситетом эллипса: |
|
c |
. |
Величина эксцентриситета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
c 0 . |
|
|
2 |
|
c2 |
|
a2 |
b2 |
b 2 |
0 |
|
1, так как |
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, то |
|
|
|
|
a2 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
2 , |
b |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 . Видим, что эксцентриситет определяется соот- |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ношением осей эллипса. В случае |
0 (если a |
b ) эллипс превращается в |
окружность с уравнением x2 |
y2 |
a2 . Чем ближе эксцентриситет к едини- |
це, тем меньше отношение b и тем больше эллипс вытянут. a
25.2. Гипербола. Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная,
называется гиперболой. Указанная разность берѐтся по абсолютному зна-
чению и обозначается 2a . Точки F1 и F2 |
называются фокусами гипербо- |
лы. Как и ранее, 2c |
F1F2 - расстояние между фокусами. Таким образом, |
если |
точка M гиперболы находится ближе к фокусу F2 (рис. 25.2), выпол- |
няется равенство MF1 |
|
MF2 |
2a , а если M находится ближе к фокусу F1 , |
то MF2 |
MF1 |
2a . Из рассмотрения |
суммы |
длин сторон |
треугольника |
MF1F2 видим, что MF1 |
MF2 |
F1F2 и MF2 |
MF1 |
F1F2 . Поэтому, в зависи- |
мости |
от |
расположения |
|
точки M по |
отношению |
к |
фокусам, |
MF1 |
MF2 |
F1F2 или MF2 |
MF1 |
F1F2 . В |
наших |
обозначениях |
получаем |
2a |
2c или a |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для получения уравнения вводим систему координат так, чтобы фо- |
кусы F1 |
и F2 |
лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой |
отрезка F1F2 |
(рис. 25.2). В этой системе координаты произвольной точки |
M обозначим |
x и |
y , |
а |
координаты |
фокусов |
будут соответственно: |
F1 |
c;0 , F2 |
c;0 . Заменив расстояние MF1 и MF2 |
между точками их вы- |
ражениями через координаты, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x c 2 |
y2 |
x c 2 |
y2 |
2a . |
|
|
После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид
xc a2 |
a |
x |
c 2 |
y2 . |
Возведя в квадрат и упростив, получим |
c2 |
a2 |
x2 a2 y2 a2 c2 a2 . |
Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы a c , можно ввести
b2 c2 a2 . Тогда уравнение примет вид |
b2 x2 a2 y2 a2b2 или |
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(25.3) |
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.
Так как уравнение (25.3) содержит x и y только в чѐтных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно
начала координат. Оси симметрии гиперболы называются еѐ осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y 0 в уравнении
|
|
|
|
|
(25.3), |
найдѐм две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 |
a;0 , |
A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы. Если взять x |
0 в |
уравнении (25.3), то получим y2 |
b2 . Следовательно, с осью Oy гипер- |
бола не пересекается. Отрезок |
A1 A2 |
2a принято называть действитель- |
ной осью гиперболы (а ОA1 |
a – |
действительной полуосью); отрезок |
B1B2 |
2b , соединяющий точки |
B1 0; b и B2 0;b , называется мнимой |
осью ( ОB1 |
b – мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и |
2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y не имеет действи- |
Из уравнения (25.3) следует, что если |
x |
a , то |
тельных значений, то есть, нет точек гиперболы с абсциссами |
|
a |
x a . |
Должно выполняться условие |
x2 |
|
1 или |
|
x |
|
a . Это означает, |
что гипер- |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бола состоит из двух частей: |
еѐ точки расположены справа |
от прямой |
x a , образуя правую ветвь, |
|
и слева от прямой x |
a , образуя левую |
ветвь. Наконец, из уравнения (25.3) видно, что с возрастанием |
|
x |
|
возрас- |
|
|
тает и |
|
y |
|
, |
так как разность |
x2 |
|
|
|
y2 |
сохраняет постоянное значение. Тем |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
самым приходим к заключению: если y |
0 , то точка M x, y при возрас- |
тании x , начиная от x a , движется всѐ время «вправо» и «вверх»; если y 0 , то M x, y движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограни-
ченная правая ветвь. При x от значения x a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 25.2).
182
Рис. 25.2
Присмотримся более внимательно к тому, как именно точка M «уходит в бесконечность». В лекциях по математическому анализу было введено понятие наклонной асимптоты графика функции. Из уравнения (25.3)
|
|
b |
|
|
|
|
|
выразим переменную y |
|
x2 |
a2 . Далее для полученных двух функ- |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
ций используем формулы нахождения коэффициентов уравнения y kx d наклонной асимптоты при x
|
|
|
|
k |
lim |
f |
x |
lim |
b |
1 |
|
|
a |
2 |
|
|
b |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
a |
|
|
|
x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
|
|
|
d lim |
f x |
|
|
|
kx |
lim |
|
|
|
x2 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
x2 |
a2 |
|
x |
|
|
|
x2 |
a2 |
|
x |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
x2 |
|
|
|
a2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
x2 a2 |
x |
Следовательно, прямые y |
|
|
b |
x являются наклонными асимптотами пра- |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вой ветви гиперболы при x . Для левой ветви из соображений симметрии при x получаются те же асимптоты.
Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (25.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая диа-
183
гонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к ним (рис. 25.2). Фокусы находятся на
|
|
|
|
|
расстоянии c |
a2 |
b2 от начала координат. |
Гипербола с равными полуосями |
a |
b называется равносторонней, |
еѐ каноническое уравнение имеет вид |
x2 |
y2 a2 . Основной прямоуголь- |
ник равносторонней |
гиперболы становится квадратом; прямые y x и |
y x являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу.
Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается
буквой |
: |
|
|
|
c |
. |
Для |
гиперболы |
|
1, |
так |
как c |
a . Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 c2 |
a2 |
|
b2 |
|
b |
|
|
b |
2 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, то |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
1 |
. Следовательно, |
|
a2 |
|
a2 |
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением еѐ осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем
меньше эксцентриситет, тем меньше отношение ba , то есть основной пря-
моугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равно-
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалѐнных от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным парамет-
ром параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведѐм ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать еѐ направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и ди-
|
ректрисой (рис. 26.1). Тогда координаты фокуса |
F |
p / 2;0 , а уравнение |
|
директрисы в этой системе координат имеет вид |
x |
|
p |
. |
|
2 |
|
|
|
|
Рис. 26.1
Координаты произвольной точки M параболы обозначим x и y , за-
|
пишем расстояние |
MF |
x |
|
p |
2 |
y2 . Расстояние от точки M до ди- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ректрисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из |
|
M |
на |
директрису. |
Поскольку |
Q |
имеет |
координаты |
p |
; y , то |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MQ |
x |
|
p |
. Тогда для параболы получаем |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
p 2 |
y2 x |
|
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение
параболы |
|
|
y2 2 px . |
(26.1) |
|
Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является ча- |
стным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) |
при |
A B D F 0. |
|
|
Уравнение (26.1) содержит переменную |
y только в чѐтной степени, |
что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p |
0 , |
то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабо-
ла расположена справа от оси Oy . Если x 0 , получаем y |
0 . При возрас- |
тании x возрастает и y (причѐм, |
если |
x |
, то y |
). Построив в |
первой четверти график функции |
|
|
|
и отразив его симметрично |
y |
|
2 px |
относительно оси Ox , получим |
геометрическое изображение параболы |
(рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется еѐ осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется еѐ вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального пара-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метра |
p можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x |
|
1. Из |
уравнения (26.1) найдѐм |
соответствующие |
ему |
значения |
ординаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 p . Это даѐт на параболе две точки M1 |
1; 2 p |
и M 2 |
1; |
|
2 p , рас- |
|
|
|
|
|
стояние между которыми равно 2 2 p . Тем самым, |
чем больше |
p , тем |
больше расстояние M1M 2 . |
Следовательно, |
параметр p |
характеризует |
«ширину» области, ограниченной параболой.
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещѐ к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.
26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго поряд-
ка
Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 |
(26.2) |
коэффициенты B D E F 0 , то остаѐтся только два слагаемых, т.е. Ax2 Cy2 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C – па-
ра пересекающихся прямых |
y |
|
|
A |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
C |
Если в уравнении (26.2) остаются ненулевыми два других слагаемых, |
например, оно имеет вид |
Cy2 |
F 0 , то возможны две ситуации: при |
одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.
Если из уравнения (26.2) остаѐтся одно слагаемое Cy2 |
0 или Ax2 0 , |
то на плоскости получается одна прямая. Если B D E |
0 и в уравнении |
Ax2 Cy2 F 0 коэффициенты A 0,С 0, F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-
скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаѐтся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нѐм могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B 0 ) или переменные x и y
без квадратов ( D 0 или Е 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберѐм далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.
26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-
кости прямоугольную декартову систему координат xO y . Выберем начало
вспомогательной системы координат в точке O x ; y |
. Оси O x |
и O y |
0 |
0 |
|
|
расположим параллельно соответствующим осям O x |
и O y , одинаково с |
ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы |
xO y к |
системе O x y называется параллельным переносом осей координат.
Рис. 26.2
Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через x; y , а координаты по отношению к «новым» осям обо-
значим x ; y . Поскольку имеет место векторное равенство
OM OO O M (рис. 26.2), то можно записать в координатах
x x x0 (26.3)
y y y0
Формулы (26.3) позволяют находить исходные координаты x; y по известным x ; y при параллельном переносе. «Новые» координаты выражаются через исходные следующим образом:
Пусть, например, исходное уравнение имеет вид
x2 2x 4y2 16y 8 |
или x 1 2 4 y 2 2 25. |
После выполнения параллельного переноса, задаваемого формулами
x x 1y y 2 ,
оно приобретѐт вид
188
x ; y
Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a 5 и b 5/ 2 с центром в начале координат O .
Рис. 26.3
Из формул (26.4) ясно, что точка O в исходной системе имеет координаты 1;2 . На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее такому преобразованию.
26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернѐм ис-
ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение
Ox y (рис. 26.4).
Рис. 26.4
Пусть точка M имеет в исходной системе координаты x; y и координаты в «новой» системе координат O x y . Чтобы установить связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним до-
полнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции еѐ на оси O x и O y (рис. 26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуляра – точка D ). Тогда из геометрических соображений получаем, что
x OA OD AD OD FD
OD cos MD sin x cos y sin ,
y AM AF FM DD MF
OD sin MD cos x sin y cos .
Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты x; y
произвольной точки M через еѐ новые координаты при повороте осей на угол , имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x cos y sin |
|
|
|
(26.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходная система |
xO y получается поворотом новой системы O x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на угол |
|
. Поэтому, если в равенствах (26.5) поменять местами исход- |
|
|
|
|
|
|
|
|
одновременно на |
|
|
|
ные и новые координаты, заменяя |
|
|
|
, то можно |
выразить новые координаты точки |
M через еѐ исходные координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x cos y sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xsin y cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим, например, уравнение |
эллипса |
|
x2 |
|
y2 |
1. |
|
Оно не яв- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
ляется каноническим, поскольку в нѐм a |
b . Чтобы поменять оси местами, |
выполним поворот на угол 900 |
и перейдѐм к системе координат Оx y |
(рис. 26.5). В формулы (26.5) подставим |
cos |
0 и |
sin |
1: |
|
|
x y .y x
Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение