9698
.pdfy¢ |
= lim |
y = lim |
y × lim |
u . |
|
||
x |
x→0 D x |
x→0 Du |
x→0 D x |
|
|||
|
|
||||||
В силу непрерывности функции |
u ( x) из условия |
x → 0 |
следует, что |
||||
u → 0 . Отсюда вытекает указанная формула в предположении, что |
|||||||
Du ¹ 0. |
u = u(x + |
x) −u(x) = 0, т.е. u(x + |
x) = u(x) то |
||||
Если же окажется, что |
|||||||
y = f (u(x + x)) − f (u(x)) = 0 . Значит, |
′ |
= 0 |
|
′ |
|
||
u (x) |
и y (x) = 0 и формула |
||||||
дифференцирования сложной функции |
0 = fu′(u(x)) ×0 справедлива и в |
этом случае. Далее, многие элементарные функции определены как обратные функции к другим функциям, например, y = arcsin x , y = ln x .
Возникает вопрос: нельзя ли найти производную обратной функции, зная производную исходной функции? Оказывается, можно. А именно,
если для функции |
y = f ( x) |
(например, |
|
|
для |
y = arcsin x ) |
|
существует |
||||||||||||||||
обратная |
функция |
x = ϕ( y) |
( x = sin y , |
|
|
|
−π / 2 ≤ y ≤ π / 2 ), |
|
которая |
в |
||||||||||||||
рассматриваемой точке y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
(в нашем примере, |
||||||||
имеет производную j ( y) ¹ 0 |
||||||||||||||||||||||||
cos y ), то |
в |
соответствующей |
|
точке |
|
|
x |
функция |
|
|
y = f ( x) имеет |
|||||||||||||
производную, вычисляемую по правилу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
¢(x) = |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(19.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j¢( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в котором |
y = f ( x) . |
В нашем примере |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(arcsin x)¢ = |
1 |
|
= |
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
|
, |
|
||||
|
|
(sin y)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
cos y |
+ 1 - sin2 y |
|
|
|
1 - x2 |
|
|
|
||||||||||
где знак « + » взят в силу того, что в промежутке |
|
−π / 2 ≤ y ≤ π / 2 , |
в |
|||||||||||||||||||||
котором обратная функция существует, |
cos y положителен. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для доказательства формулы (19.1) продифференцируем равенство |
||||||||||||||||||||||||
x = ϕ( y) |
по |
переменной |
x , |
|
применяя |
|
правило |
|
дифференцирования |
|||||||||||||||
сложной функции (считая y функцией x ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = x'y × yx' |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y¢ = |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x¢y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл этой формулы виден из рис. 19.1
130
|
|
|
y |
|
x = ϕ ( y) |
|
|
|
|
|
|
y |
β |
|
y = f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
α |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 19.1 |
|
|
|
|
|
Касательная |
к |
кривой |
y = f ( x) |
образует |
с |
положительным |
||
направлением оси Ox угол α . |
Касательная к той же кривой |
x = j( y) |
||||||
образует угол β |
с |
положительным |
направлением |
оси |
Oy . |
Согласно |
||
геометрическому смыслу производной |
′ |
|
′ |
|
|
|||
f (x) = tgα и |
ϕ ( y) = tgβ. Но углы |
|||||||
α и β дополняют друг друга до |
π / 2 , |
поэтому |
tga × tgb = 1 . Это |
соотношение и выражает формулу дифференцирования обратной функции.
Найдём производную |
показательной |
функции |
y = a x , a > 0 . |
|||||||||||||
Обратная для неё функция |
x = loga |
y . Применяя формулу (19.1) |
имеем |
|||||||||||||
|
x ′ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
(a |
) = |
|
|
|
= |
|
|
= y ln a = a |
|
ln a |
|
|
||||
|
|
′ |
|
1 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
(loga y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ln a y |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Применяя это правило, найдите самостоятельно производные функций |
||||||||||||||||
|
|
|
|
arccos x , arctgx . |
|
|
|
|
|
|||||||
Применим формулу |
|
производной |
показательной |
|
функции |
|||||||||||
(a x )′ = a x ln a для вывода производной степенной функции |
|
|
(xα )′ = (eα ln x )′ = eα ln xα 1 = αxα−1 . x
19.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой. Получим теперь правило нахождения производной параметрически заданной функции.
Такая функция, например, возникает в задаче о траектории фиксированной точки M окружности радиуса r , катящейся без скольжения по оси Ox .
131
M |
C |
r |
|
t K |
|
O N |
P |
OP = MP = r t
x = OP − NP = r t − r sin t y = r − KC = r − r cos t
Рис. 19.2
x
2π r
Пусть в начальный момент точка M находится в начале координат. В
качестве |
параметра возьмем угол |
t , на |
который повернется радиус |
|
окружности O1O , приняв положение |
CM . |
Выразим координаты |
точки |
|
M ( x, y) |
как функции параметра t . Из рисунка видно, что длина дуги MP |
|||
равна длине отрезка OP и равна rt . Следовательно, из треугольника |
MKC |
|||
найдём |
x = r(t − sin t) |
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = r(1 − cos t) |
|
|
|
Выбранные границы изменения параметра соответствуют одному обороту окружности. Таким образом, мы получили зависимость переменной y от переменной x , выраженную не явно, а через промежуточный параметр t . График этой зависимости представлен на рис. 19.2, а кривая называется циклоидой. Название циклоида означает: «напоминающая о круге». Его дал Галилео Галилей (1564–1642). Конечно, можно связать x и y непосредственно, исключив параметр t . Однако эта
функция будет иметь |
достаточно |
сложный вид, поэтому возникает |
необходимость в нахождении производной y как функции переменной x |
||
на основе параметрического задания функции. |
||
Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть функция y = f ( x) задана |
||
параметрически |
|
|
x = ϕ (t) |
α ≤ t ≤ β , |
|
|
, |
|
y =ψ (t) |
|
где функции ϕ(t ) и ψ (t ) – |
|
дифференцируемы и функция ϕ(t ) имеет |
|||||||||
обратную. Тогда по определению производной имеем |
|
||||||||||
|
|
|
|
lim |
y |
|
lim |
y |
|
′ |
|
′ |
|
y |
|
t |
|
t |
|
|
|||
= lim |
= |
x→0 |
= |
t→0 |
= |
ψt |
. |
||||
yx |
|
|
|
|
|
′ |
|||||
|
|
x |
|
x |
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
lim |
|
|
lim |
|
|
ϕt |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
t |
|
t→0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
132 |
|
|
|
|
|
|
Здесь мы использовали то, что в силу непрерывности обратной функции к |
||||||||||||||||||
ϕ(t ) из |
x → 0 следует |
t → 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача. |
Получить |
уравнение |
касательной к циклоиде. Пусть |
|||||||||||||||
окружность радиуса r = 1 |
совершила одну шестую часть оборота. Найдем |
|||||||||||||||||
уравнение касательной в соответствующей точке траектории. Одна шестая |
||||||||||||||||||
часть оборота окружности соответствует значению параметра |
t0 = π / 3 , а |
|||||||||||||||||
координаты |
|
точки: |
|
|
|
x0 = x(t0 ) = (t − sin t) t =π / 3 = π / 3 − |
3 / 2 , |
|||||||||||
y0 = y(t0 ) = 1 − cost t=π / 3 = 0,5 . |
Производную |
|
′ |
находим как производную |
||||||||||||||
yx |
||||||||||||||||||
функции заданной параметрически |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
′ |
sin t |
|
2sin t |
|
cos t |
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
yx = |
1 − cost |
|
|
|
2 t |
|
= ctg |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
π |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данной точке циклоиды она равна |
= ctg |
|
= ctg |
|
= |
3 . Поэтому |
|
|||||||||||
yx |
2 |
6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение касательной в этой точке y = |
|
3x + 2 − π / |
3 (см. рис. 19.2). |
|
||||||||||||||
|
|
2.5 |
y=sqrt3*x+2-pi/sqrt3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t - sint |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1 - cost |
|
|
|
|
|||
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < t < pi |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y: 0.498 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
0 |
0.5 |
|
1 |
|
1.5 |
|
2 |
2.5 |
|
3 |
3.5 |
|
|||
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
Рис. 19.3
19.3. Производная функции, заданной неявно. Касательная к неявно заданной кривой. Рассмотрим случай, когда функция задана неявно. Пример такой функции y = f ( x) дается уравнением
x2 |
+ |
y2 |
= 1 ( y > 0 ). |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|||
|
133 |
Графиком этой функции служит верхняя половина эллипса. Покажем, как |
|||||||||||||||||||||||||
находить производную этой функции, не выражая явно |
|
y через x (для |
|||||||||||||||||||||||
некоторых неявно заданных функций такое вообще невозможно). |
|||||||||||||||||||||||||
Продифференцируем это |
|
уравнением по переменной |
|
x , считая, что |
|||||||||||||||||||||
переменная y является функцией x |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
b2 x |
|
|
||||
|
|
|
a2 |
2x + b2 |
2yy |
|
= 0 |
|
y′ = − a2 y |
|
|
||||||||||||||
В общем случае неявно заданной функции нужно действовать |
|||||||||||||||||||||||||
аналогичным образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача. Получить уравнение касательной к эллипсу в точке M 0 ( x0 , y0 ) . |
|||||||||||||||||||||||||
Уравнение касательной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y − y |
|
= − b2 x0 ( x − x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a 2 y |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после умножения на |
y0 |
|
|
примет вид |
x0 |
x + y0 |
y = 1. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для эллипса |
x2 |
+ y2 |
= 1 |
|
в точке |
M |
0 |
(3, 1.6) |
|
|
уравнение |
||||||||||||||
|
|
25 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
касательной |
3x + 10 y − 25 = 0 |
(см. рис. 19.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y: 2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y: 1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
0.5 |
|
1/25x |
|
+ 1/4y |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
9 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 19.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19.4. Логарифмическое дифференцирование. Применим метод |
|||||||||||||||||||||||||
нахождения производной неявно заданной функции к выводу производной |
|||||||||||||||||||||||||
показательно-степенной функции вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134
y = u(x)v( x) .
Прологарифмируем обе части этого равенства, опуская для краткости аргумент
ln y = v ln u .
Найдем теперь y′( x) как производную неявно заданной функции
|
|
1 |
y |
′ |
|
|
′ |
|
1 |
u |
′ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
= v ln u + v |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
и отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
v |
′ |
|
|
|
1 |
′ |
v |
|
|
|
′ |
|
v−1 ′ |
|
= u |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ vu |
||||||
y |
(v ln u + v u ) = u |
|
ln u v |
u . |
u
Этот прием, называемый логарифмическим дифференцированием,
применим также для упрощения нахождения производных. Например,
|
( x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
|
x −1 |
, |
|
ln y = 2ln ( x + 1) + |
1 |
ln ( x −1) − 3ln ( x + 4) − x, |
||||||||||||||||||
|
( x + 4)3 ex |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
′ |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
−1, |
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
x + 1 |
2( x −1) |
x + 4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
( x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y′ = |
|
|
x −1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
−1 |
||
|
( x + 4)3 ex |
|
|
( x + 1) |
|
2( x −1) |
|
+ 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования. Сведём в одном месте формулы производных элементарных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α ′ |
α−1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
( |
|
x ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
(x |
) = αx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
, |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
(sin x)′ = cos x, |
(cos x)′ = − sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(tgx)′ = |
|
1 |
|
|
|
|
, |
(ctgx)′ = − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(a rc s in x )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
(arccos x)′ = − |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
− x 2 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctgx )′ = |
|
1 |
, |
|
|
(arcctgx)′ = − |
|
1 |
|
, |
||||
|
|
|
+ x |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
1 + x 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
(loga x)¢ = |
1 |
|
× |
1 |
, |
(ln x)¢ = |
1 |
, |
|
|
|
|||
|
ln a |
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
(a x )′ = a x ln a , |
|
(e x )′ = e x , |
|
|
|
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
(u ± v)′ = u¢ ± v¢, |
(u × v)′ = u¢v + v¢u , |
|
(c × f )′ = cf ¢, |
c = const, |
|||||||||
|
|
′ |
|
′ |
′ |
' |
′ ′ |
|
x = x(t) |
′ |
|
′ |
|
u |
|
u v − v u |
|
|
|
|
yt |
||||||
|
|
|
= |
|
|
, [ f (u(x))]x = fu ux |
, |
y = y(t) |
yx |
= |
|
. |
|
v |
|
v2 |
xt′ |
19.6. Производные высших порядков. Выше речь шла о понятии производной или первой производной функции. Производные высших порядков определяются по индукции.
Производной n -го порядка называется производная от (n − 1) -ой производной. Так, вторая производная функции y = f ( x) равна
f ′′(x) = ( f ′(x))′ .
Отметим физический смысл второй производной в случае, когда задан закон изменения пути как функция времени, т.е. s = s(t) . Тогда s′(t) есть скорость, а s′′(t) – ускорение в момент времени t .
Если функция задана явно, то вычисление ее высших производных сводится к повторному дифференцированию. Если функция y задана
неявно F ( x, y ) = 0 , то для отыскания её n -ой производной нужно
соответствующее число раз продифференцировать определяющее ее уравнение, помня, что y и все её производные есть функции независимой переменной x . Например,
x2 + y2 =1 2x + 2 yy′ = 0 y¢ = - x .
|
|
|
y |
|
Дифференцируя второй раз, получим |
|
|
|
|
2 + 2 y′ × y′ + 2 y × y′′ = 0 y¢¢ = - |
1 + y¢2 |
= - |
x2 + y2 |
. |
y |
|
|||
|
|
y3 |
||
136 |
|
|
|
|
В случае параметрического задания функции x = x(t) |
, α ≤ t ≤ β |
||||||
|
|
|
′ |
y = y(t) |
|
||
|
′ |
= |
y (t) |
|
|
|
|
первая производная равна |
′ . |
Для нахождения второй |
|||||
yx |
|||||||
|
|
|
x (t) |
|
|
производной продифференцируем это равенство по x , имея в виду, что t есть функция x
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
y¢ |
( |
t |
) |
' |
|
|
1 |
&&& |
|
&& |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y" |
= ( y¢ ) |
|
×t' |
= |
|
|
|
|
|
|
× |
= |
|
yx - xy |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x¢ |
(t ) |
x¢(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
xx |
x |
t |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x&3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где точка сверху обозначает производную по |
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Например, |
|
x = a cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx' |
= |
|
|
bcost |
|
= − |
|
b |
ctgt , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y = bsin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−asin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
'' |
|
|
b |
|
' |
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||
yxx |
= - |
|
ctg t |
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
& |
|
|
a sin |
2 |
t |
|
-a sin t |
a |
2 |
sin |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Аналогично можно найти производные более высоких порядков.
Лекция 20. Вектор-функция
20.1. Вектор-функция и её задание. К понятию вектор-функции
или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис. 20.1)
z
R |
= { m, n, p} |
|
|
s |
|
M |
|
|
|
|
|
|
s |
M |
t × s |
|
0 |
||
|
|
|
R |
|
|
R |
r (t) = { x(t), y(t), z(t)} |
|
|
r0 |
|
y
x
Рис. 20.1
137
R |
R |
R |
= (x0 + t m)i + ( y0 + t n) j + (z0 + t p)k , |
− ∞ < t < +∞ . |
r (t) = r0 |
+ t s |
Суть в том, что координаты радиус-вектора r (t ) есть некоторые функции переменного t . Поэтому естественно следующее определение вектор-
функции: если каждому значению вещественного переменного t из
некоторого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор
R = + +
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k ,
то будем говорить, что в промежутке α ≤ t ≤ β задана вектор-функция r (t ) .
Вектор r (t ) будем считать выходящим из начала координат, т.е. это радиус-вектор. При этом конец вектора M (x(t), y(t), z(t)) будет описывать некоторую линию L(годограф), параметрические уравнения которой даются формулами
x = x(t), |
|
|
α ≤ t ≤ β |
y = y(t), |
|
|
|
z = z(t), |
|
Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название – годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.
20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции.
Понятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно», а именно: вектор-функция
R = + +
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой
точке функции x(t), y(t), z(t) . |
При этом полагают |
||||||||||||
|
R |
|
|
|
+ lim y(t) × j + lim x(t) × k |
||||||||
lim r (t) = lim x(t) × i |
|||||||||||||
t →t0 |
|
t →t0 |
|
|
|
|
t →t0 |
|
|
t →t0 |
|||
|
|
d r |
= |
d x R |
+ |
|
d y R |
+ |
d z R |
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k . |
|||
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
138 |
|
|
|
|
|
|
Производной вектор-функции |
r (t ) в точке |
t0 |
называется предел |
|
отношения приращения |
r к |
приращению |
t , |
когда последнее |
стремится к нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:
R |
r |
|
r (t |
0 |
+ |
t) − r (t |
) |
|
dr |
|
r′(t0 ) = lim |
|
= lim |
|
|
0 |
|
= |
|
. |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
||||
t →0 |
t →0 |
|
|
|
|
dt |
Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке
M 0 (x0 , y0 , z0 ) = M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M0M . Направление движения точки соответствующее возрастанию параметра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два случая, когда значение аргумента t0 получает как положительное, так и
отрицательное приращение |
t . Вектор r = r (t0 + |
t) − r (t0 ) – |
это хорда |
|||||
(греч. χορδη – |
струна). В случае положительного приращения |
t > 0 он |
||||||
направлен |
по |
секущей |
в |
сторону, соответствующую |
возрастанию |
|||
аргумента t0 , а в случае |
t < 0 в противоположном направлении. Вектор |
|||||||
же |
r |
будучи коллинеарным вектору r в |
любом |
случае будет |
||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
направлен |
вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию |
|||
параметра |
t . Поскольку секущая при |
t →0 примет положение |
||
касательной к годографу, то вектор |
|
|
||
|
|
dr |
= lim |
r |
|
|
dt |
t |
|
|
|
t→0 |
будет касательным вектором к годографу в данной точке. Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.
139