7816
.pdfКонтрольные задания
Задание № 1
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Найти область определения функции |
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f (x, y) . |
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z y arcsin(x 2) |
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1 x y |
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z ln( x y) |
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z arcsin |
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arcsin (1 |
y) |
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2 |
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x 2 y |
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x y 1 |
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z |
1 |
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(x 1)( y 2) |
1.25 |
z |
1.26 |
z |
1.27 |
z |
2 x2 2 y2
x2 y
xy
x x2 y2
1.13 z ln (x2 y 2 1)
1.28 |
z |
arcsin (x y)
1.14 |
z |
1 |
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ln (x y) |
1.29 |
z |
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ln (x2 y) |
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x 2 |
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y x |
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z ln x |
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2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
2.06
2.07
2.08
2.09
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
Задание № 2
Показать, что функция u |
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удовлетворяет заданному уравнению в |
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частных производных. |
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sin 2 y ; |
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2 |
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2 |
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2u |
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2u |
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2u |
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x2 y2 z 2 |
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|||
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|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
||||||||||||||||||||
u |
x cos |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Задание № 3
Найти дифференциалы от следующих функций.
3.01 |
u x |
m |
y |
n |
|
|
3.02 |
u |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.03 |
z |
|
|
|
x2 |
y2 |
|||||||
3.04 |
z |
3 |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.05 |
z e |
x y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.06 |
z e |
|
x |
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.07 |
z arcsin |
x |
|
|
|||||||||
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.08 |
z x cos ( x y) |
||||||||||||
3.09 |
z |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.10 |
z x y |
|
x |
|
|
||||||||
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.11 |
u |
|
cos x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.12 |
z y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.13 |
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.14 |
z cos |
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.15 |
u sin x cos y |
3.16 |
u cos( x y |
2 |
) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
3.17 |
z e |
x y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.18 |
z tg ( x y |
2 |
) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.19 |
z ln ( x2 y2 ) |
||||||||||||||
3.20 |
z sin y cos x |
||||||||||||||
3.21 |
z cos ( x y) |
2 |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
3.22 |
z x sin( x y) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.23 |
z tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.24 |
z x sin( y x) |
||||||||||||||
3.25 |
z y cos ( x y) |
|
|||||||||||||
3.26 |
z cos x sin( x y) |
||||||||||||||
3.27 |
z ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.28 |
z ( y cos x ) |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
3.29 |
z |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.30 |
z ln |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||||
|
(x |
y)2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
33
4.01
4.02
4.03
4.04
Задание № 4
Найти частную производную |
u |
и полную производную |
d u |
. |
|||||||||||||||
t |
|
d t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
t |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
, |
|
|
x sin t , |
y 2cos t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
u e t 2 x 2 y 2 , |
|
|
x ln t , |
y sin t |
|
|
||||||||||||
|
u e |
x |
2 |
y |
2 |
|
|
t |
, |
|
x tg t , |
y |
3 |
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|||||||||
u ln ( t 2 x2 y2 ), |
x et , |
y arctg t |
|
|
4.05
4.06
4.07
4.08
4.09
4.10
4.11
u x |
t |
t |
y |
, |
|
|
x |
t , |
y arcsin t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u sin( t x y), |
|
t |
, |
y ln t |
|
|
|
|||||||||||
|
x e |
|
|
|
||||||||||||||
u cos ( t x t y ), |
x arcsin t , |
y e |
t |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
u ln ( x |
t |
y |
2t |
) , |
|
x tg t , |
y ctg t |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u ( x |
2 |
|
y |
2 |
t |
, |
x |
t , |
y e |
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||
u t |
x y |
, |
|
|
x cos t , |
y |
t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u arctg (t x y), |
x tg t , |
y e |
t |
|
||||||||||||||
|
|
4.12
4.13
4.14
4.15
|
|
|
|
|
x sin t , |
y arcsin t |
||||||||
u |
|
t x t y , |
||||||||||||
|
|
|
|
t 2 ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
u ( x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
||||||||
2 , |
x 2cos t , |
|
y 3sin t |
|||||||||||
u e |
t x |
sin (t y), |
x |
3 |
t , |
y e |
t |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
u cos (t x) sin(t y), |
x arctg t , |
y ln t |
34
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
u x |
t |
cos ( t y) , |
|
|
|
|
x t |
2 |
1, |
|
|
y arcsin t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
u sin (t x 2t y), |
|
x arcsin t , |
|
|
y e |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
u t x ( x t y) |
2 |
, |
|
|
|
|
x |
|
1 t |
2 |
, |
y |
|
1 t |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
u ln |
t |
|
|
y |
|
|
, |
|
|
|
x sin t , |
|
|
y cos t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u sin |
2 |
(t |
2 |
x |
2 |
|
y |
2 |
), |
|
x ln t , |
|
|
y tg t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
u sin |
x y |
, |
|
|
|
x arcsin t , |
y cos t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u x t y t, |
|
|
|
|
x sin 2 t , |
|
|
|
y ctg t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
u t |
x |
t |
y |
|
, |
|
|
|
|
x |
|
t , |
|
y arctg t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
u ( x x y y)t , |
|
|
x |
1 |
|
|
, |
y |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
||||||
u ex |
2 |
y |
2 |
|
t x y , |
|
|
|
x t 2 1, |
y ln t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u y |
t x |
, |
|
|
|
x |
|
t , |
|
|
y e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
u (t x ) |
y |
, |
|
|
|
x |
ln t , |
|
|
|
y t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u ( x y) |
t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
x arctg t , |
|
|
|
y |
|
|
t |
2 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u e |
( x t ) |
2 |
( y |
t ) |
2 |
, |
|
x ln t , |
y tg t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
u sin ( x 2t) cos ( y 3t), |
|
x arcsin t , |
|
y |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Задание № 5
Найти производную |
d y |
функций, |
|
||
|
d x |
|
определяемых следующими уравнениями.
5.01 |
e |
y |
x |
2 |
y |
y |
0 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
||||
5.02 |
ln |
|
x2 y |
2 arctg |
||||||
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.03 |
x |
2 |
y |
2 |
ln |
|
|
x |
|
e |
x y |
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.04 |
( x |
2 |
|
y |
2 |
) |
2 |
|
3 x |
2 |
y x y |
3 |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5.05 |
e |
x |
y |
|
sin |
|
|
(x y) x |
2 |
y |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5.06 |
y x cos y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.07 |
x |
2 |
y |
2 |
sin |
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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5.08 |
cos |
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x |
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x |
2 |
y |
2 |
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0 |
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y |
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5.09 |
x |
2 |
ln |
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x |
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x |
3 |
y |
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0 |
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y |
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5.10 |
x |
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y |
y |
x |
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5.11 |
cos ( x |
2 |
y) |
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e |
x |
y |
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0 |
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5.12 |
tg |
x |
x y |
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2 |
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0 |
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y |
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5.13 |
ln |
x |
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x |
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y |
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x |
3 |
y |
0 |
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y |
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y |
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|||||||||||||||||||||
5.14 |
|
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x2 y2 |
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|
arctg |
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x |
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x |
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x |
2 |
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5.15 |
arcsin |
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|
3 |
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y |
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y |
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Найти частные производные |
z |
и |
z |
|
|
||
|
x |
|
y |
функций, определяемых следующими уравнениями.
5.16ez x cos yz 0
5.17x2 y 2 z 2 x e z
5.18 |
x |
2 |
y |
2 |
z e |
x z |
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5.19 |
x |
ln |
z |
1 |
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|||
z |
y |
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||||||
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|||
5.20 |
z e |
x y |
2 x y z |
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5.21 |
z |
3 |
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x y e |
x z |
0 |
||
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5.22 |
x |
2 |
y |
3 |
ln |
x |
x y z |
2 |
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|
|
z |
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|||||
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5.23 |
y |
2 |
z |
2 |
cos |
x |
x |
2 |
y |
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z |
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5.24 |
z |
2 |
x |
2 |
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arcsin |
x |
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y |
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5.25 |
e |
z |
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cos ( x y z) x |
2 |
y |
2 |
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5.26 |
z e |
z |
x e |
x |
y e |
y |
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5.27 |
(x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
) e |
z |
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z |
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y |
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5.28 |
(1 x |
2 |
) |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
e |
y z |
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5.29 |
cos |
x |
sin |
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y |
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z |
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z |
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x |
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5.30 |
ex y z e y z |
|
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|
36
Задание № 6
Вычислить производную функции u в точке |
|
M |
по направлению вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.01 |
|
u (x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
) |
3 2 |
, |
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M |
1;1;1 |
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|||||||||||||||||||||||||
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l |
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i |
|
j k , |
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6.02 |
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u x2 y |
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x y z2 , |
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1; 5; 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
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l |
|
2 j |
2 k , |
M |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.03 |
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2;1; 1 |
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u x ( ln y arctgz ), |
|
|
l |
|
8i 4 j |
|
8 k , |
|
M |
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6.04 |
|
u sin (x 2 y) |
|
x y z , |
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M |
|
; |
3 |
; 3 |
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l |
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4 i 3 j , |
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2 |
2 |
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6.05 |
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u x3 |
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y2 z2 , |
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1; 3; 4 |
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l |
|
|
j |
k , |
|
M |
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6.06 |
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u |
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|
x y |
|
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9 z2 |
, |
|
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1; 2; 1 |
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l |
|
2 i |
2 j |
k , |
|
M |
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6.07 |
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u x ln (z |
2 |
y |
2 |
) , |
|
|
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M |
2; 1; 1 |
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|
l |
|
2 i |
|
j |
k , |
|
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6.08 |
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u z |
2 |
2 arctg (x y) , |
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M |
1; 2; 1 |
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l |
|
i 2 j 2 k , |
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6.09 |
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u x y x , |
l |
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5i |
j k , |
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M 4; 3; 1 |
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|
z |
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6.10 |
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u y ln (1 x |
2 |
) arctg z , |
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M 0; 1; 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
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l |
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2 i 3 j |
2 k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6.11 |
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u ln ( 3 x |
2 |
) x y |
2 |
z , |
|
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M |
1; 3; 2 |
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|
l |
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i |
2 j |
2 k , |
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|||
6.12 |
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u x |
2 |
y |
2 |
z ln ( z 1) , |
|
|
|
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|
|
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|
2 |
|
|
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M |
1; 1; 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
5i |
6 j |
5 k , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||
6.13 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y z |
|
|
|
, |
|
l |
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2 i |
k , |
|
M 4;1; 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
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|
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y |
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x |
|
y |
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3; 2;1 |
|||||||
6.14 |
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u 2 |
|
x y y arctg z , |
|
|
|
l 4 i |
3k , |
M |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.15 |
|
u ln ( x2 |
y2 ) x y z , |
|
|
|
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1; 1; 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
l |
|
|
i |
j |
5 k , |
|
M |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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l.
37
6.16
u ln x |
y |
2 |
z |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
l |
2 i |
j |
k , |
M 1; 3; 4
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
6.26
6.27
6.28
6.29
6.30
Вычислить производную функции u |
в точке |
M |
в направлении |
|||||||||||||||||||||
наискорейшего роста функции. |
|
|
||||||||||||||||||||||
u 4 ln ( 3 x |
2 |
) 8 x y z , |
|
|
M 1;1;1 |
|||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2; 4; 4 |
|
||||||||||||
|
u x |
|
|
y y z , |
|
M |
|
|
||||||||||||||||
u 2 ln ( x2 5) 4 x y z , |
|
M 1;1;1 |
||||||||||||||||||||||
u |
1 |
x |
2 |
y |
|
|
x |
2 |
5z |
2 |
, |
M |
|
2; |
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Задание № 7
Найти градиент функции
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