5547
.pdfПример. Построить прямую l : 3y + 6 = 0.
Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на плоскости A = 0 , B = 3, C = 6 , параллельной оси Ox и проходящей через точку
( 0;−2). (См. рис. 21).
y
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
l |
-2 |
Рис. 21 |
|
|
|
|
||
4. При A ¹ 0 , B = 0 , C ¹ 0 |
уравнение (3.2) примет вид: Ax + C = 0 или |
x = − C . A
Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Oy и проходящей
|
− |
C |
|
через точку |
|
; 0 . (См. рис. 22) |
|
|
|||
|
|
A |
|
y
− |
C |
|
0 |
x |
|
|
|
|
|||
A |
Рис. 22 |
||||
|
|||||
|
|
|
|||
Пример. Построить прямую l : 2x +1 = 0 . |
|
||||
Решение. Уравнение прямой l является |
общим уравнением прямой на |
плоскости A = 2 , B = 0 , C = 1 параллельной оси Oy и проходящей через точку
|
− |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
; 0 |
. (См. рис. 23) |
|
|
|||
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 23 |
30
5. При A = 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид: By = 0 или y = 0. Это уравнение координатной оси Ox (См. рис. 24)
y
0 |
x |
|
Рис. 24 |
6. При A ¹ 0 , B = 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax = 0 или x = 0 . Это уравнение координатной оси Oy . (См. рис. 25)
y
0 |
x |
|
|
Рис. 25 |
|
Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на |
||
плоскости. |
|
|
Выведем уравнение прямой l , |
проходящей через две заданные точки |
|
M1 (x1; y1 ) и M 2 (x2 ; y2 ) на плоскости |
xOy в прямоугольной декартовой системе |
|
координат. (См. рис. 26) |
|
|
y |
|
|
|
M 2 |
|
|
M1 |
|
l |
x |
|
|
Рис. 26 |
|
Поскольку точка M1 (x1 ; y1 ) лежит на прямой l то, подставляя x = x1 |
и y = y1 |
|
в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой l имеет вид: |
|
|
l : y - y1 = k ×(x - x1 ), |
(3.6) |
|
где k – пока неизвестный коэффициент. |
|
|
31
Так как прямая l проходит и через точку M 2 (x2 ; y2 ), то ее координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть:
|
|
|
|
|
y |
|
- y |
= k × (x |
|
- x ), откуда k = |
y2 − y1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 − x1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя найденное значение k |
|
в уравнение (3.6), получим уравнение прямой, |
||||||||||||||||||||
проходящей через точки M1 |
и M 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l : |
y − y1 |
= |
x − x1 |
|
(3.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 − y1 |
|
|||||
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , |
проходящей через точки M1 (1; 2) и |
|||||||||||||||||||
|
M 2 (-1;3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. Подставляя в уравнение (3.7) |
x1 =1, y1 = 2 и |
x2 = -1, y2 = 3, |
||||||||||||||||||
находим искомое уравнение прямой |
l : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y − 2 |
= |
x −1 |
; |
|
|
y − 2 |
= |
x −1 |
; |
|
- 2(y - 2) =1× (x -1); |
− 2 y + 4 = x −1, |
|||||||||
|
3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
−1−1 |
|
|
|
1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, l : x + 2 y − 5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ответ: x + 2 y − 5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Взаимное расположение прямых на плоскости |
|
||||||||||||||||
|
|
Пусть две прямые l1 и l2 |
заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k1 |
|||||||||||||||||||
и k2 , |
соответственно, |
то есть |
l1 : y = k1 x + b1 ; |
l2 : y = k2 x + b2 . |
Требуется найти |
угол ϕ , на который надо повернуть прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (См. рис.27)
y |
l2 |
l1 |
|
ϕ |
|
|
ϕ |
|
|
α2 |
|
0 |
α1 |
|
Рис. 27 |
x |
|
|
|
32
По теореме |
о внешнем угле |
треугольника, имеем: α2 = ϕ + α1 или |
||||||||
ϕ = α2 − α1 . Если ϕ ¹ 90 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = tg(α 2 -α1 ) |
= |
|
tgα2 − tgα1 |
|
. |
||||
|
|
+ tgα1 |
×tgα |
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||
Но так как tgα1 = k1 |
и tgα 2 = k2 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ |
= |
|
k2 − k1 |
|
|
(3.8) |
|||
|
1 + k1 × k2 |
|
Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.
Пример. Найти угол между прямыми l1 : x − 2 y + 1 = 0 и l2 : 3x + y − 3 = 0 . Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 и l2 в виде
уравнений с угловыми коэффициентами k1 и k2 , соответственно:
l : 2 y = x +1 или l : y = |
1 |
x + |
1 |
, значит k = |
1 |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l2 : y = −3x + 3 , значит k2 = −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставляя найденные значения k = |
1 |
и k |
|
= −3 в формулу (3.8), находим |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
угол ϕ между прямыми l1 |
и l2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
- 3 - |
1 |
|
|
- |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tgϕ = |
|
2 |
|
= |
|
= 7 , откуда ϕ = arctg 7 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1+ |
1 |
× (- 3) |
|
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ϕ = arctg 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то |
|||||||||||||||||||||||||||
правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = |
|
k2 - k1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + k × k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Если прямые l1 : y = k1 x + b1 ; l2 : y = k2 x + b2 параллельны, то ϕ = 0 и
tgϕ = 0 , следовательно, из формулы (3.8) получаем, что k2 − k1 = 0, то есть k2 = k1 .
И обратно, если прямые l1 |
и l2 таковы, что k1 = k2 , значит tgϕ = 0 , то есть прямые |
||||||
параллельны. |
|
|
|
|
|
||
Если прямые l |
и l |
2 |
перпендикулярны, то ϕ = π , следовательно |
||||
1 |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgϕ = |
1 + k1 × k2 |
= 0 |
, откуда k × k |
|
= -1. Справедливо и обратное утверждение. |
||
|
2 |
||||||
|
k2 − k1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M (1; 2) и
перпендикулярной прямой L : 3x + 2 y − 5 = 0 .
Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с
угловым коэффициентом kL :
L : 3x + 2 y − 5 = 0 , |
2 y = −3x + 5 , |
y = − |
3 |
x + |
5 |
, значит k |
|
= − |
3 |
. |
||||||||
|
|
L |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl × kL = -1, |
||||||||||||||||||
следовательно, k |
|
= − |
1 |
|
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
kL |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя в уравнение (3.5) kl = |
2 |
, x0 = 1, |
y0 = 2 находим искомое |
|||||||||||||||
|
3
уравнение прямой l :
l : y − 2 = 2 (x −1) 3
l : 3y − 6 = 2x − 2
l : 2x − 3y + 4 = 0
Ответ: 2x − 3y + 4 = 0.
34
§4. Функция одного переменного. Основные понятия
Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и явления.
Пусть D – некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу
x D – поставлено в соответствие |
по какому-то правилу или |
закону f |
единственное действительное число y , |
то говорят, что на множестве |
D задана |
функция одного переменного и обозначается: y = f (x). Число x D называется аргументом функции, y – значением функции, множество D – областью определения функции, множество всех значений y , которые соответствуют числам множества D – областью значений функции – E . (См. рис. 28)
y
E |
|
y = f (x) |
y |
|
|
|
D |
|
0 |
x |
x |
Рис. 28
Графиком Г( f ) функции y = f (x) называется множество всех точек (x, y)
плоскости xOy таких, что x D , а y = f (x), то есть
Г( f ) = {(x, y) x D, y = f (x)}.
Далее будем задавать функцию одного переменного аналитически, то есть с помощью формулы. В этом случае под областью определения D функции понимают множество всех тех значений x , для которых данная формула имеет смысл.
Пример. Формула y = x 2 задает функцию y |
одного переменного x . |
Поскольку данная формула имеет смысл при всех |
действительных значениях |
35
переменной x , то область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D = R. Так как квадрат действительного числа – число неотрицательное, то множество значений E данной функции y = x 2 есть множество всех неотрицательных чисел, то есть E = {y y ³ 0}. Графиком функции
y = x 2 |
является парабола в плоскости xOy с вершиной в точке O , |
ветви которой |
|||
направлены в положительном направлении оси Oy . (См. рис. 29) |
|
||||
|
y |
|
E |
y = x2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
-1 |
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
Рис. 29 |
|
|
Пусть задана функция y = f (x), x D , |
такая, что для x1 ¹ x2 , f (x1 ) ¹ f (x2 ), то |
||||
есть |
для любого y E найдется |
единственное x D такое, что |
f (x) = y или |
||
x = f −1 (y). Тем самым определена функция |
f −1 , называемая функцией, обратной к |
||||
функции f . (См. рис. 30) |
|
|
|
|
y
y = f (x)
y
0 x = f −1 (y) x
Рис. 30
Покажем как строим график обратной функции. Если для обратной функции обозначить аргумент через x , а функцию через y , то графики функций y = f (x) и x = f −1 (y) совпадают. Разница состоит лишь в том, что для функции y = f (x) ось
36
Ox – ось абсцисс, а ось Oy – ось ординат, а для функции x = f −1 (y) роль осей меняется.
Если же обозначить аргумент обратной функции через x , а значение функции через y , то получается иной график. Именно, нужно перевести друг в друга оси Ox и Oy . Это делается с помощью отражения всей плоскости xOy относительно биссектрисы первого координатного угла, то есть прямой y = x . При этом отражении график функции y = f (x) переходит в график обратной функции
y = f −1 (x).
Итак, график обратной функции относительно прямой y = x . (См. рис.31)
y
0
симметричен графику заданной функции
y = f −1 (x)
y = x
y = f (x)
Рис. 31 x
Пример. Функция y = ex является обратной функцией к функции y = ln x .
(См. рис. 32)
y |
y = ex |
y = x
y = ln x
1
0 1 |
x |
|
Рис. 32 |
Основные элементарные функции
Следующие шесть типов функции называются основными элементарными функциями:
37
I. Постоянная функция y = C – функция, ставящая в соответствие каждому действительному числу x одно и то же число C . (См. рис. 33) D = R , E = {C}.
y
|
|
y = C |
C |
|
|
0 |
x |
x |
Рис. 33
II. Степенная функция y = xα .
а) α – целое число.
Если α – четное, то D = R , E = { y y ³ 0}.
y
y = xα (α - четное, целое)
0 |
x |
|
Рис. 34 |
Если α – нечетное, то D = R , E = R . |
|
y |
y = xα (α - нечетное, целое) |
0 |
|
x |
|
|
|
Рис. 35 |
|
Графики функции |
y = x−α |
(α – целое) |
показаны на рис. 36 и рис. 37 |
соответственно. |
|
|
|
В случае если α – |
четное, |
D = R \ {0} – |
множество всех действительных |
чисел, кроме нуля, E = { y y > 0}.
38
y
y = x−α (α - четное)
0 |
x |
|
Рис. 36 |
В случае если α – |
нечетное, D = R \ {0}, E = R \ {0}. |
y |
y = x−α (α - нечетное) |
|
0 |
x |
|
|
|
Рис. 37 |
б) α – рациональное, то есть α = m , m, n Ζ , n ¹ 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = xα = x |
|
= n |
xm |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
или y = |
|
. (См. рис. 38). D = { x |
|
x ³ 0}, |
||||||||||||||||
Пример графика функции y = x |
|
x |
|
||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
E = { y |
|
y ³ 0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 1 |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 38 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или y = 3 x2 |
|
|
|
|||||||
|
|
Пример графика функции y = x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
.(См. рис.39). |
D = R , E = {y y ³ 0}.
39