2912
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.М. Дыскин, М.С. Морозов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Инженерный эксперимент» для обучающихся по направлению подготовки 13.03.01. Теплоэнергетика и теплотехника,
профиль Промышленная теплоэнергетика
Нижний Новгород
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.М. Дыскин, М.С. Морозов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Инженерный эксперимент» для обучающихся по направлению подготовки 13.03.01. Теплоэнергетика и теплотехника,
профиль Промышленная теплоэнергетика
Нижний Новгород
2016
УДК 65.012.1
Дыскин Л.М. Определение погрешностей прямых и косвенных измерений [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Л.М. Дыскин, М.С. Морозов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 16 с. – 1 электрон. опт. диск (CD-RW)
Ключевые слова: инженерный эксперимент, теория подобия, погрешность измерения, класс точности, числа подобия, технические измерения.
Изложены общие сведения об измерениях и погрешностях. Рассмотрены методы оценки погрешностей. Приведена экспериментальная оценка статистических характеристик средств измерения и оценка влияния технологического процесса на результат измерения.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям (включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Инженерный эксперимент» по направлению подготовки 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Промышленная теплоэнергетика.
©Л.М. Дыскин, М.С. Морозов, 2016
©ННГАСУ, 2016
3
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ И ПОГРЕШНОСТЯХ
Экономичность, надежность работы технологического оборудования, ра-
бота автоматизированных систем управления теплоэнергетическими процесса-
ми, достоверность, правильность результатов во многих случаях определяются надежностью и точностью измерения теплотехнических параметров.
Точность теплотехнических измерений определяется в первую очередь особенностями взаимодействия элементов измерительной системы с измеряе-
мой и окружающей средой. Кроме того, значительное влияние на точность из-
мерений могут оказывать погрешности отдельных элементов измерительной системы и линий связи.
При оценке точности измерительной системы необходимо рассматривать принципы и методы измерения, анализировать условия применения каждого элемента измерительной системы, вспомогательных устройств и каналов связи с точки зрения возможности искажения результатов измерения. При не-
стационарных процессах в измеряемой среде в измерительной системе возни-
кает еще динамическая погрешность, обусловленная этой нестационарностью.
1.1 Классификация погрешностей
Погрешностью называется отклонение результата измерения oт истинно-
го значения измеряемой величины. Погрешность измерения, выраженная в единицах измерения измеряемой величины, называется абсолютной погрешно-
стью [1]:
X X Xист, |
(1) |
где X – значение, полученное при измерении; Xист – истинное значение изме-
ряемой величины.
На практике истинное значение неизвестно, и вместо него используется действительное значение, которое найдено экспериментально и настолько при-
ближается к истинному, что может быть использовано вместо него. Однако в этом случае можно найти лишь приближенное значение погрешности, ее оценку:
4 |
|
|
|
X X Xд. |
(2) |
||
Отношение оценки абсолютной погрешности к действительному значе- |
|||
нию – это оценка относительной погрешности измерения: |
|
||
δX |
X |
. |
(3) |
|
|||
|
Xд |
|
Погрешности могут быть систематическими, случайными и грубыми.
Систематической погрешностью измерения называется составляющая по-
грешности измерения, остающаяся постоянной или изменяющаяся по опреде-
ленному закону при повторных измерениях одной и той же величины. Случай-
ной погрешностью измерения называется составляющая погрешности измере-
ния, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Грубой погрешностью измерения называется погрешность изме-
рения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погреш-
ность. Следует заметить, что разделение погрешностей на систематические и случайные является условным, так как не всегда возможно определить границу между случайным и неслучайным.
1.2 Метрологические характеристики средств измерения
Классом точности называется обобщенная характеристика средства из-
мерения, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность Основная погрешность имеет место при нормальных условиях при-
менения средств измерения, а дополнительная погрешность (изменение пока-
заний) вызвана отклонением влияющих величин от нормальных значений, она нормируется в рабочей области значений влияющих величин. Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не яв-
ляется непосредственным показателем точности измерений, выполняемых дан-
ным средством. Например, для измерительного прибора класса точности 1,5
предел допускаемой основной погрешности составляет 1,5 % диапазона изме-
рения данного прибора, а действительное значение погрешности конкретного
5
прибора может иметь меньшее значение. Класс точности характеризует не только пределы допускаемой основной погрешности, но и пределы допускае-
мых изменений показаний, например для потенциометра – пределы до-
пускаемых изменений, вызываемых внешними магнитными полями, отклоне-
нием от нормальных значений температуры, напряжения и частоты питающего тока и другими влияющими величинами.
Существуют два метода оценки погрешностей измерений.
1. Определение предела погрешности измерительной системы по преде-
лам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измере-
ний, входящих в эту систему, определяемым их классом точности. Предел по-
грешности системы может быть оценен арифметической суммой пределов до-
пускаемых значений погрешности отдельных средств измерений, входящих в систему. Полученная таким образом оценка фактически будет характеризовать максимально возможное значение погрешности в рабочих условиях измерений.
Следует иметь в виду, что вероятность появления такой погрешности практиче-
ски близка к нулю.
На практике чаще всего пoгрешность оценивается как корень квадратный из суммы квадратов пределов допускаемых значений составляющих погрешно-
сти. Этот способ, строго говоря, может быть применен только с определенными допущениями (составляющие погрешности независимы, имеют однотипный закон распределения, и пределы их допускаемых значений соответствуют оди-
наковым доверительным вероятностям). Если эти допущения не выполняются,
этот способ не дает обоснованного значения оценки погрешности.
2. Применение вероятностно-статистических методов оценки погреш-
ности. В этом случае оценка погрешностей измерительной системы осуществ-
ляется по характеристикам законов распределения погрешностей средств изме-
рения, входящих в состав системы. Этот метод значительно более сложный,
для его реализации необходимо знать статистические характеристики средств измерения, но он является более строгим, корректным, позволяющим учесть особенности погрешностей отдельных средств измерения и измерительных
6
систем, и, самое главное, позволяет получить оценки погрешностей измерений,
близкие к действительным значениям. Этот метод внедряется в практику тех-
нических измерений.
При использовании вероятностно-статистического метода оценки по-
грешности нормируются следующие метрологические характеристики средств измерения данного типа [2]:
– для систематической составляющей погрешности ∆с – предел допус-
каемого значения ∆с.д., математическое ожидание М(∆с) и среднее квадратиче-
ское отклонение σ(∆с) (СКО);
– для случайной составляющей ∆ погрешности средств измерений данно-
го типа – предел допускаемою значения СКО σд(∆), нормализованная автокор-
реляционная функция r∆(λ) или спектральная плотность S∆(ω);
– для погрешности ∆ – предел допускаемого значения ∆д, математическое ожидание М(∆) и СКО σ(∆). Все эти характеристики должны указываться в нормативно-технической документации на средства измерения.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ
1. Определяют систематическую составляющую погрешности конкретно-
го экземпляра прибора в точке X диапазона измерения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
1 |
|
|
м |
|
б , |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
мi |
и |
|
б |
|
бi , |
здесь мi – i-e значение погрешности при |
||||||||||
|
м |
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
подходе к точке X со стороны меньших значений; бi |
– то же со стороны |
больших значений; n – число опытов при определении ∆м или∆б. 2. Определяют вариацию:
b |
|
|
|
|
|
. |
|
м б |
(5) |
7
3. Находят оценку математического ожидания систематической состав-
ляющей погрешности приборов данного типа по значениям, полученным для каждого экземпляра.
|
1 |
n |
|
|
M c |
ci , |
(6) |
||
k |
||||
|
i 1 |
|
где k – число исследованных приборов, ci – оценка систематической состав-
ляющей i-го прибора.
4. Проводят оценку СКО систематической составляющей погрешности приборов данного типа по формуле:
σ c |
1 |
k |
M c |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
(7) |
||
|
|||||
|
ci |
. |
|||
|
k 1 i 1 |
|
|
|
5. Проводят оценку СКО случайной составляющей погрешности в точке
X диапазона измерения конкретного прибора данного типа по формуле:
|
n |
2 |
n |
2 |
|
|
|||
|
Мi |
|
М |
Бi |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
||||||
σ |
i 1 |
|
|
i 1 |
|
. |
(8) |
||
|
|
2n 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Определяют оценку нормализованной автокорреляционной функции:
r λ |
|
1 |
|
||
|
λ |
|
|
||
|
|||||
|
n |
D |
|||
T0 |
|||||
|
|
|
|
n λ T0 |
|
i i λ T0 , |
(9) |
i 1
где n – число отсчетов погрешности при определении автокорреляционной функции; T0 – интервал времени между двумя последовательными отсчетами;
|
|
1 |
n |
|
|
||
|
|
i , ∆i – i-я реализация (отсчет) погрешности (для средств измерений, |
|
|
|||
|
|
n i 1 |
допускающих плавное изменение входной величины, отсчеты ∆i берутся при подходе к данной точке диапазона измерения только с одной стороны).
|
1 |
n |
|
|
|
D |
i 2. |
||||
|
|||||
|
n 1 i 1 |
8
Следует заметить, что автокорреляционная функция определяется по точкам для дискретных значений аргумента λ, при которых λT0 принимает целочисленные значения. Интервал времени, в течение которого проводится n
отсчетов при определении r∆(λ), равен T n 1T0 . Интервал времени Т0 дол-
жен удовлетворять неравенству λмакc n T0 λ , где λмакс – верхний предел диапазона аргумента λ, в котором определяется r∆(λ), λ1 – первое после нулево-
го значение λ.
Математическое ожидание погрешности для средств измерений при нор-
мальных условиях вычисляют по выражению [3]:
M M c . |
(10) |
Если условия эксплуатации средств измерения отличаются от нормаль- |
|
ных, то: |
|
M M c ψ ξ , |
(11) |
где ψ ξ – функция влияния неизмеряемой данным средством измерения физи-
ческой величины на результаты измерения.
Среднее квадратическое отклонения погрешности средств измерений
данного типа определяют из выражения: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
σ |
σ2 |
c σ2 |
|
b2 , |
(12) |
|||
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
В ряде случаев влияющие величины изменяют значение среднего квадра-
тического отклонения случайной составляющей погрешности средств измере-
ний и его вариации. В этом случае выражение для погрешности среда в изме-
рений должно учесть эти функции влияния:
σ |
σ2 |
|
σ |
|
|
|
ψ |
|
ξ |
2 |
|
1 |
b ψ |
|
ξ |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||||||||||||
|
|
12 |
|
|
||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
σ |
|
|
|
b |
|
|
|
|
где ψσ ξ и ψb ξ – соответствующие функции влияния физической величины ξ на среднеквадратическое отклонение случайной составляющей погрешности
σ средств измерений и на его вариацию b.
9
При расчете погрешностей измерительных систем, как правило, необхо-
димо учитывать влияние нескольких случайных и неслучайных величин. Если система описывается суммой случайных и неслучайных погрешностей, то ма-
тематическое ожидание этой суммы будет равно сумме математических ожи-
даний случайных погрешностей плюс неслучайные погрешности [4]:
M 1 2 … n C1 C2 … Cm M 1
(14)
M 2 … M n C1 C2 … Cm,
Это выражение справедливо как для зависимых, так и для независимых величин.
Если случайные погрешности независимы в статистическом смысле, т.е.
вероятность появления одной погрешности не зависит oт вероятности другой погрешности, то дисперсия суммы случайных и неслучайных погрешностей определяется суммой дисперсий случайныхпогрешностей.
D 1 2 … n C1 C2 … Cm D 1 D 2 … D n . (15)
Так как дисперсия неслучайной величины равна нулю, D(C) = 0. Диспер-
сия суммы зависимых случайных погрешностей определяется из выражения:
n |
|
n |
2 Kij, |
(16) |
D i |
D i |
|||
i 1 |
|
i 1 |
i j |
|
где Kij – корреляционный момент величин ∆i и ∆j. Знак i < j под суммой обозна-
чает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочета-
ния случайных величин (x1, x2, …, хn).
Если погрешность измерительной системы определяется, например, про-
изведением двух случайных и одной неслучайной составляющих, то математи-
ческое ожидание погрешности системы будет определяться выражением:
M 1 2C CM 1 M 2 CK1 2, |
(17) |
где K1-2 – корреляционный момент величин ∆1 и ∆2. Если случайные погрешно-
сти ∆1 и ∆2 не коррелированы, то K1-2 = 0 и:
M 1 2C CM 1 M 2 .