книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdfУпражнения |
91 |
а) Постройте 9 5 %-ное доверительное множество для
1 ) fo и (h \
2) 0г\
3)/?з;
4)0\ и 02-
б) Проверьте с 5%-ным уровнем значимости следующие гипотезы:
1 ) 02= 0 и 0з = 0 ;
2 ) 0з = 0 (стоимость имущества несущественна);
3)02— 0 (величина дохода несущественна);
4)02 — 1 (таким мог быть ответ вашего коллеги на вопрос о зависимости накопления от дохода);
5)02 — 1-57 (такое значение коэффициента 02 могло быть с вы сокой степенью надежности установлено для другой страны и вас интересует вопрос, верно ли это для вашей страны);
6 ) 02 = —5/?з (т.е. эффект дохода противоположен эффекту богатства в фиксированной пропорции).
в) Пусть некоторая семья имеет доход Y = 30 тыс. руб. и имущество стоимостью W = 52.5 тыс. руб.
1)Чему равна прогнозная величина ее накоплений?
2)В каком смысле эта семья может рассматриваться как сред няя между семьями 4 и 5 (упражнение 3.5)? Почему про гнозная величина ее накоплений не есть среднее между 3.5 и 1.5 тыс. руб.?
3)Постройте 95%-иый доверительный интервал для прогноз ной величины накоплений этой семьи.
3.7.Всегда ли доверительный интервал для 0 i + 02 шире каждого из доверительных интервалов для 0\ и 02? Бели да, то почему?
3.8.В этом упражнении изучается влияние преобразований зависимой и независимых переменных па МНК-оценки.
а) Что произойдет с МНК-оцеиками в парной регрессии у па х, если добавить константу к каждому наблюдению у7 к каждому на блюдению х? Что произойдет с МНК-оцеиками в множественной
92 |
Гл. 3 Модель множественной регрессии |
регрессии у на xi и хг, если добавить константу С] к каждому наблюдению Х| и другую константу сг к каждому наблюдению Х2 ?
б) Что произойдет с МНК-оценками в множественной регрессии у на Xi и хг, если переменные xt и хг заменить их отклонениями от средних значений?
в) Что произойдет с МНК-оценками в множественной регрессии, ес ли умножить зависимую переменную Y на константу? если на константу умножить какой-либо регрессор?
3.9. Рассмотрим оценку вида /3 = ((Х'Я-) - 1 + 7 1) Х 'у для вектора коэффициентов регрессионного уравнения у = X f i + e. ( I — единичная к х к матрица.)
а) Найдите математическое ожидание, матрицу ковариаций и мат рицу среднеквадратичных отклонений оценки /3
(MSE(0) = Е((в - в)(в - 9)')).
б ) Можно ли найти 7 такое, что оценка /3 более эффективна, чем оценка метода наименьших квадратов /3 (т.е. для всех t = 1 , ..., к,
MSE(ft) < MSE(ft))?
3.10. Рассмотрим оценку вида/3 = ( Х 'Х + rD )~ l X 'y (ридж-регрессия (ridge regression)) для вектора коэффициентов регрессионного уравне ния у = Х /3 + е, где D — диагональная к х к матрица, состоящая из диагональных элементов матрицы Х 'Х .
а) Найдите математическое ожидание, матрицу ковариаций и мат рицу среднеквадратичных отклонений оценки /3
(MSE(O) = Е((0 - 0)(0 - 9)')).
б) Покажите, что существует г > 0 такое, что V(j3) < V(/3), где /3 — оценка метода наименьших квадратов.
в) Можно ли найти такое г > 0, что оценка /9 более эффективна, чем оценка метода наименьших квадратов /3 (т.е. для всех t = 1 , ..., к,
MSE(fr) < MSE(ft))?
3.11. После финансового кризиса спрос на чебуреки (см. упражнение 2.14) упал, и менеджер был вынужден тратить часть средств на рекла му. Для изучения зависимости объема продаж от цены и расходов на
Упражнения |
93 |
рекламу менеджер использует следующую модель:
Qt —Pi + PiPt +Рз<Н+ p4°i + £t-
В таблице 3.2 приведены данные наблюдений за 20 недель (t — номер недели, qt — количество проданных чебуреков, pt — цена одного чебу
река (руб.), at |
— затраты иа рекламу ( 1 0 0 |
руб.)). |
Таблица 3.2 |
||||
t |
|
|
|
|
|
||
Qt |
Pt |
at |
t |
Qt |
Pt |
at |
|
1 |
525 |
5.92 |
4.79 |
1 1 |
407 |
6.67 |
5.19 |
2 |
567 |
6.50 |
3.61 |
1 2 |
608 |
6.92 |
3.27 |
3 |
396 |
6.54 |
5.49 |
13 |
399 |
6.97 |
4.69 |
4 |
726 |
6 . 1 1 |
2.78 |
14 |
631 |
6.59 |
3.79 |
5 |
265 |
6.62 |
5.74 |
15 |
545 |
6.50 |
4.29 |
6 |
615 |
5.15 |
1.34 |
16 |
512 |
6 . 8 6 |
2.71 |
7 |
370 |
5.02 |
5.81 |
17 |
845 |
5.09 |
2 . 2 1 |
8 |
789 |
5.02 |
3.39 |
18 |
571 |
6.08 |
3.09 |
9 |
513 |
6.77 |
3.74 |
19 |
539 |
6.36 |
4.65 |
1 0 |
661 |
5.57 |
3.59 |
2 0 |
620 |
6 . 2 2 |
1.97 |
Используя данные таблицы 3.2, ответьте на следующие вопросы:
а) Отклик количества проданных чебуреков па изменение цены из меряется коэффициентом рз = dq/dp. Аналогично, dq/da = Рз + 2 /?4 <х. Какие знаки Рз, Рз, /34, вы ожидаете получить?
б) Найдите оценки коэффициентов регрессии и их стандартные
|
ошибки. Соответствуют ли знаки оценок вашим ожиданиям? |
в) |
Пусть себестоимость производства одного чебурека равна 2 рубля. |
|
Тогда чистый доход за неделю задается формулой p ro fit — p q - |
|
2 q—1 0 0 а. |
г) |
Найдите оптимальную цену при расходах на рекламу, равных 280 |
|
руб. |
д) |
Найдите оптимальный уровень расходов на рекламу при цене че |
|
бурека, равной 6 руб. |
е) |
Помогите менеджеру найти оптимальное решение (максимизиру |
|
ющее чистый доход). |
ж) |
Найдите 95%-ные доверительные интервалы для Рз, Рз, Pi- Про |
|
верьте значимость влияния цены, а также расходов на рекламу |
|
на количество проданных чебуреков. |
94 |
Гл. 3. Модель множественной регрессии |
3.12. В кейнсианской теории спрос на деньги зависит от доходов и про центных ставок. Рассмотрим следующую модель:
m t = 0i + 02Vt + РгЧ + fit, |
(*) |
где тп( — агрегат денежной массы Ml (млрд, долл.), yt — валовой внутренний продукт (ВВП) (млрд, долл.), it — процентные ставки по 6-месячным государственным облигациям США (6-month US Treasury Bills, %). В таблице 3.3 представлены данные по этим переменным за период 1960-1983 гг. по экономике США.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.3 |
|
Год |
Vt |
mt |
it |
Год |
Vt |
mt |
it |
1960 |
506.5 |
141.8 |
3.247 |
1961 |
524.6 |
146.5 |
2.605 |
1962 |
565.0 |
149.2 |
2.908 |
1963 |
596.7 |
154.7 |
3.253 |
1964 |
637.7 |
161.8 |
3.686 |
1965 |
691.1 |
169.5 |
4.055 |
1966 |
756.0 |
173.7 |
5.082 |
1967 |
799.6 |
185.1 |
4.630 |
1968 |
873.4 |
199.4 |
5.470 |
1969 |
944.0 |
205.8 |
6.853 |
1970 |
992.7 |
216.5 |
6.562 |
1971 |
1077.6 |
230.7 |
4.511 |
1972 |
1185.9 |
251.9 |
4.466 |
1973 |
1326.4 |
265.8 |
7.178 |
1974 |
1434.2 |
277.5 |
7.926 |
1975 |
1549.2 |
291.1 |
6.122 |
1976 |
1718.0 |
310.4 |
5.266 |
1977 |
1918.3 |
335.5 |
5.510 |
1978 |
2163.9 |
363.2 |
7.572 |
1979 |
2417.8 |
389.0 |
10.017 |
1980 |
2631.7 |
414.1 |
11.374 |
1981 |
2954.1 |
440.6 |
13.776 |
1982 |
3073.0 |
478.2 |
11.084 |
1983 |
3309.5 |
521.1 |
8.750 |
Источник: E c o n o m ic |
R e p o r t |
o f th e P r e s id e n t, Department of Commerce, |
Bureau of Economic Analysis.
а) Найдите оценки коэффициентов регрессии (*)• Интерпретируйте знаки коэффициентов.
б) Рассчитайте прогноз спроса на деньги при значениях: (1) у = 1000, г = 10 и (2) у = 2500, г = 5.
в) Рассчитайте эластичность спроса на деньги яг по доходам у и по процентным ставкам (dlnm/dlny, сИпяг/сПпг) в двух точках (1) и (2) из б). Сравните результаты.
г) Рассмотрим модель
\nmt = 0\ + 02 Inyt + 0з In it+£t- |
(**) |
Повторите б) и в) и сравните результаты, полученные по разным моделям. Сравните модели (*) и (**)• Какая из них вам представ ляется более предпочтительной?
Упражнения |
95 |
3.13.Рассмотрим классическую модель линейной регрессии у = Х(3+е
сограничением Н(3 = г на вектор коэффициентов.
а) Покажите, что оценка метода наименьших квадратов при нали чии ограничения /3R, получаю!цаяся из решения соответствую щей задачи минимизации, следующим образом выражается через обычною оценку метода наименьших квадратов без учета ограни чения Эия:
Эя = Эия+ (Х'ХГ'Н' {Н(Х'Х)-'Н’)-1(г - нЪип).
б) Покажите, что
(НЭUR - г)' (Щ Х ' Х Г ' Н ')'* (НЗиа - г) = e'ReR - e'uaeuR,
где ея = у - Х 0 Л, еоа = У ~ -Х^иа ~ векторы остатков в ре грессиях с ограничениями и без ограничений, соответственно.
3.14. Оценивание модели yt = 0i + (hxt2 + /83X43 + /84X44 + £4 методом наименьших квадратов по 26 наблюдениям дало следующие результаты:
2/4 = 2 + 3.5x42 — 0.7 Х4 3 + |
2 .ОХ4 4 + |
Л2 = 0.882 |
|
(1 9 ) |
(2 2) |
(1.5) |
|
(в скобках даны значения t-статистик).
Оценивание той же модели при ограничении 02 = 04 дало следую
щие результаты: |
|
|
|
2/4 = 1.5 + 3.0 (xt2 + Х44) —0 |
.6 x43 + «4, |
R2 = 0.876. |
|
(2.7) |
(2 |
4) |
|
а) Проверьте значимость вектора 0/ = (/82,/83,/84) в регрессии без ограничений.
б) Проверьте ограничение /82 = /84.
3.15. В таблице 3.4 представлены реальный доход на душу населения
у(тыс. долл.), процент рабочей силы, занятой в сельском хозяйстве, xj
исредний уровень образования населения в возрасте после 25 лет хг (число лет, проведенных в учебных заведениях) для 15 развитых стран в 1983 г.
а) Проведите множественную регрессию у на константу, Х| и хг и проинтерпретируйте полученные результаты.
96 Гл. 3. Модель множественной регрессии
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.4 |
|
Страна |
У |
XI |
х 2 |
Страна |
У |
Хх |
х2 |
1 |
7 |
8 |
9 |
9 |
10 |
6 |
12 |
2 |
9 |
9 |
13 |
10 |
11 |
7 |
14 |
3 |
9 |
7 |
11 |
11 |
11 |
6 |
11 |
4 |
8 |
6 |
11 |
12 |
12 |
4 |
15 |
5 |
8 |
10 |
12 |
13 |
9 |
8 |
15 |
6 |
14 |
4 |
16 |
14 |
10 |
5 |
10 |
7 |
9 |
5 |
11 |
15 |
12 |
8 |
13 |
8 |
8 |
5 |
11 |
|
|
|
|
б) Определите s2, |
|
и |
|
|
|
|
в) Почему, как правило, константа 0о не играет существенной роли при рассмотрении регрессии?
г) Постройте 95%-ные доверительные интервалы для коэффициен тов 01,02 и вычислите коэффициент детерминации R2 и скоррек тированный коэффициент детерминации
д) Проверьте па 5%-ном уровне значимость коэффициентов 0\,02-
3.16. Вместо того, чтобы оценивать параметры /3,, /32 в модели
у = Х 10 1+ Х 20г + е, |
(*) |
( Х и Х 2 —п х к \, п х к2 матрицы, соответственно, /3lt/32 —векторы размерности к \,к 2, соответственно), строятся МНК-оцеики этих пара метров исходя из модели
y = X*i/3i+X2/32 + e*, |
(**) |
где X, —матрица остатков, полученных в результате регрессии каж дого столбца матрицы Х\ на Х 2.
а) Покажите, что полученная таким образом оценка вектора /32 сов падает с оценкой, полученной в результате регрессии у только на * 2.
б) Найдите смещение оценки вектора /32.
в) Покажите, что МНК-оценки вектора /3,, построенные по моделям
(*) и (**), совпадают.
Упражнения |
97 |
3.17. Строится регрессия n х 1 векторау и & п х к матрицу регрессоров X и вычисляется коэффициент детерминации Д2. Затем к матрице X добавляется дополнительный (А:+ 1 )-й столбец, проводится регрессия у на новую матрицу и вычисляется коэффициент детерминации R%. При каких условиях Д2 —
3.18. Рассматривается стандартная линейная модель множественной
регрессии у = Х 0 + |
е, где X — п х |
к матрица ранга к. |
|
|
|
|
а) Пусть G — к |
х т матрица, |
имеющая ранг т < |
к, |
|
и |
пусть |
L = {/3 : /3 = G~y для некоторого 7 }. Постройте тест для |
про |
|||||
верки гипотезы Но : /3 € L против альтернативы Hi : |
0 |
$ |
L. |
б ) Пусть матрица X разбита на две матрицы X = [Xi Х 2), где Х х
— п х к \ матрица, Х 2 — п х к 2 матрица, и пусть q x = X 1Г1 , q2 = Х 2г 2, где г,, г 2 — известные векторы. Рассматривается новая модель у = СК1 4 , + ot2q2, где a b a 2 —скалярные параметры.
Каким образом, используя результаты а), можно проверить, явля ется ли новая модель приемлемой?
3.19.Покажите, что при добавлении в модель регрессора скорректиро ванный коэффициент детерминации Д^у увеличивается тогда и только тогда, когда t-статистика оценки коэффициента при этом регрессоре по модулю превосходит единицу.
3.20.Оценивание четырех регрессионных моделей на основании 40 на блюдений дало следующие результаты:
W = |
20 |
+ |
0.8 A G E + |
3.7 EDU, |
|
Д2 = 0.40, |
|
|
(5.0) |
|
(0.09) |
(I |
31) |
|
|
In и/ = |
3.2 + |
0.10 In AG E + 0.19 In EDU, |
Д2 = 0.71, |
||||
|
(3.0) |
|
(0 009) |
|
(0.03) |
|
|
W = |
20 |
+ |
0.6 A G E + |
0.4 E X P , |
|
Д2 = 0.59, |
|
|
(0 3) |
|
(0.09) |
(0 |
12) |
|
|
W = 2.05 + |
0.5 A G E + |
0.6 ED U + |
0.2 E X P , |
R 2 = 0.63 |
|||
|
(0 4) |
|
(0.19) |
(0.35) |
(013) |
|
(в скобках указаны стандартные ошибки), где W — зарплата работника, AG E — его возраст (в годах), ED U — уровень образования (число лет, проведенных в учебных заведениях), Е Х Р — стаж работы.
а) Сравните эти четыре регрессии с точки зрения их качества и про гностической силы.
б) Дайте интерпретацию коэффициентов при переменных A G E и InA G E в первом и втором уравнениях соответственно.
98 Гл. 3. Модель множественной регрессии
3.21. Рассмотрим 3 модели
а
Vt = 1 + e t,
yt = ад‘ + et,
0
yt = О + ^5 + £f
где £ = 1,... ,7\ е ~ N(0,<r2J). Во втором уравнении д — известная константа.
а) Покажите, что МНК-оценка параметра а в первом уравнении не может быть состоятельна. Верно ли то же самое для второго урав нении?
б) Являются ли состоятельными МНК-оценки параметров а и 0 в
третьем уравнении? |
|
Указание. £3“ , *~2 = тг2/6, |
, t~4 = 7г4/90. |
3.22. Пусть истинная модель, yt = 0i+ 02x t2+0zx t3 +04х и +£«> удовле творяет условиям теоремы Гаусса-Маркова.Оценки 0 \, 02,03 являются МНК-оцепками в регрессии у на хъ и хз. Покажите, что
Е02 = 02 + 04 Za»! TgXt4
;t«I ’ 12
где Г|2 — МНК-остатки в регрессии хз на жз- Указание. Покажите сначала, что МНК-оценка коэффициента 02 в
уравнении yt = 0\ + 02x t2+ Рзх а + £i представляется в виде
ЕГ=1 П2У1
02 =
ЕГ=1-?2 •
3.23. Рассматривается классическая |
линейная нормальная модель |
||||
у = Х 0 + е, V(e) = 2J, причем известно, что |
|||||
Х 'Х |
'5 |
2' |
и 0i |
= 3, 02— 2. |
|
2 |
4 |
||||
|
|
|
а) Постройте 95%-ный доверительный интервал для в — Pi + 02-
б) Постройте 95%-иую доверительную область для вектора 1 ^ .
Упражнения |
99 |
3.24. Для города и для деревни рассматриваются две модели парной регрессии. 2 0 наблюдений для города дали следующие результаты:
Х 'Х |
‘2 |
0 |
2 0 ' , |
х у = |
1 0 ' |
у 'у |
= |
30, |
|
2 |
0 |
25 |
|
2 0 |
|
|
|
а 1 0 наблюдений для деревни — |
|
|
|
|
|
|||
Х 'Х |
10 |
10 |
Х 'у |
'8 ' |
у 'у |
= |
24. |
|
10 |
2oJ ’ |
20 ' |
На 95%-ном доверительном уровне проверьте гипотезу о том, что эти две модели совпадают.
3.25. Проведены две регрессии ежеквартальных данных со второго квартала 1990 г. по третий квартал 2001 г. Они имеют следующий вид:
у = 40 + 0.3® 2 |
+ 0.8х3 - 1 -8 x4 . |
Я2 |
= 0.82, |
у = 60 + 0 .5 x2 |
+ 0 .6 x3 , |
Я2 |
= 0.75. |
Для первой регрессии проверьте (на 95%-ном уровне значимости) гипо тезу Но: /? 4 = 1 .
3.26. Известно, что процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается классической линейной моделью регрессии у = Х/З + е. Оценка Эл получается регрессией у на X (МНК-оценка) при ограни чении Н/3 = г. Найдите матрицу ковариаций V(/3ft) и сравните ее с матрицей ковариаций V(/3) — МНК-оценки в регрессии без ограниче ний. Как полученный вами результат соотносится с теоремой ГауссаМаркова?
3.27.При каких условиях добавление в уравнение еще одного регрес сора не изменяет коэффициент детерминации?
3.28.Оценивание производственной функции по методу наименьших квадратов дало следующие результаты:
InQ = 1.37 +0.632 In К + 0.452 In L, Я2 = 0.98, COV(0K J L ) = 0.055
(0 257) (0 219)
(в скобках даны стандартные ошибки). Проверьте гипотезы: а) эластичности по труду и каииталу совпадают; б) выполнено свойство постоянства отдачи на масштаб.
100 |
Гл. 3 Модель множественной регрессии |
Замечание. В задаче не указано число наблюдений. Будут ли ваши вы воды зависеть от этого числа?
3.29. Рассматривается стандартная линейная регрессионная модель
y t = а + p x t + 6 w t + 6 z t + £(.
а) Какую регрессию следует осуществить, чтобы учесть (истинную) информацию, что 0 = 26?
б) Будет ли коэффициент детерминации Я2 этой регрессии (п. а)) больше, меньше или равен Я2 исходной регрессии?
в) Будут ли оценки параметра в в исходной модели и в п. а несме щенными?
г) Будет ли дисперсия этой оценки (п. а)) больше, меньше или равна дисперсии оценки в в исходной регрессии. Объясните на содержа тельном уровне.
3.30. В файле gnovgorod. х1в содержатся данные по стоимости квартир в Новгороде.
а) Постройте и оцените минимальную модель, с помощью которой вы сможеге оценить параметр г, равный относительному приро сту стоимости квартиры при добавлении к ней комнаты площа дью 18 кв.м.
б) Найдите 95%-ный доверительный интервал для г.
в) Помогает ли включение в модель дополнительных параметров бо лее точно оценить параметр г?
г) Можете ли вы предложить модель, в которой параметр г был бы одним из коэффициентов? Изменяется ли при этом способе оценивания доверительный интервал?
д) Зависит ли параметр г от количества комнат в квартире? Почему?
3.31. В примере рассматриваютсятся данные по стоимости квартир в Москве, собранные студентами первого курса РЭШ осенью 1997 г. Опи сание переменных содержится в таблице 3.5-
Даиные находятся в файле flat98s.xle