книги / Сборник задач по физике.-1
.pdfГлава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
3.1. Электростатика
Задачи по электростатике удобно разделить на три группы. К первой можно отнести задачи о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, ко второй – все задачи о заряженных телах, размерами которых нельзя пренебречь, к третьей – задачи на определение емкости, потенциала или заряда какого-либо тела, расчет соединений конденсаторов и энергии электрического поля.
Решение задач первой группы основано на применении законов механики совместно с законом Кулона и вытекающих из него следствий. Такие задачи рекомендуется решать в следующем порядке:
1. Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле, записать для него уравнение равновесия или уравнение второго закона Ньютона.
2. Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и характеристики поля и подставить эти выражения в исходное уравнение. Силы взаимодействия зарядов можно рассчи-
тать или по закону Кулона, или по формуле F = qEG, считая, что один из зарядов находится в поле действия другого.
3.Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленным уравнениям добавляют уравнение закона сохранения зарядов.
4.Далее записывают вспомогательные формулы и решают систему уравнений относительно неизвестной величины.
Проводя вычисления, полезно помнить, что множитель k = 4πε1 0 , входящий во многие расчетные формулы, равен
9 109 м/Ф. Именно такое значение и следует подставлять в окончательную формулу.
71
Во вторую группу входят задачи, связанные с расчетами напряженности и потенциала электрического поля, создаваемого системами точечных зарядов, заряженными плоскостями
ителами сферической формы.
Взадачах на вычисление напряженности электрического
полятер ЕGособое: внимание нужно обратить на векторный харак-
–векторы напряженности электрического поля уединенного точечного заряда направлены от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен;
–поле заряженной плоскости однородно; векторы напряженности поля плоскости направлены перпендикулярно ее поверхности от плоскости, если ее заряд положителен, и к плоскости, если заряд отрицателен;
–для электрического поля заряженной сферы в точках, расположенных за ее пределами, векторы напряженности направлены так же, как у точечного заряда, находящегося в центре сферы; внутри сферы электрическое поле равно нулю;
–для поля шара, заряженного равномерно по объему, в точках, расположенных за его пределами, векторы напряженности направлены так же, как у сферы; внутри – как у точечного заряда, помещенного в центр шара (совпадают только направления,
ане величины!); если шар проводящий, то нескомпенсированные заряды расположатся на его поверхности, что с точки зрения электростатики эквивалентно заряженной сфере;
–электрическое поле внутри проводника и внутри полой проводящей оболочки отсутствует (это справедливо независимо от наличия у проводника заряда и внешнего электрического поля).
При решении задач данной группы часто используется метод дифференцирования и интегрирования (метод ДИ).
Сущность метода ДИ заключается в следующем. Предположим, что физический закон имеет вид K = LM, где K, L, М – некоторые физические величины. Выделим столь малый промежуток dМ изменения величины М, чтобы изменением величины
72
на этом промежутке можно было пренебречь (рисунок). Таким образом, приближенно на участке dМ можно L считать постоянной (L = const).
Тогда
dK = L(M)dM,
где dK – изменение величины K на участке dM.
Используя принцип суперпозиции (суммируя величины по всем участкам изменения величины М), получаем значение ве-
M2 |
|
личины K в виде K = ∫ |
L(M )dM , где М1 и М2 – начальное |
M1 |
|
и конечное значения величины М. Таким образом, метод ДИ состоит из двух частей. В первой находят дифференциал искомой величины. Для этого в большинстве случаев производят или деление тел на столь малые части, чтобы последние можно было принять за материальные точки, или деление большого промежутка времени на такие малые промежутки времени dt, чтобы в течение этих малых промежутков процесс можно было п р и б л и ж е н н о считать равномерным (или стационарным), и т.д.
Во второй части метода производят суммирование (ин-
тегрирование). Наиболее трудными в этой части являются вы-
бор переменной интегрирования и определение пределов интег-
рирования. Для определения переменной интегрирования необходимо детально проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины и какая переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в качестве переменной при интегрировании. После этого все остальные переменные выражают как функции от этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид функции от переменной интегри-
73
рования. Затем определяют пределы интегрирования как крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного интеграла получают числовое значение искомой величины.
Третью группу составляют задачи на определение емкости, потенциала или заряда какого-либо тела, расчет соединений конденсаторов и энергии электрического поля.
Если по условию задачи дано одно заряженное тело, то величины, характеризующие электрические свойства тела, связаны между собой известными формулами
C = |
q |
, C = |
ε0 ε S |
, W = |
q U |
= |
C U 2 |
= |
q2 |
. |
|
U |
d |
2 |
2 |
2 C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
С учетом зависимости потенциала от величины заряда эти формулы позволят найти одни из величин, если другие заданы.
Следует иметь в виду, что если плоский конденсатор подключить к источнику питания, зарядить его и затем отключить, то при изменении емкости конденсатора С вследствие раздвижения (сближения) пластин, внесения (удаления) диэлектрика
заряд на конденсаторе не меняется. Что при этом происходит с напряжением U или энергией конденсатора W, легко установить, анализируя вышеприведенные формулы. Если же конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, то при всех изменениях емкости конденсатора напряжение между его пластинами остается неизменным.
Основные формулы
1. Закон Кулона
FG12 = −FG21 = |
1 q1q2 r12 |
, F = |
1 q1q2 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|||
4π ε0 ε r2 r |
4π ε0 ε r2 |
G G
где F12 – сила, с которой заряд q1 действует на заряд q2; F21 – равная ей и противоположно направленная сила; rG12 – радиус-
вектор, направленный от q1 к q2; r – модуль r12 ; ε – диэлектриче-
74
ская проницаемость среды, ε = EE0 ; Е0 – напряженность элек-
тростатического поля в вакууме; Е – напряженность электростатического поля внутри однородного диэлектрика; ε0 – электрическая постоянная.
2. Напряженность электрического поля и потенциал
EG = |
F |
, |
ϕ = |
Wп |
, |
|
q |
|
|
q |
где Wп – потенциальная энергия положительного точечного заряда q, находящегося в данной точке поля.
Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда
F= qEG, Wп = qϕ.
3.Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q,
E = |
q |
, φ = |
q |
, |
|
4πε0εr2 |
4πε0εr |
||||
|
|
|
где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность или потенциал.
4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции полей),
G |
n |
G |
n |
E = ∑Ei , |
ϕ = ∑φi , |
||
|
i=1 |
|
i=1 |
где EGi , ϕi – напряженность и потенциал в данной точке поля,
создаваемого i-м зарядом.
5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:
а) E = 0, ϕ = |
q |
(при r < R); |
|
4πε0εR |
|||
|
|
75
б) E = |
q |
|
, |
ϕ = |
|
q |
|
(при |
r = R); |
||
4πε0εR2 |
|
|
4πε0εR |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) E = |
|
q |
|
, |
ϕ = |
|
q |
(при r > R), |
|||
|
4πε0εr2 |
4πε0εr |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где q – заряд сферы.
6. Линейная плотность заряда τ = dqdl , или τ = q/l. Поверхностная плотность заряда σ = dqdS , или σ = q/S. Объемная плотность заряда ρэ = dqdV , или ρэ = q/V.
Связь заряда и плотностей dq = σdS = τdl = ρэdV.
7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый
участок длиной dl с зарядом dq = τdl. Такой заряд можно рас- |
||||||
сматривать как точечный и применять формулы |
||||||
dEG = |
τdl |
|
rG |
, dφ = |
τdl |
, |
4πεε0r2 |
|
4πεε0r |
||||
|
|
r |
|
где rG – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента
dl к точке, в которой вычисляется напряженность; r – его модуль.
Используя принцип суперпозиции электрических полей, |
|||||||||||
находим интегрированием напряженность EG |
и потенциал ϕ по- |
||||||||||
ля, создаваемого распределенным зарядом: |
|
|
|
||||||||
G |
τ |
∫ |
dl rG |
, ϕ = |
τ |
∫ |
dl |
|
|||
E = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
4πεε0 |
r |
2 |
|
r |
|
r |
|||||
|
l |
|
|
|
4πεε0 l |
|
Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.
8. Напряженность поля, создаваемого бесконечно прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,
E = 2πεετ 0r ,
76
где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,
E = 2εεσ 0 .
Электрическое смещение (электрическая индукция)
G G
D = ε0ε E.
Теорема Гаусса
v∫ EGdSG = |
1 |
|
εε0 |
||
S |
G
∑qохв, или v∫ DdS = ∑qохв.
S
10. Связь потенциала с напряженностью: |
|
|
|||||||||
а) |
G |
|
|
G |
G∂ϕ |
G ∂ϕ |
G∂ϕ |
в общем слу- |
|||
E = −grad ϕ, |
или E = − i |
∂x |
+ j |
∂y |
+ k |
|
|||||
чае, где iG, |
Gj, k |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|||
– единичные векторы вдоль осей координат |
|||||||||||
(орты); |
|
ϕ1 −ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
E = |
|
в случае однородного поля; |
|
|||||||
d |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) E = −ddϕr в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.
11. Электрический момент диполя
PG = q lG,
где q – заряд; l – плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).
12. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом ϕ1 в точку с потенциалом ϕ2
2
A12 = q∫ El dl = q(ϕ1 −ϕ2 ).
1
77
13. Электроемкость уединенного тела и конденсатора
С = ϕq , С = Uq ,
где ϕ – потенциал проводника; U – разность потенциалов пластин конденсатора.
Следует помнить, что при изменении электрической емкости конденсатора, подключенного к источнику напряжения, меняется величина заряда на его пластинах, а разность потенциалов остается постоянной и равной ЭДС источника тока. При изменении емкости конденсатора, отключенного от источника напряжения, меняется разность потенциалов на его пластинах, а величина заряда остается при этом неизменной.
Электроемкость плоского конденсатора
C = εεd0 S ,
где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.
Электроемкость батареи конденсаторов:
|
1 |
N |
|
|
а) |
= ∑ |
1 |
при последовательном соединении; |
|
|
|
|||
|
C |
i=1 Ci |
|
|
|
|
N |
|
|
б) C = ∑Ci |
при параллельном соединении, |
i=1
где N – число конденсаторов в батарее. Энергия заряженного конденсатора
W = qU |
= |
CU 2 |
= |
q2 |
, |
|
2 |
2C |
|||||
2 |
|
|
|
W = 12 ε0ε E2V ,
где V – объем конденсатора.
Объемная плотность энергии электрического поля
wэ = W = ε0ε E2 .
V 2
78
Примеры решения задач
№ 1. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
Р е ш е н и е.
Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии. Заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:
FG2 + FG3 + FG4 = FG + FG4 = 0, |
(1) |
где FG2 , FG3 , FG4 – силы, с которыми соответственно действуют |
|
на заряд q1 заряды q2, q3, q4; FG – равнодействующая сил FG2 |
и FG3. |
Поскольку силы FG и FG4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным равенством F – F4 = 0, откуда
F4 = F.
79
Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая,
что F3 = F2, получим F4 = F = 2F2 cos |
α . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Применяя закон Кулона и имея в виду, что q2 = q3 = q1, |
|||||||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q1 q4 |
= |
|
q12 |
|
2cos |
α |
, |
|
|
4πε0 r12 |
4πε0 r2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q4 = |
q1r12 |
2cos α. |
|
(2) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
r2 |
|
|
2 |
|
|
|
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике (α = 60°) следует, что
r1 = |
r |
|
= |
r |
. |
2cos |
α |
3 |
|||
|
2 |
|
|
|
С учетом этого формула (2) примет вид q4 = q13 .
Подставив числовое значение q1 = 1 нКл = 10–9 Кл, получим
q4 =10−9 ≈5,77 10−10 =577 пКл. 3
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
№ 2. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.
80