книги / Математика без формул
..pdf1сно, чго тем самым закройщик сконструировал сую функциональную зависимость, тесно связанную с )вой. Говорят, что по отношению к первой такая 1Исимость является обратной.
1з ателье перенесемся в поликлинику. Врач велит щенту измерить температуру. В стеклянной трубочке, орую пациент сует под мышку, заключен столбик ти. Он удлиняется от тепла человеческого тела. Вспочается часовая мастерская Гаррисона и опыты, в орых мастер определял длину металлических стерж- \ как функцию их температуры: Здесь врач проделы- >т нечто обратное: по длине жидкого ртутного «стерчька» он определяет температуру пациента. Он строобратную функцию по отношению к той, которую мал Гаррисон.
’азумеется, к вопросу можно подойти с другой сто- <ы и назвать прямой функцию, с которой имеет дело 14, и обратной ту, знание которой прославило Гарри- <а. А если быть справедливым до конца, то обе -жции нужно назвать взаимно обратными. Противоггавлять их имеет не больше смысла, чем решать, кто двух близнецов старше.
1равда, порой одна из двух взаимно обратных функ- 1 более употребительна, более привычна, ее символ шелькался больше, и подобная неравноценность игпг свою роль при распределении званий «прямая» и «ратная». Арксинус, арктангенс называют обратными 1гонометрическими функциями, молчаливо отдавая 1ние прямых синусу и тангенсу.
1з поликлиники — на космодром. Ракета, летящая в ;мическом пространстве, наращивает скорость по заiy логарифма: именно эта функция позволяет по ;се израсходованного топлива указать скорость pa- м. Скорость — функция, масса топлива — аргумент, часто возникает обратная задача, когда исходным истом расчета является скорость ракеты. Чтобы вы- :ти спутник на орбиту, ракета должна развить первую ;мическую скорость. Какое количество топлива по дуется ракете, чтобы достичь назначенной скорости? сса топлива в этом вопросе уже мыслится как функ- I, скорость — как аргумент. Задачу решает функция, эатная к логарифмической, — показательная.
Функция логарифмическая и функция показательная. Сведем их на одном графике. Бросается в глаза: они расположены симметрично относительно биссектрисы угла, стороны которого — оси координат. Это не уди вительно — ведь переход от прямой функции к об ратной заклю чается в переименовании: функция становится аргументом,
аргумент — функцией. Заметим, что функция,
обратная линейной, — это опять-таки линейная функ ция. Простейшая из линей ных функций — та, что равна аргументу, — обрат на по отношению к самой
себе, что, впрочем, очевидно: ее график совпадает с биссектрисой угла между координатными осями.
Корень квадратный и парабола тоже являются взаим но обратными функциями, и графики их тоже симмет ричны относительно той же биссектрисы.
А теперь — снова в ателье. Анализируя слова закрой щика с математической точки зрения, мы поначалу не обратили внимания на то, что он назвал сразу несколько значений функций, обратной к функции моды («...пять лет назад, да перед самой войной, да еще при царе Горохе»). Задуваемся над этим сейчас.
192
Мода повторяется, и это делает неоднозначной функ цию, значения которой называет закройщик. Та же при чина делает неоднозначной и арксинус — функцию, об ратную синусу (присмотритесь к ее графику).
В математике, как мы уже от мечали, принято рассматривать лишь однозначные функции, когда каждому значению аргу мента ставится в соответствие лишь одно значение функции. Именно поэтому математик, от разив относительно биссектри сы координатного угла график синуса* оставляет от него лишь небольшой участок и называет его главной ветвью арксинуса (см. график).
Резонно полюбопытствовать: какие же свойства функции га рантируют то, что обратная к ней окажется однозначной? Эти свойства — непрерывность и мо нотонность.
О первом из двух понятий речь впереди, а второе нам уже зна комо.
Беря в качестве примера вза имно обратных функций парабо лу и корень квадратный, мы не случайно взяли от параболы лишь одну половину. Если пара болу не урезать до монотонного вида, то в результате ее отраже ния относительно биссектрисы координатного угла получится
такой график, с которого значения корня квадратного можно брать и со знаком плюс, и со знаком минус. А это тот самый случай, по поводу которого мы говорили когда-то о нежелательности многозначных функций в математике.
193
Не было гвоздя — Подкова пропала. Не было подковы — Лошадь захромала
Ограничимся пока этим, ибо дальше в стихотворении идут совсем уж страшные вещи — гибель командира, разгром армии и так далее, и тому подобное.
Итак, лошадь. С чего начались ее неприятности? С того, что непрочно державшаяся подкова отвалилась. А отчего подкова держалась непрочно? Оттого, что кузни ца не обеспечила штатного количества гвоздей.
Боевое состояние лошади зависит от прочности креп ления подковы. Состояние лошади — функция, проч ность крепления — аргумент. Но эта прочность, в свою очередь, обусловлена количеством гвоздей. Проч ность — функция, количество гвоздей — аргумент.
Так что же получается? Прочность крепления подко вы — это одновременно и функция и аргумент. Нет ли здесь противоречия? Не ведет ли это к путанице?
Напротив! Описанная конструкция из функциональных зависимостей ведет к прояснению многих важных во просов.
Бывает, что изучить зависимость какого-то явления от первопричины оказывается делом сложным. Чувствует ся, что взаимообусловленность между ними есть, но перекинуть прочный мост четкой функциональной зави симости от одной к другой не удается. Дело облегчает ся, если между чрезмерно далекими берегами посчас тливится отыскать остров — некоторый фактор, который является следствием первопричины и причинрй оконча тельного, исследуемого следствия. Иными словами, когда удается построить некоторую промежуточную функцию, для которой независимая переменная служит аргументом, в то время как сама промежуточная функ ция служит аргументом для исследуемой функции. И безнадежно разобщенные прежде берега оказываются связанными этаким двухарочным мостом.
194
И неясная прежде связь между комплектностью куз нечного оборудования и боеспособностью конницы про ясняется введением промежуточного звена — прочнос тью крепления подков на копытах лошадей.
Подобная конструкция из двух функций называется их суперпозицией, или сложной функцией.
В ходе пристального анализа цепочка функциональ ных зависимостей может удлиняться: былая первопри чина обнаруживает обусловленность более глубокими факторами, a oi явления, на котором прежде останав ливался взгляд исследователя, тянется вереница далеко идущих следствий. Двухарочный мост становится по добным акведуку.
Взять хотя бы наше стихотворение:
Лошадь захромала — Командир убит Конница разбита — Армия бежит Враг вступает в город, Пленных не щадя
Оттого, что в кузнице Не было гвоздя
Поэт видит корень зла в гвозде и умалчивает о при чинах нехватки. Расследование можно продолжить. Может быть, администрация кузницы халатно относится к своим обязанностям? А может быть, ее подвели снаб женцы? А может быть, завод-изготовитель не выполнил своих обязательств? Или подкачали смежники?
Шутки шутками, а между тем подобные цепочки функ циональных зависимостей возникают при анализе мно гих серьезнейших проблем нашего времени и среди них такой — «Человек и окружающая среда».
Ученые утверждают, что в наше время ледники тают быстрее, чем, скажем, века два назад. И одну из причин этого явления усматривают в развитии промышленнос ти.
В чем дело? Может быть, в том, что топки заводов и фабрик греют атмосферу и это вызывает таяние льдов? Нет, на столь непосредственное воздействие вряд ли хватит тепловой энергии, выделяемой заводами и фаб риками. Дело здесь в другом.
195
Замечали ли вы, как быстро тает весной грязный снег при дорогах и как долго лежит он чистый на полях9
Пыль, копоть и прочие им подобные плоды цивилиза ции загрязняют атмосферу, переносятся ветрами на огромные расстояния, оседают на ледниках, и загряз ненный лед интенсивнее поглощает солнечные лучи, тает быстрее
Налицо сложная функция, или суперпозиция. Количе ству топлива, потребляемому заводами и фабриками планеты, соответствует определенное количество пыли и копоти, выбрасываемое в атмосферу, а этому количе ству соответствует определенное количество солнечной энергии, поглощенное ледниками
Зная эту сложную функцию, можно приступать к ана лизу загадочного прежде таяния ледников.
•
Эта кривая, напоминающая головной убор времен Наполеона, — своеобразный фирменный знак теории вероятностей. Там она называется кривой нормального закона распределения ошибок, или кривой Гаусса.
Казалось бы, этой функции как и функции Бесселя, можно посочувствовать, такая известная, такая распро страненная, а звания элементарной не удостоена
Не надо спешить с собо лезнованиями. Ведь эле ментарными функциями, как мы уже говорили, счи таются не только полиномы и корни, логарифмическая и показательная, тригоно метрические и гиперболи ческие функции, не только все те, что получаются из них с помощью сложения и вычитания, умножения и деления, но также обрат ные к ним (например, арк синус или арктангенс) и их суперпозиции
196
Функция нормального распределения ошибок как раз и представляет собой суперпозицию двух элементарных функций, показательной и параболы, взятой со знаком минус перед ней, а потому по праву принадлежит к числу элементарных.
Беря различные функции, можно создавать разнооб разнейшие их суперпозиции. Но будьте осторожны! По мните определение суперпозиции двух функций: одна служит аргументом для другой. Значит, область значе ний первой функции должна попадать в область опре деления второй. Забвение этой важной детали может привести к курьезам. За примерами ходить недалеко.
Мы только что говорили про суперпозицию показа тельной функции и параболы со знаком минус перед ней. Замените в этом сочетании показательную функ цию функцией «корень квадратный», и вы увидите, что получившаяся при этом сложная функция имеет смысл лишь при нулевом значении независимой переменной. Ведь корень квадратный нельзя извлекать из отрица тельных чисел!
Смешная картинка, не правда ли? А почему она смеш на? Потому что в ней есть подвох Ваш взгляд скользит по ногам человечка, затем, как вы думаете, вдоль туло
вища, скрытого газетой затем подходит к краю газеты, ожидая встретить там голову... ан нет' Голова оказыва
197
ется совсем в другом месте. Фигура нарисованного человечка оказывается разорванной.
Сравните теперь эти графики — какая из двух функций более похожа на человека с газетой?
Конечно, вторая! Прослеживая взглядом ход линии, при подходе к значению аргумента а мы обнаруживаем, что значение функции в этой точке, указанное жирным кружком, совсем не там, что ожидалось, — как на при веденном рисунке.
Первая из функций, представленных графиками, на зывается непрерывной в точке а, вторая — разрывной в этой точке.
Непрерывность и разрывность — одни из важнейших понятий, применяемых для анализа функций.
Судя по элементарным функциям, непрерывность — явление весьма распространенное в мире функциональ ных зависимостей, разрывность же, напротив, экзоти ческое, так что наглядные примеры разрывных функций подберешь не вдруг. Но мы все-таки попробуем их поискать.
Замечали ли вы, читатель, как гасят свет в кинотеат рах перед началом сеанса? Осветитель медленно пере двигает рычажок реостата, и свет едва заметно и непре рывно гаснет, превращаясь в тьму.
|
Я р к о с ть |
Смещение |
|
р уч к и |
|
А |
У г о л поворота |
ры чажка |
198
Попробуйте воспроизвести это медленное и непре рывное угасание дома, попытайтесь так же загасить люстру, поворачивая рычажок тумблера. У вас ничего не получится, даже если вы крепко будете держать рыча жок, не давая ему срываться. По мере его поворота свет до поры до времени ничуть не убудет в яркости — и вдруг мгновенно погаснет, так что тьма останется неиз менной при дальнейшем движении рычажка. Подобный переход от света к тьме описывается разрывной функ цией.
Конечно, не следует придавать чрезмерного значения тому, что тумблеры чаще служат выключателями, чем реостаты. И все-таки приведенный пример позволяет утверждать, что разрывные функции необходимы для списания совсем не таких уж редкостных явлений и устройств.
Как же определить понятия непрерывности и разры ва?
Не мудрствуя лукаво, можно сказать, что непрерывная функция — это такая, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. А разрывная — такая, которую так не нарисуешь.
К сожалению, математиков такое определение не удовлетворит, ибо фигурирующие в нем карандаш и бумага — понятия не математические. В строгом мате матическом определении должны содержаться лишь ло гические и количественные понятия.
Однако, поставив вне закона карандаш и бумагу, мы вовсе не отказываемся от наглядности. Определение непрерывности мы дадим с помощью картинки — той самой, с которой начинался этот отрывок, а точнее, с помощью газеты, которую держит в руках человек.
Возьмем у человечка его газету и наложим ее на первый из вышеприведенных графиков, лричем так, чтобы ее центр совпал с той точкой на линии графика, где функция исследуется на непрерывность. (Собствен но, от слова «газета» уже можно отказаться и говорить
опрямоугольнике с центром в интересующей нас точке.) Мы можем так обрезать газету с краев, что график
функции на всей ширине газеты не вылезет за ее верх ний и нижний края. Суть определения непрерывности заключается в том, что такое можно сделать с газетой
199
любого размера, с тетрадным листом, с почтовой от крыткой, с трамвайным билетом, с прямоугольником любой высоты: задавшись этой высотой, прямоугольник можно затем так сузить с боков, что в столь узком
промежутке отклонения функции от ее значения в ис следуемой точке будут меньше, чем высота прямоуголь ника. Такая функция и называется непрерывной в дан ной точке.
Функция называется разрывной в данной точке, если описанная процедура оказывается невыполнимой. Го воря точнее, если найдется прямоугольник такой высо ты, что, как ни сужай его с боков, на любом зауженном промежутке найдется точка, по крайней мере одна, в которой значение функции будет выступать либо за верхний, либо за нижний край прямоугольника.
•
Если предыдущий раздел начинался со смешной кар тинки, то этот начнется с загадочной.
Часть графика функции, располо женная правее некоторой точки а, за крыта. Не видно также, какое значение функция принимает в самой точке а. Чтобы подчеркнуть это обстоятельст во, видимая часть графика закончена стрелочкой в той точке, в которой об рывается кривая.
200