книги / Принципы динамической теории решетки
..pdfX. Бётгер
ПРИНЦИПЫ
ДИНАМИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
РЕШЕТКИ
Перевод с английского кандидатов фиа-мат. наук
А.И. Буздина и О.В. Долгова под редакцией
доктора фиа-мат. наук Л.Н. Бупаевского
Москва «Мир» 1986
H a ra ld B o ttg e r
Principles of the Theory
of Lattice Dynamics
Academ ie-Verlag * Berlin 1983
ББК 22.37
Б54
УДК 539.2
Бётгер X*
Б54 Принципы динамической теории решетки: Пер. с англ. - М .: Мир,
1986. - 392 с., ил.
Монография известного физика-теоретика проф. X. Бётгера (ГДР) пред ставляет собой современный курс теории колебаний решетки. Рассмотрены системы упорядоченные и с беспорядком (в том числе аморфные), с силь ным ангармонизмом и со сверхструктурами. Изложены традиционные и сов ременные методы расчета спектров колебаний — методы эффективной сре ды, когерентного потенциала, кластерного приближения, а также метод клас теров на решетке Бете, решетка Тоды и переход Пайерлса, волны зарядовой плотности и т.п.
Для научных работников, специализирующихся в области физики твердо го тела. Может служить учебным пособием для аспирантов и студентов стар ших курсов соответствующих специальностей.
1704060000 - 019
Б |
--------------------------- 64—86, ч. 1 |
ББК 22.37 |
|
041 (01)-86 |
|
Редакция литературы по физике и астрономии
© Akademie-Verlag Berlin 1982
© перевод на русский язык, ’’Мир”, 1986
Предисловие редактора перевода
Монография известного физика из ГДР профессора Харальда Бёггера ознакомит читателя с актуальными проблемами физики твердого тела. Теорию динамики решетки упорядоченных и неупорядоченных крис таллов и кристаллов с сильным энгармонизмом автор излагает лако нично, широко используя теорию групп. Нет сомнений, что особый интерес у научных работников вызовут рассмотренные в книге сов ременные методы расчета колебаний неупорядоченных систем, крис таллов с сильным энгармонизмом и систем с несоизмеримыми сверх структурами.
Колебаниям неупорядоченных кристаллов посвящена значитель ная часть книги - гл. 2 и 3. В этой области физики твердого тела успешно работает сам X. Бётгер, к ней же направлен общий интерес современной физики. Изучение систем с беспорядком, и в первую очередь спиновых стекол, привело к появлению новых концепций физики - к расширению понятия параметра порядка и пониманию причин в различии поведения эргодических и неэргодических систем. Эти же концепции применимы к аморфным твердым телам и к дру гим системам с различного рода сильным беспорядком; для их названия сейчас широко употребляется термин “стекло". В книге
X. Бётгера читатель найдет классические методы исследования ко лебаний в системах с беспорядком - приближения кластерное, эф фективной среды, когерентного потенциала.
Нелинейной динамике посвящена гл. 4. Здесь рассмотрены сис темы с сильным ангармонизмом и соответственно концепция солитонов, а также системы со сверхструктурами и волны зарядовой плотности. Кристаллы с волнами зарядовой плотности появились около 10 лет назад; сейчас это одна из горячих точек физики твер дого тела. Новые идеи и экспериментальные результаты в этой облао
6 Предисловие редактора перевода
ти изложены в основном в статьях и обзорах. В книге X. Бетгера рассмотрение несоизмеримых структур проведено наряду с изложе нием теории традиционных периодических кристаллов.
Все сказанное выше позволяет надеяться, что книга будет ин тересна всем, кто хочет быстрее войти в курс современной физики твердого тела и ознакомиться с ее идеями и методами.
Перевод выполнили кандидаты физ.-мат. наук А.И. Буздин (пре дисловие, гл. 3, 4,приложение 3) и О.В. Долгов (гл. 1, 2, приложе ния 1, 2).
ЛМ. Булаевскип
Посвящается профессору О. Стаейву
Предисловие
За последние два десятилетия в понимании динамических свойств твердых тел, особенно кристаллов с беспорядком и энгармонизмом, достигнуты большие успехи. Это продвижение произошло благодаря применению новых эффективных аналитических и численных мето дов, таких, как метод функций Грина и метод молекулярной динами ки. Метод функций Грина, например, дает возможность исследовать твердые тела с произвольной концентрацией дефектов, а также луч ше понять поведение твердых тел с беспорядком типа стекла. Этот метод можно успешно применять и при исследовании "ангармоничес ких" твердых тел, включая сильноангармонические, которые нельзя описать в рамках обычной теории возмущений.
Особый интерес за последние годы вызвали следующие пробле мы: динамические свойства твердых тел, как неупорядоченных (ло кализация колебательных состояний, нарушение закона сохранения квазиимпульса, роль ближнего порядка), так и ангармонических (сильный энгармонизм, фононная гидродинамика), динамические ас пекты ангармоничности и фазовых переходов, обусловленных элект- рон-фононным взаимодействием (мягкие моды, решеточные солитоны), и развитие микроскопической теории динамики решетки.
Вэтом кратком курсе я рассмотрел те основные идеи и теоре тические методы, которые были развиты в последние годы для опи сания динамических свойств твердых тел. И я думаю, что настоящая книга могла бы служить учебником по основам теории колебаний ре шетки. В ее основе — лекции, которые я читал аспирантам Берлин ского университета им. Гумбольдта в 1972 - 1979 гг.
Вгл. 1 кратко изложены основы теории динамики решетки, зна
ние которых необходимо для понимания последующих глав. В этой главе рассмотрен также микроскопический подход к динамике решет ки, основанный на исследовании отклика электронов на поле, вызван ное колебанием ионов (метод диэлектрической функции).
Гл. 2 посвящена системам с беспорядком замещения, включая изолированные дефекты. Основное внимание здесь уделяется изло жению метода функций Грина и использованию его для расчета кон фигурационно-усредненных величин.
8 Предисловие
Г л. 3 посвящена системам со структурным беспорядком. В этой главе метод функций Грина применяется к проблеме локализованных состояний и состояний типа плоской волны.Исследование твердых тел со структурным беспорядком оказывается, вообще говоря, существен но более сложным делом, чем в случае беспорядка замещения, из-за того, что у них нет исходной периодической решетки.
Гл. 4 посвящена ангармоническим системам, а также системам, испытывающим структурный фазовый переход. Здесь развиваются теория возмущений для слабоангармонических систем и самосогла сованное гармоническое приближение для сильноангармонических твердых тел. В этой главе рассмотрены также решеточные солитоны, пайерлсовские переходы и несоизмеримые структуры.
В приложения вынесены некоторые вопросы более формального характера (применение теории групп к динамике решетки, отклик электронов кристалла на электромагнитное поле, расчет эксперимен тальных величин).
Чтобы книга отвечала современному состоянию проблемы, я включил в нее ряд вопросов (например, возбуждения фононного типа в твердых телах со структурным беспорядком, некоторые проблемы физики несоизмеримых систем и т.д.), точка зрения на которые пока еще не вполне определилась. Конечно, отбор материала, представлен ного в книге, в некоторой степени произволен. Так, отдельные воп росы (такие, как колебательные свойства поверхностей, взаимодей ствия фононов с другими элементарными возбуждениями и т.д.) пол ностью опущены.
Я не ставил перед собой задачи сделать список цитируемой ли тературы исчерпывающим: он содержит прежде всего обзорные статьи и последние оригинальные работы.
Эта книга была написана во время моего пребывания в Централь ном институте электроники Академии наук ГДР в Берлине. Мне бы хотелось поблагодарить моих институтских коллег д-ра Гилера, д-ра Йане, д-ра Клейнерта, Лейкауфа, д-ра Ульричи и д-ра Брука
за полезные обсуждения. Я также благодарен проф. Куну за ценные советы, д-ру Наттерману за критические замечания, касающиеся разд. 4.4, Гертнеру за чтение рукописи, Траутман из издательства "Академия" за плодотворное сотрудничество. И наконец, я хочу по благодарить свою жену, оказавшую мне неоценимую помощь при под готовке рукописи к печати.
X. Ветер
1
Основные элементы теории динамини решетки
Эта глава - вводная. В ней мы рассматриваем некоторые воп росы теории динамики решетки, которые понадобятся нам в следую щих главах. Будет изложен феноменологический подход к динамике решетки1) . Он основывается на предположении о том, что движение атомов в твердом теле определяется набором силовых постоянных, которые можно получить из эксперимента. Кроме того, мы остано вимся на микроскопическом подходе к динамике решетки. Этот под ход основывается на микроскопическом изучении сил, действующих между ионами, и дает нам удобный способ для сравнения различных моделей силовых постоянных, используемых в феноменологических теориях динамики решетки.
1.1. Адиабатическое приближение
Согласно Борну и Оппенгеймеру [ 55] (см. также [ 54]), движение ядер и движение электронов в твердых телах можно отделить друг от дру га. Это разделение эквивалентно предположению о том, что для элек тронов в каждый момент времени ядра неподвижны, поскольку из-за своей малой массы электроны движутся существенно быстрее ядер.
Легко показать, что распределенный электронный заряд ионно го кора жестко связан с ядром во время его колебания. Однако для валентных электронов такое поведение не столь очевидно. Оказыва ется, однако, что и для валентных электронов ситуация аналогична.
В твердых телах, согласно Борну и Оппенгеймеру (т.е. в адиабати ческом приближении), существует многочастичный потенциал Ф,
Здесь мы близко следуем стандартным курсам динамики ре
шетки [ 54, 257] (см. также [ 8б]).
10 |
Глава 1 |
определяющий движение атомов. Для вычисления Ф требуется замо розить ионы в каждом мгновенном положении и вычислить энергию электронов. Потенциал Ф тогда, в сущности, есть эта энергия плюс электростатическая энергия ион-ионного взаимодействия. Феномено логическая теория динамики решетки основывается именно на суще ствовании потенциала Ф. В микроскопической теории также часто ис пользуется адиабатическое приближение. Более того, адиабатическое приближение - важный способ описания динамического отклика ре шетки на внешнее излучение (см. приложение 3). На этом приближении мы остановимся подробнее.
Начнем со следующего гамильтониана кристалла, содержащего ионы и (валентные) электроны:
Ж— Тг1+ |
V 4- Tion 4- Vion 4- Н\пХ. |
(l'1'J) |
Здесь Td - кинетическая энергия электронов, VeX - |
их кулоновская |
|
энергия, Т.оп - |
кинетическая энергия ионов, Fion - |
энергия взаимо |
действия между ионами, a Hint - описывает взаимодействие между ионами и электронами.
Из гамильтониана (1.1.1) выделим электронную часть |
|
Я е, = ТьХ4- Fcl + Flon + Я 1п1, |
(1.1.2) |
параметрически зависящую от координат ионов Я через Fion и f/int. Разложим решение ф уравнения Шредингера
= |
(1.1.3) |
по решениям ф:
Яе1у>я = Епу)п. |
(1.1.4) |
т. е. выберем решение (1.1.3) в виде
n r, R) = Е Xn{R) y>n(r, R), |
(1.1.5) |
п
где г обозначает электронные координаты. Функция х„(Я) зависит лишь от Яр, и ее-то и надо определить.
Подставляя (1.1.5) в (1.1.3) и используя (1.1.4), а также свойст во ортонормированности решений ф9 получаем
(^ion 4- Еп) %п4" @nmXm— ^Хп* |
(1.1.6) |
Основные элементы теории динамики решетки |
11 |
где
|
(1.1.7) |
И |
|
А п т |
|
В'пт, |
( 1. 1.8) |
— |
|
(здесь |
и Ri означают соответственно массу и координаты I-го |
иона). |
|
В отсутствие магнитного поля функции ф могут быть выбраны |
действительными, т.е. Апп * о, так как функции фп{г, R) полагаются нормированными на единицу для всех ft.
Если пренебречь недиагональными элементами А и В (т.е. Апт
и Впт для п£т), колебательные волновые функции определяются только свойствами n-го электронного состояния, и электронные пе реходы, связанные с движением иона, отсутствуют. В этом случае (1.1.6) имеет вид
(-Z Ion + 4 " O rt) % nv --- & n v % n v y (1.1.9)
где Сп - с пп ~ впплВ этом уравнении v можно рассматривать как колебательное квантовое число. Волновая функция системы электро
нов и ионов с энергией fbnv имеет вид |
|
'Fnv{r> Я) = Xnv(R) уп{;г> Щ • |
( 1.1.10) |
Первый сомножитель волновой функции (1.1.10) описывает движение ионов, второй соответствует предположению о том, что электроны движутся так, как если бы ионы были заморожены в своих мгновен ных положениях. Говорят, что электроны адиабатически следуют за движением ионов. Приближение (1.1.10) для полной волновой функции называется адиабатическим приближением.
Чтобы понять, что означает адиабатическое приближение, мы в
дальнейшем воспользуемся разложением Борна - |
Оппенгеймера. Для |
начала запишем |
|
R t = Д|0 -f Kulf |
(1.1.11) |
где ft® обозначает состояние равновесия I-го иона, щ - смещение
/-го |
иона, к — параметр разложения. В предельном |
случае М -* «* |
(М - |
характерная масса иона) мы должны иметь х |
0. Поскольку |