книги / Теория и расчет электронных пучков
..pdfдентричными цилиндрами, пересекаются через каждые'
127° (180°/j/2) (рис. 4.9). Эта фокусирующая система ши роко известна и была уже использована. Обычно, однако,
отклоняющие |
поля |
используются |
в первую |
очередь для |
||||
отклонения, |
как, |
например, в электроннолучевых трубках, |
||||||
и в этом случае |
фокусировка, сопровождающая отклоне |
|||||||
ние, представляет |
собой серьезный дефект. |
Мы |
видим, |
|||||
|
|
|
|
что фокусирующее дей |
||||
|
|
|
|
ствие |
растет |
пропор |
||
|
|
|
|
ционально |
квадрату |
|||
|
|
|
|
углового |
отклонения, |
|||
|
|
|
|
так |
что электрическое |
|||
|
|
|
|
отклонение |
становится |
|||
|
|
|
|
все более нежелатель |
||||
|
|
|
|
ным, например |
в элек |
|||
|
|
|
|
троннолучевой |
трубке, |
|||
|
|
|
|
по мере увеличения от |
||||
|
|
|
|
ношения диаметра |
эк |
|||
|
|
|
|
рана |
к длине. |
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, |
что |
на |
||
|
|
|
|
некотором |
расстоянии |
|||
Рис. 4.9. Траектории |
электронов в на |
L должно |
получаться |
|||||
правленном наружу |
радиальном элект |
полное отклонение, рав |
||||||
рическом поле фокусируются при |
ное 0. Какова |
должна |
||||||
угле в |
127°. |
быть форма отклоняю |
щего поля, которая дает наименьшее фокусирующее дей ствие?
Мы должны, конечно, сделать cos <р= 1, т. е. электри ческое поле сделать нормальным к электронным траекто риям. Обычно именно так, по существу, и бывает. Кроме того, отклонение получается интегрированием dbjds по s, в то время как ошибка отклонения S0 получается интег рированием (dbjds)2 по 5. Для данного среднего значения величины квадрат этого значения будет наименьшим, если величина постоянна. Следовательно, наименьшая ошибка отклонения будет получаться с однородным полем, нор мальным к направлению движения и действующим на рас
стоянии L та^, что ddjds = |
QjL. |
Выражая |
ошибку откло |
|
нения через фокальную длину f, |
получим |
из (4.47) |
||
|
J _ __262_ |
|
(4.48) |
|
|
f |
L ' |
|
|
|
|
|
||
Расфокусирование |
при |
больших угловых откло |
||
нениях для магнитного |
отклонения обычно значительно |
52
меньше, чем для электрического отклонения. Однако когда перекрываются магнитные отклоняющие и фоку сирующие поля, то могут иметь место значительные и сложные аберрации.
Кроме расфокусирования пучка из-за отклонения, суще ствует другой отклоняющий дефект, который может быть очень неприятным; это — нелинейное отношение между отклоняющим напряжением или током и линейным или угловым отклонением пучка. Когда напряжение изме няется только на одной из двух симметричных отклоня ющих электрических пластин, то пучок ускоряется, когда пластина будет положительной, и замедляется, когда пла стина будет отрицательной. Таким образом, при положи тельных напряжениях отклонение будет меньшим, чем при отрицательных. Этот недостаток в симметрии не имеет места, конечно, при двухтактном электрическом отклонении или в случае магнитного отклонения.
4.6. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ В ЧИСТО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Вообразим, что электрон проходит из области с по тенциалом U] относительно катода через плоскую гра ницу в область с потенциалом U2 относительно катода
А-----А--------------- |
_ д. Кулонов |
|
метр2 |
||
|
||
V - V ' h h |
| V '= o / f |
|
+*+ + +•+ + + + + + + + + + + + + +
Кумир!
м ет р2
Рис. 4.11. Двойной заряженный слой создает неоднородность по тенциала и, следовательно, изме няет показатель преломления.
(рис. 4.10). Физически та кую границу можно создать двойным заряженным слоем, как показано на рис. 4.11.
На этой плоской границе изменяется нормальная к ней компонента скорости электрона, но параллельная к пло скости компонента остается неизменной. Выражая элек тронные скорости через напряжения U, запишем послед
53
нее условие (непрерывность параллельных компонент) в виде
|
у |
2Y)£7J sin |
= v 2 r {U2sin 02, |
(4.49) |
|
|
|
sin 0^__уЛ/2 |
|
|
|
|
|
sin 02 |
V V X |
|
|
Здесь |
и 02 являются углами между траекториями |
элек |
|||
тронов |
в областях 1 и 2 и нормалью к поверхности |
раз |
|||
дела. Мы узнаём |
в (4.49) |
закон Снеллиуса |
и видим, что |
в электронной оптике квадратный корень из напряжения относительно катода можно трактовать как показатель преломления. Все правила, касающиеся коэффициента преломления в оптических системах, могут прилагаться
также и к электроннооптическим |
системам, |
за и с к л ю |
ч е ние м того, что в среде |
с большим |
показателем |
преломления электроны движутся быстрее, а световые волны — медленнее. Это ведет к такому важному разли чию, что все световые лучи проходят расстояние от одного фокуса к другому за одно и то же время, а элек троны проходят то же расстояние за разные отрезки вре мени.
4.7. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
Теорема Лиувилля является важной теоремой статисти ческой механики; в этой книге она используется только в гл. 8. (Вывод этой теоремы включен для тех, кто сом невается в ее правильности).
Допустим, что поток электронов двигается через элек трические и магнитные поля. Теорема Лиувилля гласит, что если мы следуем за электроном при его движении, то
число других |
электронов в окружающем |
этот |
электрон |
||||
элементе объема dx dy dz, |
скорости |
которых |
заключены |
||||
в интервале dx dy dz около |
мгновенной |
скорости элек |
|||||
трона |
х, у , -г, |
постоянно (предполагается |
при |
этом, что |
|||
произведение |
dx dy dz dx dy dz постоянно). Координаты |
||||||
x , у , |
JC, у, |
z , |
являются |
координатами |
шестимерного |
||
пространства, |
|
называемого |
ф а з о в ы м |
п р о с т р а н |
|||
ст вом. Величина dx dy dz dx dy dz |
является |
элементар |
|||||
ным о б ъ е м о м |
в фазовом |
пространстве. |
Если мы обо |
||||
значим |
число |
электронов в единичном объеме |
фазового |
пространства через т, то тогда число электронов dN, на
ходящихся в области пространства и скорости |
dx dy dz |
dx dy dz, равно |
(4.50) |
dN = tdx dy dz dx dy dz. |
54
Теорема Лиувилля гласит, |
что т |
остается постоянным в |
|
окрестности любого электрона при его движении |
вдоль |
||
электронного потока. |
|
|
|
Рассмотрим электронный пучок, проходящий через ма |
|||
ленький куб dx dy dz. Мы |
будем |
рассматривать |
только |
те электроны, скорости которых |
лежат в узком |
интер |
вале dx dy dz около скорости х, у, z и для которых мы можем считать, что все они имеют одинаковые компо
ненты скорости, х, у , z. Темп (rate), каким электроны влетают в куб через площадку dy dz при х, дается вы ражением скорости в направлении х, умноженной на плот ность и на элемент поверхности dy dz
(эг) |
= |
^ г)\х |
dz. |
(4.51) |
Изменение N |
со временем t |
представлено |
в виде ча- |
|
стнои произзоднои по времени щ-, ибо |
оно |
относится к |
электронам с определенной скоростью, пересекающим
фиксированную |
поверхность (т. |
е. х, у, |
г, х, у, 2 посто |
||
янны, a t меняется). |
Темп, |
каким |
электроны по |
||
кидают сторону куба при x-\-dx, равен |
|
|
|||
(дт) |
= [х (х dx dy dz)]x^ dx dy dz. |
(4.52) |
|||
Теперь X T может |
меняться с x, |
но dx dy dz есть |
лишь |
произвольная постоянная области, элементарной скорости.
Таким |
образом, |
разница между (4.51) и (4.52) и составляет |
|
темп, |
каким электроны накапливаются в объеме dx dy dz |
||
б л а г о д а р я |
д в и ж е н и ю |
в н а п р а в л е н и и х. |
В дифференциальной форме этот темп накопления прини
мает |
вид |
|
|
— дх ( хт) dx dy dz dx dy dz. |
(4.53) |
Подобным же образом темпы накопления, |
обусловлен |
|
ные |
движением в направлениях у и г , равны соответ |
|
ственно |
|
|
|
— оу (У*) dx dy dz dx dy dz, |
|
|
— ~ (2 x)dx dy dz dx dy dz. |
(4.54) |
53
Наконец, мы интересуемся накоплением электронов не только в области dx dy dz, а в единице фазового про
странства dx dy dz dx dy dz. По аналогии с (4.52) и (4.53) имеем для других темпов накопления
|
|
|
—Y |
(xx)dx dy dz dx dy dz и т. |
д. |
|
(4.55) |
|||||
Здесь |
х — темп |
изменения |
скорости |
со |
временем |
так |
||||||
же, как |
в |
(4.53) х является |
скоростью |
изменения |
рас |
|||||||
стояния |
со |
временем. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Суммируя все темпы увеличения числа электронов в эле |
||||||||||||
ментарном объеме |
фазового пространства, получаем |
|
||||||||||
|
Г |
= |
“ [ й |
|
|
+ й |
Й |
+ |
dix |
(**) + |
|
|
|
|
-(--г |
{yt) |
f- -Д: |
(гг) 1 |
dx dy dz dx dy dz. |
(4.56) |
|||||
|
|
|
dy |
|
dz |
J |
|
|
|
|
|
|
Если |
мы разделим dNjdt |
на dx dy dz |
dx |
dy dz, то полу» |
||||||||
чим |
просто |
dzjdt, т. |
e. темп |
изменения |
во времени |
плотности электронов в точке. Проведем, далее, операции, указанные в правой части уравнения (4.56). Сделав это и перенеся некоторые члены в левую часть, получаем
dz I / • dx , • дт , |
• dx |
, •• |
dr |
, |
•• |
dr |
, |
•• dz \ |
|
|
d t + ( * т Л У т > + г ъ + * ^ + > ^ + г тг ) = |
|
|||||||||
d x |
d y |
+ |
d z |
+ |
d x |
+ |
dy |
|
dz |
(4.57) |
= - 4 - £ + |
d y |
dz |
- |
■^4- |
|
|||||
|
1 |
dx |
1 dy |
1 dz |
|
Левая часть представляет собой полную производную ве личины т по времени, т. е. темп изменения т в системе координат, двигающейся с электроном. Она состоит из чле на, выражающего изменение плотности в фиксированном по ложении, обусловленное изменением т о л ь к о времени,
dxjdt, из членов х-дт/дх и т. д., выражающих изменение плотности, происходящее благодаря изменению положе
ния во времени, и членов х dxjdx и т. д., выражающих из менение плотности, происходящее благодаря изменению скорости со временем. Правая часть равна нулю. Напри мер, если мы считаем, что все величины, кроме х, посто
янны (пусть, например, х, у, z, у и z будут постоянны
ми), и изменяем только х%то, по определению, х не дол жно меняться.
56
Следовательно, дх/дх так же, как ду/ду и dz/dz, равно
нулю. То, что дх/дх и т. д. равны нулю, не столь очевидно, но уравнения движения (2.8) — (2.10) показывают, что эти величины равны нулю, ибо мы видим, что в то время как
х зависит от х, у, 2 (так как Е и Н изменяются с изме
нением |
х, у и |
z), у |
и г, х |
не зависят от х. |
Следова |
тельно, |
дх/дх, |
ду/ду |
и dzjdz |
равны нулю. Итак, мы имеем |
|
|
|
|
Л = 0 . |
(4.58) |
Плотность электронов в фазовом пространстве в окрест ности данного электрона не меняется при движении элек трона вдоль потока.
Вывод, приведенный .выше, (применим для любых элек трических и магнитных полей, постоянных или флюктуирую щих, которые не зависят от положения электронов. Если учи тывать силы, действующие (между электронами, то -необхо димо использовать более многомерное фазовое (простран ство, в котором три пространственные и три скоростные координаты к а ж д о г о э л е к т р о н а играют роль частных измерений.
В этом фазовом пространстве положения и скорости всех электронов определяются одной точкой. Таким образом, дан ная система начальных условий определяется одной данной точкой, и история этой системы, начиная с этих начальных условий, описывается движением этой одной точки через многомерное фазовое пространство. Вообразим большое чис ло идентичных систем, пускаемых одновременно * с различ ными начальными условиями, т. е. в различных точках фазо вого пространства!. Истории этих систем будут представлены движениями различных точек в фазовом пространстве. Тео рема Лиувилля говорит, что плотность этих точек вокруг любой -одной точки остается постоянной во времени.
ЗАДАЧИ
1. В «магнетроне староготипа рабочая частота находится около циклотронной частоты и рабочее напряжение близко к напряжению отсечки. Желательно построить магнетрон на частоту 9 000 Мгц (длина волны 3,3 см) . Каким должно
* Можно также представить, что одна и та же система стартует повторно -с различными граничными условиями и в каждом случае за время в фазовом пространстве принимается время, отсчитываемое после старта системы.
57
быть (магнитное поле? Если диаметр нити) равен 0,005 дюйма (0,508 мм), 1каким должен быть диаметр .анода для рабо чего напряжения, равного'1000 в?
2. Какова форма двухразмерной теоремы Буша (нет из менений поля в направлении г, симметрия относительно оси х) ?
3.Предположим, что пучок электроннолучевой трубки из вадачи 2, гл. 3 имеет у отклоняющих пластин ширину Vs дюйма (3,18 мм) и фокусируется на экран, когда не от клонен. Пусть экран будет плоским. Насколько расширится пятно на экране из-за расфокусировки, вызванной отклоне нием, при отклонении пятна к краю экрана?
4.Используя показанные на рис. 4.7 электроды вместо обычных параллельных пластин и сетки, можно получить высокую частоту колебании. Положительный электрод на) рис. 4.7 [уравнение (4.29)] должен иметь в центре отверстие 1/1о дюйма (2,54 мм). Отрицательные электроды должны быть разделены на расстояние 0,1414 дюйма (3,59 мм). Ка кое полное напряжение нужно приложить между положи тельным и отрицательным электродами/чтобы получить ча стоту 3 000 Мгц? Каким должно быть магнитное поле, чтобы ограничивать электроны?
5.Покажите, что пересечения близких к круговым тра
екторий на рис. 4.9 отстоит друг от друга на (180/У 2) гра дусов.
ГЛАВА ПЯТАЯ
НЕКОТОРЫЕ ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Хотя электронная оптика чаше имеет дело с аксиальносимметричными системами и электронными траекториями, близкими к оси, многие из практических систем не входят в этот класс. Так, целый ряд практических вопросов лучше решается особыми методами. Теперь, когда изложены не которые сведения, касающиеся движения электронов, можно рассмотреть ряд задач и познакомиться с методами их ре-
Ш0НИЯ.
5.1. РЕШ ЕНИЕ ПУТЕМ НАБЛЮ ДЕНИЯ
Интересный пример решения задачи электронной фоку сировки путем наблюдения дают два типа фотоэлектронного умножителя.
Трудность в построении многокаскадного умножителя за ключается в расположении серии вторично-эмиттирующих поверхностей с последовательно повышающимся напряже нием таким образом, чтобы электроны, вышедшие с одной
поверхности, попадали на |
следующую в о б л а с т и , г де |
г р а д и е н т н а п р а в л е н |
от п о в е р х н о с т и (чтобы |
полученные вторичные электроны могли покинуть поверх ность); эти вторичные электроны должны попасть в соот ветствующую область на следующей поверхности и т. д.
Удовлетворительное решение такой задачи дано Зворы киным в его умножителе с магнитной фокусировкой [1], по казанном на рис. 5.1.
Расположенные рядом эмиттеры имеют потенциалы О, (/, 2U, 3U и т. д. Ускоряющие пластины, расположенные напротив первых, создают градиент, направленный от каж дой эмиттирующей поверхности так, что любой вторичноэмиттированный электрон может покинуть пластину, с ко-
59
торой он эмиттирован. Чтобы направить электроны, вы шедшие из одной пластины, к следующей, используется магнитное поле, перпендикулярное к плоскости .рисунка, ко торое искривляет электронные траектории, как показано на рисунке. Движение электронов здесь подобно, но не пол ностью совпадает с циклоидальным движением электронов, рассмотренным в § 3.3. Из рассмотрения совершенно оче видно следует, что, несмотря на форму или расположение пластин, магнитное поле можно подобрать таким, что меж-
Падаю щ ий свет
Градиент
по т е н ц и а л у
т ж z p '
Электронные траектории
Рис. 5.1. В умножителе Зворыкина с магнитной фо кусировкой электронные траектории изгибаются магнитным полем так, что приближаются к элек тродам против силы электрического поля.
ду пластинами точно уложится длина одного прыжка. Так как каждый первичный электрон выбивает 3 или 4 вторич ных, то фокусировка будет ухудшаться, препятствуя работе магнитного умножителя Зворыкина.
Магнитный умножитель для удовлетворительной работы требует тщательного подбора поля и контроля напряжения. Желательно исключить магнитную фокусировку и приме нять чисто электрическую. При! этом существенная труд ность 'Состоит !в направлении электронов посредством элек трического поля к поверхности, у которой градиент направлен от нее. При магнитной фокусировке электронные траекто рии могут быть загнуты по направлению к такой поверхно сти, но в чисто электрическом поле траектории должны искривляться от эмиттирующей поверхности при приближе нии к ней.
Эта задача была решена * непосредственной проверкой, в частности построением нескольких маленьких коробочек, показанных на рис. 5.2. Каждая коробка имеет одну откры тую сторону, обращенную к коробке с более высоким потен циалом, другая сторона, затянутая сеткой, обращена к ко
* Снайдер, Патент США 2163966, Шокли, Патент США 2245614.
60
робке с более низким потенциалом. Сетка позволяет элек тронам пройти из коробки с низким потенциалом в коробку с высоким потенциалом, но препятствует созданию в короб ке с низким потенциалом задерживающего поля со стороны
Рис. 5.2. В этом умножителе с электрической фокусировкой применение сеток обеспечивает положительное направление градиента элект рического поля у эмиттирующих поверхностей.
коробки с большим потенциалом. Открытая сторона позво ляет электронам выйти из коробки и в следующей коробке с более высоким потенциалом создать ускоряющее поле у поверхности, обеспечивающее выход вторичных электро нов.
5.2. РЕЗИНОВАЯ М ОДЕЛЬ
Нужно обладать большой изобретательностью, чтобы ре шать задачи электронной фокусировки только наблюдением. В поисках электрической фокусировки в умножителях без сеток' понадобилось рассмотреть некоторые другие прибли жения. В двух примерах была применена резиновая модель.
Рассмотрим горизонтальную мембрану, равномерно на тянутую во всех направлениях. Если эту мембрану выгнуть в различных точках, но настолько, чтобы был мал наклон
61