книги / Неустойчивость горения
..pdfчто в подобных случаях область реализуемых частот лежит до первого антирезонанса (0<О о<я/2) и, следовательно, примыка ет к низкочастотным колебаниям. Колебания такого вида принято называть промежуточными, так как их частота выше частоты низкочастотных, но ниже частоты высокочастотных колебаний, которым будет посвящен следующий раздел.
Перейдем теперь к поперечным колебаниям (атп=И=0). Подста вив значение pmn> определяемое формулой (3.1.21), в выражение
(3.1.24), получим |
|
|
kтпо |
-1 + у \ - (1 - М2) (ашяс/ог0)2 |
(3.2.26) |
|
1 —М2 |
|
Выражение, стоящее под корнем, при малых значениях со ста новится меньше нуля, a k+mn и krmn будут комплексными числа ми. После подстановки k+mn и krmn в формулы (3.2.13), опреде ляющие значения 8йтп и Ьртп, эти формулы приводятся к виду, содержащему множитель ехр (— |Jmt&mnX| ). Это указывает на то, что акустические волны в процессе распространения вдоль оси х затухают. Поскольку затухание экспоненциально зависит от х, с практической точки зрения можно считать, что возмущения не распространяются, локализуясь в узкой области, примыкающей к сечению х = 0 . Подобное положение имеет место для всех зна чений ©<(Окр, где свкр — критическая частота колебаний, опреде ляемая из условия обращения в ноль подкоренного выражения в формуле (3.2.26):
o)KD= / 1 - М2 Г0 . |
(3.2.27) |
При М = 0 критическая частота, как это следует из сопоставле ния с формулой (3.2.6), совпадает с собственной частотой соот ветствующей моды поперечных колебаний.
Если о)>соКр, то k+mn и k~mn действительные числа, и, следо вательно, поперечные колебания распространяются вдоль оси х.
Следует, |
однако, отметить, что |
"л |
||
фазовая |
скорость |
поперечных |
||
и продольных колебаний раз |
|
|||
лична. Для поперечных коле |
L |
|||
баний она имеет более высокие |
||||
|
||||
значения. Особенно велико это |
|
|||
различие |
вблизи |
критической |
|
частоты колебаний. |
|
|
/ i |
\ |
|
|
|
||
При со-^оо значения k°mn-+- |
|
у |
1 V. |
У |
' |
||||
->0. |
Соотношения (3.1.23) |
по |
|
ш«р| |
\ |
||||
казывают, что волновые векто |
|
|
|
|
|||||
О |
2,0 |
|
4,0 |
U)r0jc |
|
||||
ры |
k+mn и k~mn стремятся |
в |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
этом случае к тем значениям, |
Рис. 3.4. АЧХ акустического звена |
||||||||
которые |
они имеют при про |
для первой тангенциальной моды ко |
|||||||
дольных |
колебаниях. Таким |
лебаний |
(т = 1, /1= |
0) |
|
|
|
81
образом, в области достаточно высоких частот поперечные коле
бания вырождаются в продольные. |
для первой тангенциальной |
На рис. 3.4. представлена АЧХ |
|
моды колебаний (т = 1, в = 0 ). В |
представленном диапазоне |
частот АЧХ содержит два резонансных максимума. Частота пер вого резонансного максимума близка к собственной частоте пер вой тангенциальной моды колебаний ююо, второго — к собствен ной частоте комбинированных продольно-поперечных колебаний о)юь соответствующих комбинации первой тангенциальной и пер вой продольной мод. Ддоль^лцры камеры сгорания,в эт<?м сдучз§ укладывается половина волны продольных колебаний. (■ г . '
В общем случае при умеренных значениях чисел М (М2<С1) частота первого резонансного максимума всегда лежит вблизи собственной частоты owo, несколько превышающей <окр, частота второго резонансного максимума близка к собственной частоте <Omni и т. д. Таким образом, при фиксированной моде поперечных колебаний АЧХ имеет бесконечно большое число резонансных максимумов на частотах, соответствующих собственным часто там продольно-поперечных колебаний.
По мере возрастания частоты (переход к более высоким I при фиксированных тп) резонансные максимумы уменьшаются и стремятся^к значению, соответствующему продольным колебани ям. Наибольшую величину имеет первый резонансный максимум. Он значительно превосходит резонансный максимум продольных колебаний.
(Это связано со следующим. В принятой постановке задачи рассеивание энергии реализуется на границах газового объема и равно работе, совершаемой силами давления на перемещениях, обусловленных колебаниями скорости, см. формулу (1.2.17). Ес ли бы колебания газа происходили только в поперечном направ лении, то амплитуды колебаний скорости газа на всей границе объема равнялись бы нулю (радиальных перемещений газа на боковой поверхности не было бы). Рассеивание энергии в этом случае отсутствовало бы, а высота резонансного максимума рав^ нялась бесконечности.
Из-за граничного условия (3.2.9) колебания давления при x — L сопровождаются колебаниями скорости, что приводит к рас сеиванию энергии и стабилизирует высоту резонансного макси мума на некотором конечном значении. Очевидно, что чем мень ше амплитуда колебаний продольной скорости при x — L, тем меньше рассеивание энергии и тем больше высота резонансного максимума. Наименьшую амплитуду продольных колебаний име ют чисто поперечные колебания (тпО), при которых газ колеб лется в основном в поперечном направлении. По мере возраста ния номера продольной гармоники (при фиксированном тп) ам плитуды продольных колебаний газа растут, что приводит к воз растанию рассеивания энергии и, как следствие, к снижению ре зонансных максимумов.
82
Поскольку при одном и |
т |
max |
|
|
|
||||||||
том же подводе энергии уро |
|
|
|
||||||||||
вень |
амплитуд, |
устанавли |
|
|
7 |
|
|
||||||
вающихся в системе, |
после |
|
|
|
|
||||||||
того как она потеряет устой |
|
|
/ |
/ |
|
||||||||
чивость, |
тем |
|
больше, |
чем |
|
|
|
||||||
меньше |
рассеивание |
энер |
|
|
/ |
г |
|
||||||
гии, |
сопоставление |
АФЧХ |
|
|
|
||||||||
продольных |
и |
поперечных |
|
|
L/U=2J I |
j |
|
||||||
колебаний позволяет |
пред |
|
|
|
|
|
|||||||
полагать, |
что |
при |
|
равных |
|
|
|
|
|
||||
условиях |
первые |
должны |
|
|
/ и |
|
|
||||||
иметь |
меньшие |
амплитуды |
|
|
7 |
|
|||||||
колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|||
Ширина |
|
|
резонансных |
|
|
|
|
Я,5У |
|||||
максимумов для поперечных |
|
|
|
|
|
||||||||
колебаний |
|
|
существенно |
|
|
|
|
|
|||||
меньше, |
чем |
для |
продоль |
|
|
|
|
|
|||||
ных. Из |
этого |
|
следует, |
что |
|
|
|
|
|
||||
поперечные |
колебания |
до |
|
|
|
|
|
||||||
пускают |
меньшее рассогла |
О |
0,1 |
___ 1 |
0,5 |
0,6 М |
|||||||
сование |
между значениями |
0,1 0,3 0,4 |
|||||||||||
собственной частоты колеба |
Рис. 3.5. Зависимость первого ре |
||||||||||||
ний и частоты |
|
на |
границе |
||||||||||
устойчивости, |
|
чем |
продоль |
зонансного |
максимума первой |
моды |
|||||||
|
поперечных колебаний от числа М и |
||||||||||||
ные. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
UD |
|
|
|
|
На |
рис. 3.5 представлена |
|
|
|
|
|
зависимость первого резонансного максимума |^л|тах для первой моды тангенциальных поперечных колебаний (т = 1 , п = 0) от чи
сла М и отношение длины камеры сгорания L |
к ее |
диамет |
ру D = r0. Из рисунка следует, что по мере увеличения |
длины |
|
камеры сгорания высота резонансных максимумов |
для |
камер |
сгорания с квазистационарным (весьма коротким) соплом рас тет. К тому же приводит увеличение числа М. Увеличение значе
ния | &а |шах при возрастании L указывает на то, что |
при увели |
чении расстояния от начала камеры сгорания, где |
расположен |
источник колебаний, до сопла, в котором энергия рассеивается, диссипация энергии в системе уменьшается. В задачах акустики, как уже отмечалось, определяющую роль играет не длина сама noj^eiie* а то время, которое требуется волне, для того чтобы пройти эту длину. В связи с этим для продольных колебаний оказалось удобным ввести акустическую длину L^ (см. ранее), которая увеличивается с ростом числа М. Аналогичное положе ние имеет место и для поперечных колебаний *. Таким образом,
* Напомним, что скорости распространения волн вдоль оси для продоль ных и поперечных колебаний имеют различное значение. Помимо этого суще ствуют и другие особенности поперечных колебаний, затрудняющие введение акустических длин.
83
увеличение числа М в указанном смысле эквивалентно увеличе нию L и, следовательно, физическая природа влияния обоих фак торов аналогична. 'Уго^гм~ not\e; Увеличение числа М в цилиндрической части камеры сгорания
с весьма коротким соплом приводит к росту |kA\max. В более ти пичном случае длина дозвуковой части сопла составляет замет ную долю общей длины камеры сгорания и, следовательно, ста новится существенным то, что к цилиндрической части камеры сгорания подключен участок с более высокими значениями чис ла М. Указанное обстоятельство позволяет высказать предполо жение, которое будет подтверждено в следующем разделе, что. учёт конечной длины дозвуковой части сопла должен приводить к увеличению |йл|тах. Указанный эффект тем больше, чем боль шую долю от общей длины камеры сгорания занимает сопло. Уко рочение камеры сгорания при неизменной длине дозвуковой час ти сопла увеличивает долю приходящейся на нее общей длины и, следовательно, роль фактора, приводящего к возрастанию I kx |maxПоскольку в расчётных соотношениях, полученных для камеры сгорания с квазистационарным соплом, это обстоятель ство не учитывается, то следующий из рис. 3.5 однозначный вы вод о том, что укорочение камеры сгорания приводит к уменьше нию |^а|max, можно использовать только при весьма короткой дозвуковой части сопла.
В заключение отметим одно общее для продольных и попе речных колебаний свойство АФЧХ: фазовый сдвиг, между коле баниями расхода и давления в районе резонанса проходит через ноль. Эта особенность характерна практически для всех резо нансных звеньев.
3.3. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНОЙ д л и н ы с о п л а НА АФЧХ АКУСТИЧЕСКОГО ЗВЕНА
Результаты исследований колебаний газа в реальных соплах позволяют объяснить некоторые особенности явлений, описание которых при использовании модели камеры сгорания с коротким (квазистационарным) соплом не представляется возможным. Помимо этого исследования колебаний в реальных соплах пред ставляют интерес и по другой причине. Окончательный вывод об устойчивости замкнутого контура можно получить в результате совместного рассмотрения АФЧХ всей совокупности отдельных звеньев. Тем не менее индивидуальное рассмотрение АФЧХ аку стического звена позволяет получить весьма важную информа цию о том, в каком направлении влияют те или иные конструк тивные изменения на устойчивость систем в целом. Так, следует ожидать, что снижение высоты резонансного максимума АЧХ при прочих равных условиях повышает устойчивость системы.
Теоретическим исследованиям колебаний газа в соплах по священы работы [30, 38, 47, 49, 50, 59, 72]. В основу этого разде ла положена работа [38].
Рассмотрим адиабатическое безвихревое движение идеаль ного газа в цилиндрическом сопле*. Уравнения (3.1.1) запишем в виде
f j r o t u x u | + и ^ ё гааи2= —^ ^ ; ^ + div(pK)=0. (3.3.1)
Поскольку по условию движение газа безвихревое, то член, со держащий rot и в уравнении движения, равен нулю. Представим независимые переменные, входящие в уравнения (3.3.1), в виде сумм стационарных значений и малых возмущений, после чего осуществим линеаризацию системы уравнений (3.3.1), (3.1.3). В результате получим
|
|
dt! 1 + 7 ( й « ' + ^ ) - 0; |
|
д_ |
+ й |
+ div 8и' + 8и' |
(3.3.2) |
di |
= 0; Ьр'=сЪр\ |
||
|
|
|
В этих уравнениях стационарные значения величин зависят от пространственных координат. Определение стационарных зна
чений р и д представляет собой достаточно сложную задачу. Стационарные решения, однако, обладают некоторыми легко устанавливаемыми свойствами, позволяющими несколько упро стить постановку задачи без использования конкретного вида
функций р (х, у, г) и и (х, у, г ) . Введем цилиндрическую систему координат. При стационарном безвихревом течении газ движет ся только в двух направлениях: осевом и радиальном. Из усло
вия потенциальности стационарного течения frotuXuJ=0) и за кона сохранения массы вещества (divpu=0) следует
ди |
диг |
Q. |
дЩ |
I д (грцг) |
(3.3.3) |
|
дг |
дх |
’ |
дх |
дг |
||
|
где й и «г— стационарные значения осевой и радиальной ско рости.
Первое из этих уравнений позволяет ввести потенциал тече ния |, а второе — функцию тока tj, определяемые соотношениями
и — д\!дх; иг= дЦ дг;
(3.3.4)
rpUf— dri/dr; rpur= — di]/dx.
Исключая из соотношений (3.3.4) и и иг, получим
dj |
I |
д£ _ |
д-ц I |
дц |
(3.3.5) |
|
дх |
I |
дг |
дг I |
дх |
||
|
* В работе [38] рассмотрен более общий случай, когда на входе в сопло заданы колебания энтропии и вйхря.
85
Нетрудно показать, что соотношение (3.3.5) эквива лентно условию ортогональ ности кривых, задаваемых в неявной форме соотношени
ями l( x , г) = const |
и ц(ху |
|
r)=const. Кривые, |
задавае- |
|
вые первым |
соотношением, |
|
называются |
эквипотенци |
|
альными, а |
вторым — лйни- |
ями тока. Поскольку и, по
Рис. 3.6. Система |
координат |
|
для |
рас- |
определению, направлено по |
|
|||||||||
4ета нестационарного движения газа в |
г |
|
|
v |
|
j |
|
||||||||
„опле. |
г |
|
|
|
|
|
|
|
нормали к |
эквипотенциалъ- |
|
||||
:опле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ным линиям, а линии тока к |
|
|||||
1 — стенка сопла; 2 — вход в сопло |
|
|
|
||||||||||||
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
ним |
перпендикулярны, |
то |
|
|||
проекция скорости и на нормаль к л и н и и |
тока равна нулю. Ины |
|
|||||||||||||
ми словами, жидкость движется вдоль линий тока, чем и опре |
|
||||||||||||||
деляется их название. Так как скорость жидкости по нормали к |
|
||||||||||||||
стенке сопла равна нулю, то наиболее удалённые от оси сопла |
|
||||||||||||||
линии тока лежат на поверхности сопла. |
системы координат (х, |
|
|||||||||||||
Перейдем |
теперь от цилиндрической |
|
|||||||||||||
г, 0) к новой криволинёйной системе координат (%, т), 0). Связь |
|
||||||||||||||
между старыми и новыми координатами задаётся соотношения |
|
||||||||||||||
ми (3.3.4). Координата | отсчитывается вдоль линии тока, коор |
|
||||||||||||||
динаты г| — вдоль эквипотенциальных |
линий. |
Система |
коорди |
|
|||||||||||
нат, как уже |
отмечалось, |
|
ортогональна |
(рис. 3.6). В новой си |
|
||||||||||
стеме координат уравнения (3.3.2) |
имеют вид |
|
|
|
|
||||||||||
д_ j ЬР' |
) + |
“ г ¥ |
2 ( |
т |
1 ) |
-+ к |
“( г! Щ^ и ' Г) + |
+ |
“ |
||||||
dt ( ■ |
т |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ц |
W o - |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Г2 |
W |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
дЬис |
, |
|
/— ~ |
|
I |
Ьр' |
\ |
|
|
|
|
|
||
|
-----*-+ — |
\ |
112Щ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dt |
т |
|
|
6 |
1 |
? |
j |
|
|
|
|
|
|
|
дЪи„ |
|
д |
|
/— ~ |
|
Ьр' |
\ |
|
|
(3.3.6) |
|
|||
|
|
dt |
|
|
|
|
Ч |
1 р |
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
дь“в |
|
|
|
|
; + |
Ьр' |
\_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
8йе= 8 и Е/и; |
8йч—би^Дрйг); |
8йв=г8йе. |
(3.3.7) |
|
В системе координат |, г), 0 особенно просто формулируется граничное условие на поверхности сопла. Если обозначить через rjo значение координаты т), при котором линии тока лежат на
86
/
поверхности сопла, то условие отсутствия течения по нормали к стенке сопла (условие непроницаемости) будет иметь вид
8 « ч (5, 71 о )= 0 . |
(3 .3 .8 ) |
Если профиль сопла достаточно полбгий (реальные сопла, как правило, этому условию удовлетворяют), то для описания стационарного течения жидкости становится пригодным квазиодномерное (гидравлическое) приближение. Стационарные зна чения параметров газа в этом приближении постоянны вдоль плоскостей, перпендикулярных оси ccfcuia, и зависят только от продольной координаты | « JC. Поперечная координата rj, как это следует из третьего соотношения (3.3.4), определяется выра жением
7] = г2р#/2. |
(3.3.9) |
Зависимость стационарных значений параметров от продоль ной координаты | при заданном прбфиле сопла [го=го(£)] опре деляется обычными соотношениями одномерной газовой дина мики.
Воспользовавшись гидравлическим приближением и предста вив искомые функции в виде произведения соответствующих
амплитуд на |
получим систему уравнений |
' 2ц—— £ дЪ = 0; |
|||||
|
Ш |
Р |
/ |
+ |
+5S Н2 j e |
||
|
\ |
|
|
|
|
L |
|
|
/<о8й |
{иЧи -J- |
= 0 ; |
(3.3.10) |
|||
|
Ш ип |
|
|
0; |
|
||
|
г<о&йв+ |
fu 4 u + y - j= 0 , |
|
||||
где бр', бй, бйл, бй0— комплексные |
амплитуды |
колебаний бр', |
ЬЩу бйп, бй0 соответственно.
Введем теперь потенциал акустического поля соотношениями
8 й = -^ - ; 8йч= - ^ - ; . (3.3.11)
Тогда из системы уравнений (3.3.10) следует соотношение, выражающее амплитуду колебаний давления бp f через потен циал
(3.3.12)
После подстановки (3.3.11) и (3.3.12) в первое уравнение систе мы (3.3.10) и использования соотношения б р '= с 26р' получим
87
где Д = 2
Z ± \(i |
Й2 |
|
|
|
C2 / dhJ |
c2 dg |
|||
di ll |
||||
+ [7 " - mu2 |
d2 |
(3.3.13) |
||
д ! 1 d> |
|
|
||
11 1i |
>1w |
|
||
11 |
2 ) |
|
||
|
T |
=a 1^ |
|
Разложим теперь функцию <р в ряд по собственным функ циям поперечных колебаний газа в цилиндрической части каме ры сгорания. Согласно результатам, полученным в разд. 3.1, полный набор этих функций состоит из выражений вида ]т{о.тпг1гй)cos mQ. В соответствии с выражением (3.3.9), опре деляющим т], отношение г/го в аргументе функции Бесселя сле
дует заменить на Y V'*lо- • Таким образом, разложение в ряд функции ф имеет вид
V='2£iVm n$.)Jm{amn V cos //10, |
(3.3.14) |
тп
где фтп— коэффициенты разложения, являющиеся искбмыми функциями Если подставить это разложение во второе урав нение (3.3.11), то нетрудно показать, то 6йц на стенке обраща ется в ноль. Следовательно, форма, в которой ищется решение» автоматически удовлетворяет условию на стенке сопла. После подстановки разложения (3.3.14) в уравнение (3.3.13) и соот ветствующих преобразований получим
dg |
— ~ ) Л т ] —2 т - ^ ~ |
— |
J |
|
LI |
С2 / |
|
||
|
|
|
|
<3-315> |
Для того чтобы |
завершить |
постановку задачи, необходимо |
||
еще задать граничные условия для начального |
и конечного се |
чений сопла. Поскольку при дозвуковом и сверхзвуковом исте чении из сопла эти граничные условия имеют различную форму» рассмотрим эти два случая раздельно.
Начнем с дозвукового истечения. Примем, что в начальном сечении сопла ( |= 0 ) заданы амплитуды колебаний давления Ьр' и осевой скорости Ьй'. Подставив выражение (3.3.14) в выра
жения (3.3.11) и (3.3.12), получим |
разложение функций бр' и |
|
Ьй в ряд: |
|
|
8“ = 2 2 |
8“т,Лг Kw. |
cos mb; |
|
|
(3.3.16) |
= |
bp'mnJm (°*я |
’nho) cos mb, |
88
где |
|
|
'г? |
P |
L . |
(3.3.17) |
|
|
|
rf? |
|
||
Для сечения | = 0 согласно уравнениям |
(3.3.17) |
|
||||
-о |
|
8 (р'п |
\о |
|
|
|
|
-l L - u 4 u ln ; (■ ^rL)°=iaSLn- |
(3.3.18) |
||||
<Ртп-- |
I |
|
||||
т |
|
|
\ |
d% 1 |
|
Верхний индекс ноль указывает на то, что переменные берутся в начальном сечении сопла. Граничные условия (3.3.18) одно значно определяют решение уравнения (3.3.15).
Из уравнений (3.3.15), (3.3.16), (3.3.18) следует, что, так же как и в коротком (квазистационарном) сопле, каждая тп-я гар моника колебания в длйнном сопле может исследоваться неза висимо от всех остальных.
Йщем решение уравнения (3.3.15) в виде |
|
|
|
(?)=Ух ю ? L + у 2 «) ?°тп, |
(з.з. 19) |
ГДе ф° т п |
значение производной от функции сртп в |
начальном |
сечении |
(1=0^. |
|
В силу линейности уравнения (3.3.15) функции Yi(g) и У2(£) от <p°mn и ф0тп не зависят. Воспользовавшись этим, найдем гра
ничные условия для Yu положив ср°тя= 0. Тогда из уравнения (3.3.19) получим Yi(0) = l. Для того чтобы найти УДО), продиф
ференцируем уравнение (3.3.19) при ф°„и= 0 . В результате по лучим фтп(1Т=ЫЮф°»пл, откуда следует Yi(0)=0. Таким об
разом, для нахождения функции Yi(g) надо |
проинтегрировать |
||||
уравнение (3.3.15), заменив в нем ф„гп(£) |
на |
УД!) |
и приняв |
в |
|
качестве граничных условий |
|
|
|
|
|
Ух (0)= 1; |
Ki(0)=0. |
|
|
(3.3.20) |
|
Совершенно аналогично, положив <р°тп= 0 , |
находим |
граничные |
|||
условия для У2(|) |
|
|
|
|
|
Г 2(0)=0; |
Г2(0) = 1. |
|
|
(3.3.21) |
|
Для того чтобы найти фтп(£) |
по заданным |
значениям ф°тп |
и |
||
Ф°тп, достаточно дважды проинтегрировать |
уравнение (3.3.15) |
||||
с граничными условиями (3.3.20) и (3.3.21), |
а затем воспользо |
||||
ваться соотношением (3.3.19). |
|
|
|
|
|
Решения дифференциального уравнения (3.3.15) при задан ных граничных условиях можно найти путем численного инте грирования.
После того как срт „ найдено, соотношения (3.3.17) позволяют получить 6йтп и 6р'тп- Величины ф°т п и ф°тп при этом целесо-
89
обр/зно, воспользовавшись соотношениями (3.3.18), выразить через 8й°тп и 8(р'тп) 0. В результате выражения, связывающие колебания давления и скорости в начале сопла с колебаниями этих параметров в произвольном сечении, приобретают форму уравнения четырехполюсника:
^Рвгп 5)—#11 (W>, ?) ЪРтп”Ь#12(га)>£) в#/пя>
(3.3.22)
?)= #21 И<», S)8/>L + #2"(*4 £)««,
где bpmn— bp'mnlp, a*fe (tcо, I ) — АФЧХ, связывающие комплекс ные амплитуды колебаний скоростей и давлений в начале сопла и в его произвольном сечении I.
Ранее для удобства изложения было принято, что заданными являются колебания давления и скорости в начале сопла. При дозвуковом истечении из сопла в.неограниченное пространство граничное условие задается в конце сопла. В достаточно хоро
шем приближении оно может |
быть записано |
в виде 6 jw = 0 . |
|
Положив в уравнениях (3.3.22) |
6pmn = 0 и обозначив координа |
||
ту выходного сечения сопла через I, легко получить выражение |
|||
для импеданса дозвукового сопла |
|
||
= |
— |
д12(»“>. О ^ |
(3.3.23) |
Ъитп |
|
«11 (»“ .*) |
|
Представление решений |
в виде уравнения |
(3.3.19) справед |
ливо до тех пор, пока в узком сечении сопла не достигнута ме-
стная |
скорость звука |
(й = с = с *). В |
этом |
случае уравнение |
||
(3.3.15) |
для |
сечения, в котором достигается |
местная |
скорость |
||
звука |
(так |
называемое |
критическое |
сечение), имеет |
особен |
ность, приводящую к сингулярному решению.
Физические причины, приводящие к возникновению этой осо бенности, связаны со следующими обстоятельствами. В разд. 3.1, где рассматривалось распространение акустических волн в ци линдрическом канале, было показано, что общее решение фор мируется из выражений, описывающих две волны, одна из кото рых распространяется по потоку, а другая — против него. Оче видно, что возмущения, создаваемые в критическом сечении, не могут распространяться вверх по потоку, поскольку скорость течения газа в этом сечении равна скорости звука. Таким обра зом, волна конечной амплитуды в критическом сечении будет посылать вверх по потоку бесконечно малые возмущения, а для того чтобы посланная вверх по потоку волна имела конечную амплитуду, необходимо, чтобы в критическом сечении она была бесконечно большой. Из этого следует, что для устранения осо бенности необходимо исключить из решения, полученного для критического сечения, описание волны, распространяющейся вверх по потоку. Последнее возможно только в том случае, ког да между амплитудами давления и скорости в критическом се
90