книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfЗдесь Г[ и r2 - внутренние сопротивления генератора
и аккумулятора соответственно.
Решив систему уравнений (1МЗ) относительно /2, по
лучаем
( r , - ^ 2) /? - g 2rt
h = -
г, (г2 + /? ) + г2/?
Отсюда видно, что если
R>
* г - * г
то аккумулятор находится в режиме зарядки, если же
|
R< |
т,г, |
|
|
|
|
|
2'1 |
|
|
|
||
|
У ,- Г 2 |
|
|
|
||
то он разряжается (при этом предполагается, что ЭДС гене |
||||||
ратора больше ЭДС аккумулятора). При |
|
|
|
|||
|
д _ |
^2Г1 |
|
|
|
|
|
* 1 - * г |
|
|
|
||
ток через аккумулятор не протекает. |
|
|
|
|||
2.1.12. |
Разветвленная цепь |
с конденсатором. Найти |
||||
разность потенциалов фЛ -(f)в |
между обкладками конденса |
|||||
тора С в схеме, представленной на рис. 2.16. Внутренними |
||||||
сопротивлениями источников тока пре |
Да, |
:3 |
С |
|||
небречь. |
|
|
| | ___, |
|||
Значение |
разности потенциалов |
|
|
11 |
||
' |
|
ВА |
||||
не входит ни в одно из правил Кирхго- |
|
|
||||
фа, но входит в закон Ома для участка |
Ro |
|
R, |
|||
цепи. Введем в рассмотрение промежу |
h — |
2 |
— /, |
|||
точные точки |
1,2,3. Очевидно, |
|
|
|
||
Фд -Ф в =(Ф1-Ф2) + (Ф2-Фз)- (!) |
|
И |
* |
|||
Рис. 2.16 |
||||||
|
|
|
Входящие сюда значения разносги потенциалов
(ср, -<р2) и (ф2 - Фз) можно найти из закона Ома для соот
ветствующего участка цепи. Чтобы воспользоваться этим за коном, нам придется выбрать предположительные направле ния токов не только на интересующих нас участках, но и на всех остальных участках цепи (см. рис. 2.16). Тогда для уча
стка цепи между точками 1 и 2 имеем |
|
Ф,-Ф2 =/,/?,, |
(2) |
а для участка 2-3 |
|
Ф2-Ф з + ^ 2 = 0 - |
(3) |
Из уравнений (1>—(3) следует |
|
Фд-Фв= / Л - ^ 2 - |
(4) |
Видно, что для определения срЛ- (рв |
необходимо знать |
ток 1Х. Понятно, что его значение связано со всеми осталь ными токами цепи, поэтому нам придется воспользоваться правилами Кирхгофа. Запишем второе правило Кирхгофа для контура /?3,/?2, аг2:
/3/?3 —l 2R2 = |
(5) |
и для контура RX,R2, Wx: |
|
lxRx + l2R2=%x. |
(6) |
Последнее недостающее уравнение (токов три, а урав нений только два) получим по первому правилу Кирхгофа
для узла 2: |
|
1Х=12 +13. |
(7) |
После решения системы уравнений (5)-(7) относительно /, находим
7 _ &1{R2+R3) +&2R2
Тогда для искомой разности потенциалов получаем
_ у л ( ^ + ^ ) - а д ( ц + ^ )
Фа Фв |
+ /г,/?3 + |
2.2. Мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
Под мощностью тока Р на каком-либо участке цепи по нимают величину
P = ((P i- < p 2 ) / + g7
Здесь слагаемое (ф,-ф2) / определяет мощность кулонов
ских сил, а слагаемое £7 представляет собой мощность, раз виваемую сторонними силами на данном участке, причем она изменяет знак при изменении направления тока.
В случае, когда проводник неподвижен и в нем нет хи мических превращений, согласно закону сохранения, энергия тока должна выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии. Попросту говоря, происходит выделение тепла и проводник должен нагреваться. Величина выделяемой теп
ловой мощности Q (тепло, выделяемое за единицу времени)
определяется законом Джоуля-Ленца:
Q = I 2R.
Для постоянного тока полное тепло за время t
Q = I 2Rt,
а для переменного тока
Q = \l2Rdt.
Влокальной форме закон Джоуля-Ленца представляют
ввиде
где <2уд - удельная тепловая мощность тока (теплота, выде
ляемая за единицу времени в единице объема проводника); р - удельное сопротивление; j - плотность тока. Это урав нение представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля-Ленца, применимую к любым проводникам вне за висимости от их формы, однородности и природы сил, рож дающих электрический ток. Если же в проводнике действуют только кулоновские силы, то на основании закона Ома мож но написать
где Е - напряженность электрического поля.
По отношению к закону Джоуля-Ленца существует принцип, согласно которому токи и напряжения в цепи, со стоящей из линейных (подчиняющихся закону Ома) элемен тов, распределяются таким образом, что диссипируемая в те пло мощность минимальна. Для иллюстрации этого принци па найдем распределение токов в каждом из трех
параллельно соединенных сопротивлений |
Rl,R2,R3, если |
полный ток, протекающий по ним, равен / |
|
Суммарная тепловая мощность Q во всех трех элемен |
|
тах составляет |
|
Q = I?RX+ I2 R2+ I 2R3. |
(1) |
В соответствии с указанным выше принципом нам необ ходимо найти значения токов/,,/2, / 3, обеспечивающих ми нимум выражения (1) при выполнении условия
Это известная задача об отыскании условного экстрему ма функции нескольких переменных. Применим для ее ре шения метод Лагранжа. Следуя этому методу, найдем дифференциалы выражений (1) и (2) и положим их равны ми нулю:
*£2/ , м /,= о, |
*£<«,= о. |
*=1 |
*=1 |
Затем составим выражение
kf ( 2 l kRk +X)dIk = 0 ,
*=1
где X - лагранжев множитель, не зависящий от всех пере менных 1к. Его выберем так, чтобы коэффициент при dlx
обратился в нуль. В этом случае будут равны нулю и коэф фициенты при остальных dlk, так как переменные /2, / 3 можно принять за независимые. Тогда приходим к системе уравнений
2/,/fj + А = 0, |
|
21гКг + А = 0, |
(3) |
2/3/?3 + А = 0. |
|
Добавляя к этим уравнениям еще условие (2), получаем полную систему уравнений для определения неизвестных то ков /Р /2, / 3 и коэффициента А, обеспечивающих минимум выделяемой тепловой мощности (величина А играет только вспомогательную роль и нам в дальнейшем не потребуется). Из этой системы линейных уравнений нетрудно найти
_ j _____ *2 * 3 _____
h |
*2 * 3 |
R l R 3 |
R l R 2 |
h |
_ j ___ *1*3___ |
||
|
й2/?з + RXR3+ /?j/?2 |
||
h |
_ j ______*2*1______ |
||
|
*2 * 3 |
"*■*1*3 |
*1*2 |
Заметим, что этот же результат можно было получить и иначе, если вспомнить, что напряжения на всех трех парал лельно соединенных сопротивлениях одинаковы. Но теперь мы знаем, что такому распределению токов соответствует минимум тепловой мощности.
2.2.1. |
|
Полезная мощность источника тока. При замы |
|
кании источника тока (рис. 2.17) на сопротивление /? = /?,, |
|||
рассеиваемая на нем мощность оказалась равной Р^. Чему |
|||
g ’ >г |
|
равна ЭДС источника, если при замыкании |
|
_____| |
I_____ |
|
его на сопротивление R = R2 рассеиваемая |
|
I |
|
на нем мощность осталась прежней? |
, — |
—| |
I |
Для ответа на поставленный вопрос |
нам, очевидно, необходимо иметь явную за |
|||
|
|
|
висимость рассеиваемой на внешнем сопро |
|
|
|
тивлении мощности (ее называют еще по |
лезной мощностью) от величины сопротивления. Пусть ЭДС источника равна «Г и его внутреннее сопротивление - г То гда мощность, рассеиваемая на внешнем сопротивлении R ,
P = I 2R,
где I - сила тока, определяемая из закона Ома для замкну той цепи
R +r '
С учетом этих формул имеем
%2R |
(1) |
Р(Ю = |
|
(R +r |
f |
И для нахождения ЭДС при известном значении мощно сти Рх= P{RX) = P(R2) не хватает только внутреннего сопро тивления г Для его определения подставим последователь но в (1) R = Д, и R =R2 и приравняем мощности
&2Rl |
&2R 2 |
{Rt + r f |
(Ri +rf |
Из этого равенства нетрудно найти |
|
г = |
(2) |
Тогда из (1) находим (например, при R = Д,)
Обсудим теперь более подробно полученное нами вы ражение для полезной мощности (1). Для этого отобразим его на рис. 2.18. Видно, что одно и то же значение мощности, меньшей некоторого максимального Р ^ , может быть дос тигнуто при двух значениях сопротивления нагрузки Д,
иR2 (и соответственно при двух значениях тока /). Значения Л,
иД2 связаны соотношением (2). Если допустить, что Л, = г , то
Рис. 2.18
должно быть и R2 = г. Очевид
но, что это возможно только для максимального значения мощности Ртх - Отсюда приходим к тому, что максимальное значение мощности от источника с внутренним сопротивле-
нием г будет отбираться только в том случае, если сопро тивление нагрузки тоже равно г . А само максимальное зна чение мощности составляет
Этот вывод можно было получить и иначе, исследуя вы ражение (1) на максимум стандартными методами. Заметим, что при максимальной полезной мощности коэффициент по лезного действия (КПД) источника тока Г) не достигает мак
симума. Исходя из определения для КПД, нетрудно получить
I 2R |
R |
1 т |
R+r |
и при максимальной мощности его значение составляет всего 50 % (вторая половина развиваемой мощности источника идет попросту на его нагревание).
2.2.2. |
Максимальная мощность двух параллельно со* |
||
единенных источников. Два параллельно соединенных ис |
|||
точника с ЭДС |
и £Г2 и внутренними сопротивлениями г, |
||
и г2 замкнуты на сопротивление R (рис. 2.19). При каком |
|||
сопротивлении |
R выделяемая |
на нем тепловая |
мощность |
практически не будет зависеть от малых изменений этого со |
|||
противления? Чему эта мощность равна? |
|
||
|
Идея решения этой задачи доста |
||
|
точно прозрачна. Независимость тепло |
||
|
вой мощности от малых изменений со |
||
|
противления R возможна только в точке |
||
|
экстремума функции |
|
|
|
|
P = I 2R, |
(1) |
|
где / - сила тока, протекающего через |
||
|
сопротивление R, которая зависит от |
||
|
величин |
и г2. Таким образом, |
задача разбивается на два этапа. Вначале нам необходимо выразить величину тока I через параметры схемы, а затем исследовать на экстремум выражение (1).
Составим уравнения для неизвестных токов по правилам Кирхгофа (см. подразд. 2.1)
/, + /2- / = О,
/2/"2 ^ = ^2 •
Из этой системы уравнений находим
J |
_ Г1^2 + Г2^1 |
|
|
r,r2 + Rrt + Rr2 |
|
Тогда выражение для мощности (1) приобретает вид |
|
|
Р = |
г^2 + гг%>\ ^ R. |
(2) |
|
r{r2 +Rrt + Rr2 |
|
Осталось только найти производную dP/dR и положить ее равной нулю. Но этого можно и не делать. Воспользуемся результатами предыдущей задачи. В ней мы нашли, что мак симум выражения
P ( R ) = glR |
(3) |
(* + ')
выполняется при R = r . Сравнивая выражения (2) и (3), легко сообразить, что максимум выражения (2) будет при
R = |
hh |
(4) |
П |
+ Г2 |
' |
т.е. при выполнении этого условия малые изменения величи ны R практически не будут влиять на выделяемую на нем
тепловую мощность. Подставив (4) в (2), находим значение этой мощности
Р(ч* 2 + 'А ) ( п * г 2)
4ГЛ
2.23. Мощность лампочки. Лампочку, соединенную параллельно с резистором сопротивлением R =2,0 Ом, под ключили к источнику с ЭДС % = 15 В и внутренним сопро тивлением г = 3,0 Ом. Какая мощность выделяется на лам почке, если зависимость тока от напряжения на ней имеет вид, показанный на рис. 2.20?
Отобразим рассматриваемую цепь на рис. 2.21. В нее входит нелинейный, т.е. не подчиняющийся закону Ома эле мент - лампочка (отображена кружком с крестиком). Исполь зовать для расчета ее мощности соотношение P = I 2R мы не можем, так как неизвестно сопротивление лампочки. Бо лее удобным является выражение Р =Ш , так как значения
1с_I__I—I_1-----1----1
02 4 6 8 U, В
Рис. 2.20
тока и напряжения связаны известной вольт-амперной харак теристикой лампочки (см. рис. 2.20). Посмотрим теперь, как ею можно воспользоваться независимо от способа ее задания (в виде графика или аналитически).