книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 1. 0СН0В&1Ё^П№ ДБЛЕНИЯ |
21 |
Наличие обратного включения проверяется аналогич ными рассуждениями: Щ
1.4. Функционалы. Линейный оператор X: 3 3 С, где С — банахово пространство комплексных чисел (С можно рассматривать и как гильбертово пространство со
скалярным произведением (а, |3) = а|3), называется функ ционалом (или комплексным функционалом, в отличие от
вещественных функционалов X: 33 —» R).
Поскольку функционалы являются специальной раз новидностью операторов, все сказанное об операторах в предыдущем пункте непосредственно на них распрост раняется.
Совокупность всех ограниченных функционалов над заданным ^-пространством 33 образует так называемое сопряженное к 33 пространство 33*, играющее важную роль во многих рассмотрениях. Особое положение гиль бертова пространства Ж среди банаховых пространств и значительной мере определяется тем, что Ж* всегда до пускает естественное отождествление с Ж, т. е. в этом смысле имеет место «самосопряженность». Докажем соот ветствующее утверждение.
Л е м м а ( Р и с е а). Пусть X — ограниченный функ
ционал, заданный над линейным многообразием |
Ж d |
Ж. |
|
Тогда существует единственный элемент h ЕЕ |
{замы |
||
канию Ж ) такой, что для любого х ЕЕ Ж |
|
|
|
Х(х) = |
(x,h). |
|
(7) |
Ири этом \\Х || = И h ||. |
Можем рассматривать |
.Л |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
как гильбертово пространство Жг d Ж (со скалярным про изведением, /Задаваемым произведением в Ж) и функцио нал X считать расширенным по непрерывности на все пространство Ж±-
Если X (х) *= 0 для любого х ЕЕ Жг, то достаточно по ложить h 5= 0. Если X ф 0 , то N (X) (ядро X) является замкнутым подпространством, отличным от Жх. Рассмот рим разложение Жх — N (X) © ©. Подпространство @ одномерно. Действительно, для любой пары элементов хх, х2ЕЕ X (хх) = ахФ 0, X fe) ~ &2Ф 0, имеем
22 |
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ |
|
|
П у с т ь б а з и с н ы й элемент,|| q\\ = 1, X (?) = Р- |
|
Тогда X (х) — (х, Рд) для любого х €= |
Действительно, |
представим х в виде х х^ © х&, и пусть ха *= Л?. Тогда
X(х) = X (xQ) *= X (kq) v= Ар,
%ы — Р (о:, g) — /ф (?, ?) 5= Ар.
Единственность в Жх найденного элемента h = Pg очевидна. Кроме того,
IIЯ II = sup |
\SS(x)\ |
^ |*« I |
Г*Г“ |
= IPI = IFIb |
х&ех |
м |
|
и на :r 6= @ неравенство переходит в равенство. | Приведенное доказательство является очевидной моди
фикацией рассуждений, применимых в случае конечно мерного пространства Ж. Уравнение X (х) — 0 опреде ляет некоторую гиперплоскость. Размерность ее в общем случае бесконечна, но размерность ортогонального до полнения всегда равна единице. Это использовано в дог казательстве.
Как мы увидим, лемма Рисса является весьма удобным инструментом при доказательстве различных теорем суще ствования решений операторных уравнений.
С л е д с т в и е . Ограниченный функционал, заданный на линейном многообразии Л ' а Ж, может быть продол жен с сохранением нормы на все пространство Ж.
Действительно, формула (6) дает,, очевидно, искомое продолжение.
. Для произвольного ^-пространства приведенное след ствие составляет содержание так называемой теоремы Хана — Банаха. Доказательство ее значительно сложнее из-за отсутствия в этом случае явного описания «общего вида» линейного функционала.
Теорема Хана — Банаха вместе с приведенной выше теоремой Банаха и так называемым принципом равномер ной ограниченности (которым нам не представится слу чая воспользоваться), называемым также теоремой Ба наха — Штейнгауза, являются «тремя китами» класси ческой теории 5-пространств.
|
§ 2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА |
23 |
§ 2. |
Спектр оператора |
|
2,0. |
Предварительные замечания. Одной из |
наиболе |
привлекательных черт объектов, рассматриваемых в ли нейном функциональном анализе, является существование для многих из них аналогов, имеющих значительно более простую природу. Наличие таких аналогий обогащает интуицию и имеет большую эвристическую ценность. Наи более часто обращаются к параллелизму, существующе му в теории конечномерных и бесконечномерных гильбер товых пространств (здесь уместно отметить книгу [17]), т. е. к аналогии вектор (точка в евклидовом пространст ве) — функция (точка в функциональном гильбертовом пространстве), и к параллелизму между алгеброй комп лексных чисел и алгеброй, порождаемой семейством ком мутирующих операторов над фиксированным 5-прост- ранством.
Примеры обращения к первой из аналогий имеются в замечаниях к приведенным выше доказательствам лемм об ортогональном разложении и об общем виде функцио нала. Во многих вопросах теории операторов оказывает ся весьма плодотворным обращение и ко второй из упо мянутых аналогий. При этом на первый план выступает сопоставление объектов: аналитическая функция — функ ция от оператора. Построение аппарата, позволяющего содержательным образом использовать соответствующую аналогию, является одной из основных задач спектраль ной теории.
При построении алгебры операторов, т. е. при прове дении рассмотрений, в которых существенную роль играет операция перемножения пары линейных операторов Т1? Т2, и тем более при определении функций от операторов приходится прежде всего ограничиться случаем, когда
операторы действуют |
в рамках одного фиксированного |
||
5-пространства: |
Т1? |
Т2: ZB |
33. Иначе конструкции |
становятся труднообозримыми. |
|
||
Здесь уместно |
сделГать замечание, важное для пони |
мания общих установок книги. С точки зрения приложе ний к теории граничных задач упомянутое ограничение означает весьма существенное сужение рассматриваемого круга вопросов. Значительная часть проблематики, свя занной с рассмотрением левой части дифференциального
24 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
уравнения в качестве линейного оператора L, относится, например, к вопросу об отыскании правильно подобран ной пары пространств 33г, 332 такой, что. © (L) — 33и « (L ) 5= 332, или к отысканию семейств пространств
^ т а к и х , что L: 33*1-*-33% и соответствующее отображе ние — изоморфизм. Эта область применения методов функ ционального анализа в теории граничных задач остается по существу вне нашего поля зрения.
Переходя к изложению основных понятий спектраль ной теории, заметим, что, помимо использования ее в указанном выше плапе, при построении функций от опе ратора (в первую очередь — от оператора дифференциро вания) соответствующий язык (терминология п. 2.1) оказывается весьма удобным при описании свойств кон кретных операторов, возникающих при исследовании тех или иных классов граничных задач для уравнений с ча стными производными.
С формальной точки зрения содержание спектральной
теории |
составляет изучение сопоставляемой |
оператору |
||
Т: 3 3 3 3 |
специальной |
операторной функции комплекс |
||
ного параметра ^ е С- |
Эта функция Т (X): 33 |
33 имеет |
||
вид |
|
|
|
|
|
|
Т(А,)==ТЯ = Т — АЕ, |
(1) |
|
где Е: |
33 |
33 — тождественный оператор. |
Наличие |
операторного множителя Е в формуле (1) явно, как пра вило, не указывается, т. е. определение Т*, записывается в виде
ту=т—X.
Сейчас мы перечислим основные факты, |
связанные |
с функцией Т*,,- и приведем соответствующую |
терминоло |
гию, а в следующем пункте постараемся выяснить особую роль указанной функции в операционном исчислении, т. е. при построении функций от оператора Т.
2.1. |
|
Основные определения. Пусть Т: 3 3 3 3 — не |
который фиксированный замкнутый оператор (вообще |
||
говоря — неограниченный) с областью определения © (Т), |
||
плотной |
в |
Пусть Т*, — определенная выше оператор |
ная функция параметра X Е= С* Множество р (Т) d G на |
||
зывается |
резольвентным множеством оператора Т, если |
§ 2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА |
25 |
|
для любого X G: р (Т) оператор Тх1 существует, ограничен |
||
и определен на всем |
пространстве ЗВ. Операторная функ |
|
ция Rx = Rx (Т) — Тх1 параметра X |
называется ре |
|
зольвентой оператора Т. |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Предположение замкнутости опера |
тора Т, влекущее замкнутость Тх1 (когда последний суще
ствует), делает излишним |
требование |
ограниченности |
||||
Тх\ если £) (Тх1) — ЗВ. |
Но |
мы предпочитаем |
явно ого |
|||
ворить это важное свойство резольвенты. |
1, |
то |
точка |
|||
У т в е р ж д е н и е |
1. |
Если |
|| Т || < |
|||
X = 1 принадлежит р (Т). |
этого |
утверждения |
может |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
быть получено за счет рассмотрения частичных сумм ряда
оо
23Т* (ряда Неймана), дающего представление оператора
о
(1 — Т)"1 (поскольку Т ограничен, £> (Т) — ЗВ и опре деление произвольной степени Т не вызывает затрудне ний). Щ
У т в е р ж д е н и е 2. Множество р (Т) открыто в С*
Действительно, если ^0 G p (Т), то оператор
(Т - Яо)-1 [1 - в (Т - Яо)-1]-1
при достаточно малых по модулю е является ограничен ным оператором, заданным на всем ЗВ. В то же время
( T - X o H l - e C r - X o Н “1= |
|
|
|
|
= {[1 _ е (Т - |
Я0П (Т - |
Я0) Г = |
IT - |
(Х0+ е)Г , |
откуда и следует утверждение 2. |
Щ |
(Т) |
называется |
|
Замкнутое множество о (Т) — С \ р |
||||
спектром оператора Т. |
Точка |
X €= о (Т) принадлежит |
точечному спектру Pc (Т), оператора Т, если оператор
Тх1 не существует; |
точка X G: о (Т) принадлежит непре |
||
рывному спектру |
Со (Т) |
оператора Т, если оператор |
|
Тх1 существует, множество |
£ |
(Тх1) плотно в ЗВ, но опера |
|
тор Тх1 неограничен; точка |
X Е= о (Т) принадлежит ос |
таточному спектру Ro (Т) оператора Т, если оператор Тх1 существует, но множество S (Тх1) неплотно в ЗВ.
26 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Очевидно, о (Т) — Ро (Т) (J Со (Т) (J Ro (Т), при чем множества в правой части равенства не пересекаются.
Если VE Ро (Т), то N (Т*,) Ф 0, т. |
е. уравнение |
(Т — Я) а = 0 |
(2) |
имеет ненулевое решение. В этом случае X называют за частую собственным значением оператора Т, а ненулевые решения уравнения (2) —собственными элементами
(собственными векторами, собственными функциями; см* гл. II), принадлежащими соответствующему собственному значению.
Приведенное подразделение точек спектра называют обычно грубой классификацией. Действительно, возможны разнообразные дальнейшие уточнения. Например, для собственного значения X размерность N (Т%) может быть конечной или бесконечной, для X €= Ro (Т) обратный опе
ратор |
может быть |
ограниченным или неограниченным |
и т. д. |
Во многих |
курсах функционального анализа |
имеются существенные отклонения от приведенной тер минологии.
У т в е р ж д е н и е 3 ( т о ж д е с т в о Г и л ь б е р -
т а). Если Хг, Х2 ^ |
р (Т), то |
|
Rfa |
~ (^i * ^2) i ? A . И |
(3) |
Из (3) следует перестановочность резольвент при ре гулярных (принадлежащих резольвентному множеству) значениях X.
2.2. Функции от оператора. Как уже упоминалось, раз делы спектральной теории, предметом которых является определение функций от оператора, называют обычно опе рационным исчислением. В основной части книги построе ние операционного исчисления будет проводиться либо в особенно простой ситуации —при наличии у данного оператора системы собственных функций, образующих базис Рисса, либо за счет использования специальных кон струкций, не укладывающихся в рамки элементарной тео рии, но использующих некоторые ее основные резуль таты.
Данный пункт содержит набросок некоторых класси ческих рассмотрений, использующих резольвенту опера тора и параллелизм, существующий между комплексными аналитическими функциями и операторными аналитичес-
§ 2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА |
27 |
ними функциями. Очень удобное для наших целей изло жение соответствующих вопросов имеется в книге [21], к сожалению, мало доступной.
При описании (и использовании) упомянутого парал лелизма основную роль играют понятие голоморфности и процедура интегрирования для операторных функций. Обычное определение голоморфности связано с однознач ностью и дифференцируемостью. Требование однозначно сти не нуждается в комментариях, но понятие дифферен цируемости в связи с возможностью введения различных топологий может иметь различные формы. Удобным фор мальным определением голоморфности, обходящим эти трудности и влекущим дифференцируемость в любом ра зумном смысле (представимость рядом и т. п.), является следующее
Оп р е д е л е н и е . Операторная функция S (?):$}->■
—33 голоморфна в 3Dd С, если для любого ограничен
ного линейного функционала X: 33 |
С |
соответствую |
щая комплексная функция X [S (z)) голоморфна. |
||
У т в е р ж д е н и е . Если l 0 G p |
(Т), |
то R% (Т) го- |
ломорфна по X в некоторой окрестности точки Я0. ^ | |
||
Важнейшим свойством голоморфных |
операторных |
функций является наличие для них аналога интегральной формулы Коши. Опишем нужную для записи этой форму лы процедуру интегрирования.
О п р е д е л е н и е . |
Операторная функция S (z): |
33 -> 33 комплексного |
переменного z ЕЕ С непрерывна |
в точке z0 в смысле равномерной операторной топологии, если она определена в некоторой окрестности этой точки
и для любого г^> 0 |
существует б (е) ]> 0 такое, что |
|
|| S (z) — S (z0) || < е при |
любом z из указанной окрест |
|
ности, удовлетворяющем |
неравенству | z — z01<С б. |
|
Если I — {z (t), t d |
[0, 1]} — кусочно гладкая кривая |
на С и S (z) непрерывна (в указанном выше смысле) вдоль
кривой Z, |
причем S (гх) S(z2) — S (Z2) S (zj) для любых |
Zj, Zo ЕЕ I, |
то нетрудно определить оператор |
Достаточно воспользоваться римановским определением интеграла и рассмотреть предел сумм вида 2]S(Zi) Azi?
28 |
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ |
|||
где |
zt .s= Zi (t), Azi = Zi — Zi-X и |
0 |
*0 < |
tx < . . . < |
< tn = 1 — подходящее разбиение |
отрезка |
{0, 1]. Пре |
дел берется, естественно, при размельчении разбиений и не зависит от выбора параметризации кривой I. Голоморф ность подынтегральной функции влечет независимость в обычном смысле интеграла от выбора кривой, соединяю щей заданные точки.
Сформулируем теперь некоторые важнейшие факты, лежащие в основе конструкций операционного исчисле
ния. |
Пусть |
Т: |
53 ->• $ |
— ограниченный опера |
||
Л е^м м а. |
||||||
тор, © (Т) ~ |
53, || Т || ^ |
М . Тогда интеграл |
|
|||
|
(2яг)-1 |
j |
(г — Т)-' dz |
(4) |
||
|
|
|z| |
2М |
|
|
|
дает представление |
единичного |
оператора Е: 53 |
53. |
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы опирается на тот факт, что в сделанных предположениях спектр Т расположен в круге | z | ^ М. Лемма является аналогом утверждения, относящегося к интегралу (4) в случае, когда Т *= £ е С: интеграл равен 1 или 0 в зависимости от того, лежит ли
точка £ внутри, или |
вне круга |
| z | ^ |
|
2М. |
|
Рассматривая |
интегралы |
вида |
(2т)"1 ^ (z — Т)"1 dz |
||
вдоль замкнутых кривых Г, лежащих |
в р (Т), но охваты |
||||
вающих лишь части |
множества о (Т), |
можно получить |
|||
«части» оператора |
Т, |
т. е. операторы |
вида Рг Т *= ТРГ, |
где Рг —оператор проектирования (коммутирующий с Т) на соответствующее подпространство 53.
Так же, как в теории аналитических функций интег
рал (4), в |
котором Т |
^ е |
С) непосредственно |
связан |
|
с интегральной |
формулой |
Коши. |
|
||
|
/ (0 |
* (2лr |
t / |
(z) (С - z)-4z, |
|
указанные |
выше |
построения позволяют принять |
инте |
||
грал |
|
|
|
|
|
|
(2лг)-1 J |
|
f(z)(z — Т)-Мг |
(5) |
|
|
|
| Z | =2М |
|
|
за определение функции / (Т). Это определение согласует ся с непосредственным определением простейших функ
§ 2. СПЕКТРЫ ОПЕРАТОРА |
29 |
ций от Т (например, полиномов) и является вполне разум ным и в других отношениях (см. [5]). При этом, разумеет ся, необходимо предположение об аналитичности / на множестве о (Т).
Сказанного достаточно, чтобы сделать понятным исклю чительную роль резольвенты оператора при изучении его структуры.
Приведенные факты и их различные следствия и моди фикации отнюдь не являются тривиальными, но картина,
ксожалению, еще существенно усложняется при переходе
кнеограниченным операторам Т, для которых точкой спектра неизбежно оказывается и точка z — оо. Имею щиеся в этом направлении стандартные результаты недо статочны для интересующих нас примеров. Некоторые специальные применимые в этом случае конструкции бу дут рассмотрены в гл. VIII.
2.3.Связь спектров данного и обратного операторов. Как нетрудно заключить из сказанного выше, изучение спектра ограниченного оператора существенно проще, чем спектра неограниченного. Выше отмечалось также, что неограниченность операторов, порождаемых дифференци рованием, частично компенсируется во многих случаях ограниченностью соответствующих обратных операторов. Покажем, что информация о спектре оператора Т-1 весь ма полезна при изучении спектра Т.
Л е м м а . Если Т: 53 ->• Зд —неограниченный замк нутый оператор, для которого оператор Т“х существует,
ограничен и задан на |
всем Si (О ЕЕ р Т), то число р Ф О |
принадлежит спектру |
Т тогда и только тогда, когда |
X = (л-1 принадлежит спектру Т"1. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно установить со |
ответствие между резольвентными множествами соответ ствующих операторов. Пусть сперва р ЕЕ рТ. Тогда опе
ратор |
Е + р, (Т — (A)'1 |
Т (Т — р)'1 = |
|
ограничен. Но Т(Т — р)-1 = |
[(Т — р) Т*1]"1 = р [X— Т”1]'1, |
т. е. ХерТ-1. |
|
Если же X е рТ“*, то ограничен оператор Т-1 (X— Т'1)"1 = [(X— Т"1) ТГ1 = Х[Т — рГ1
и, следовательно, р ЕЕ рТ -И
30 |
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ |
|
|
Ясно, |
что в сделанных предположениях всегда |
0 ЕЕ |
|
ЕЕ СаТ-1. |
Очевидно также, что если |
р, ЕЕ РоТу то |
X ЕЕ |
ЕЕ РоТ-1 |
и размерности соответствующих собственных |
||
подпространств совпадают. |
|
|
|
§ 3. Специальные классы операторов |
|
||
3.0. Предварительные замечания. |
Операторы, инду |
цируемые конкретными операциями анализа (дифферен цированием, интегрированием, операцией умножения на функцию и т. п.), обладают, как нетрудно предвидеть, целым рядом специальных свойств, для описания которых могут быть использованы характеристики, допускающие абстрактное определение. Эти характеристики, как пра вило, теснейшим образом связаны со свойствами спектра соответствующих операторов, и естественно привести их определения в главе, посвященной спектральной теории.
Основным объектом рассмотрений данного параграфа являются так называемые вполне непрерывные операторы (ВН-операторы). Изучение спектра этого класса операто ров удается достаточно далеко продвинуть, отправляясь непосредственно от их основного свойства: «почти конеч номерности».
Два последних пункта содержат краткое описание не которых других специальных типов операторов.
3.1. ВН-операторы. Определение и основные свойства. Операторы, обратные к операторам, порождаемым диффе ренцированием, обладают зачастую свойством, более сильным, чем обычная ограниченность: они обладают так называемой полной непрерывностью (являются ВН-опе- раторами). Исходные определения естественно привести на языке отображений 5-пространств.
О п р е д е л е н и е . Множество @ d 58 компактно в ZB, если из всякой бесконечной последовательности эле ментов {хп}, лежащих в (&, можно выбрать подпоследо вательность, сходящуюся к некоторому элементу х ЕЕ 59.
Компактность @, определенная таким образом, назы вается иногда секвенциальной. Из определения следует,
что компактное множество замкнуто и |
ограничено. |
|
О п р е д е л е н и е . |
Оператор Т: |
->■ Шч вполне |
непрерывен, если для |
любого ограниченного множества |