книги / Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы
..pdfТогда граничное условие для функции ^ ( z j |
в криво |
линейной ортогональной системе координат будет |
|
Ч 'Й Ь e 2u[cp(f) + cp(t)- /V+iTJ-tcp'(t), |
( o .is ) |
откуда следуют граничные условия для неизвестных функций
v 'Vt |
У (ъ, t y = у» Щтг^-4 - |
х 0 Щ |
У ) + |
|
|
эу |
~° |
зх |
, |
+ eos2cC[2P(x<,iyJ -Mj+Tsin2<£ |
У(Уо,%)= X
+ sin 2<xL2P(rO/y0j-/l/J +Tcos 2rf.
(0 .16)
-f
Таким образом,- решение получается на трех электри ческих моделях, на границах которых заданы контурные значения соответствующих ( Р ,1/ и V ) функций* Оба метода позволяют решать лишь плоскую задачу теории упругости, а ее полное решение требует неоднократного построения электрических моделей, что в известной мере снижает эф фективность этих методов.
Попытка приближенного решения объемной задачи пред принята в работе /6 4 /, где напряженное состояние ослаб ленного экскавацией породного массива определяется из известного распределения конвергенции точек кровли и поч вы горной выработки. Так, вертикальное перемещение вы
ражено зависимостью /6 5 / |
|
|
|||
W ”" J ] S2()-.$) Fw ( - | г > |
|
(0 .17) |
|||
где |
g fp, ^-конвергенция |
точек поверхности выработки; |
|||
|
|
|
^-некоторая безразмерная аналити |
||
чески |
определяемая функция; |
с/Д = d ficlty-элемент поверх |
|||
ности |
выработки; |
^ |
- координаты |
точек на поверхности |
|
выработки. |
|
|
|
|
|
Интегрирование ведется по всей поверхности выработки, |
|||||
на которой задано |
распределение ,J>? |
, последнее в данной |
11
работе предлагается находить с помощью моделирования на АВМ сеточного типа. Так были получены экспериментальные результаты, соответствующие двум отработанным угольным пластам. Угольный пласт и вмещающие толщи моделирова лись с помощью ортогональной сетки электрических сопро тивлений 1 2 0 x 1 2 0 x 5 1 . Следовательно, для предлагаемого метода необходимы аналоговые машины с числом элементов порядка 1С@ и более. Между тем число элементов в обыч ных АВМ сеточного типа имеет порядок 1 0 ^ и редко до стигает 104. Несмотря на огромное число элементов сетки, автору работы /6 5 / не удалось учесть сложную геометрию целика и выработанного пространства. Заметим, что оделен ное определение смещений по (0 .1 7 ) сушественно услож няет процесс решения.
Методически хорошо обосновано электрическое модели рование контактных задачтеории упругости /3 2 /. Оно ши роко применимо при решении задач строительной механики.
Эта электроаналогия стала возможной благодаря сведению ре шения контактной задачи о давлении штампа на упругое полупро странство к решению уравнения Лапласа при соответствую щих граничных условиях. Соответствующие компоненты тен зора напряжений таковы:
г
(0 .1 8 )
1 2
где |
модуль сдвига; функция |
Ц>= |
J ~ |
с/з |
|
потенциал простого слоя с плотностью нагружения |
|
||||
и |
удовлетворяет |
равенствам |
на |
поверхности |
|
полупространства |
- О: |
|
|
|
|
ЪЦ |
= 2 &p(x,i>), |
(х,у)с: S'2 ; |
1 ^ = 0 , |
|
|
W |
|
(0 .19) |
|||
|
|
|
|
|
|
и внутри его |
|
|
|
|
|
|
|
4 Z 4 '^ 0 . |
|
(0 . 2 0 ) |
Представление решения (18) через гармоническую функ цию е граничными условиями вида (19) позволяет интегри рование уравнения Лапласа производить на электрических моделях - в электролитической ванне. При заданной плот ности тока через электрод, находящийся на поверхности электролита трехмерной ванны полусферической формы, в на ходящемся под ним пространстве возникает поле электри ческого потенциала простого слоя
V *4*-О, |
(0.21) |
|
$ |
(0.22) |
|
f ~Q; |
||
Граничные условия при этом будут |
||
| | = _ £ 76с, у), (х,у)<= | | =0 |
■ (0 .23) |
Методика проведения, эксперимента по определению осадки исследуемого штампа и реактивного давления под
ним описана в работе /3 2 / и заключается в следующем. При исследовании осадки плоского произвольного контура
штампа вначале измеряют сопротивление f?9 между испы туемым электродом, геометрически подобным основанию штампа и корпусом ванны. После этого заменяют испытуе
мый электрод круглым и измеряют сопротивление |
. |
В результате находят искомую осадку штампа как |
|
о |
|
13
|
|
Wp = W . |
> |
( 0 .2 4 ) |
|
fo -fl p |
|
||
x / |
|
^ |
|
|
где Yvc — |
|
~~ осадка круглого штампа при той же |
прижимающей силе P-FQ-PB*
При нахождении давления под штампом вначале изме ряют силу тока % , проходящего через исследуемый
электрод; далее, заменяя исследуемый электрод электродом круглой формы, - силу тока ^ 0 , После этого давление под штампом определяется выражением
|
Ро-~Ь(ж!\7- |
и. |
(0 .2 5 ) |
|
|
2игам {а* - 7 |
ио |
|
|
где |
Go - отношение радиуса |
круглого электрода к |
||
радиусу круглого штампа; |
-расстояние |
от центра |
||
круглого |
электрода; |/ э |
-разность потенциалов между |
испытуемым электродом и исследуемой точкой под ним; \[0~ разность потенциалов между круглым электродом и иссле
дуемой точкой под |
ним, находящейся на расстоянии |
|
о г центра. |
|
|
Следовательно, |
здесь решается задача |
о плоском штам |
пе произвольной формы при отсутствии сил |
трения по кон |
такту его с полупространством. Необходимость построения калибровочной модели вызвана неоднозначным соответствием величин модели оригиналу.
В ряде публикаций предпринята попытка определить напряженное состояние породного массива, ослабленного подземными выработками. Так, в работе / 7 / рассматрива ется возможность применения метода ЭГДА для определения дапряжений вокруг горных выработок, поддерживаемых лен точными целиками. Авторы утверждают, что при решении соответствующей плоской задачи теории упругости доста точно аналогии между дифференциальными уравнениями сов местности (уравнениями Леви) для оригинала и уравнениями для электрического тока модели. В работе не рассмотрены граничные условия в исследуемой упругой системе и сопо ставляемой ей электрической модели. В этом случае гранич-
1 4
ные условия оригинала и модели, не совпадают. В работах /9, 23, 26, 3 7/, посвященных применению геометрически подобных моделей типа ЭГДА для нахождения напряженного состояния породного массива, ослабленного проходкой гор ных выработок, рассматривается следующее представление напряжений (плоская задача теории упругости)
J бу =4г 6 "У $
где ■'f' |
i |
д& |
|
U |
> |
|
|
гармоническая функция. |
|
||
Подобное представление компонент тензора напряжений, |
|||||
предложенное ранее в |
работе /5 |
7 / для моделирования |
на |
||
пряженного |
состояния основания |
сооружений, не позволяет |
учесть условия на границе полости, имитирующей выработку. Для удовлетворения граничных условий необходимо знать распределение напряжений вдоль контура полости. Последнее в задаче нагруженности упругого целика является величиной, подлежащей определению. Следует отметить, что задание граничных условий даже при известном характере распреде ления напряжений на границах полости, предложенное в ра боте /3 6 /, усложняет процесс моделирования, особенно при решении объемной задачи.
Непосредственному определению нагрузок на ленточные и столбчатые целики элекгроаналоговым путем посвящена работа /1 7 /. В ней результаты, полученные на моделях ЭГДА, переносили на решения плоской задачи о ленточных целиках и объемной задачи о *сголбчатых целиках. Как отме чено выше, в моделях ЭГДА не выполняются граничные ус ловия плоской задачи, а для объемной задачи теории упру гости, кроме того, нарушается изоморфизм дифференциальных уравнений модели и оригинала. Поэтому перенесение резуль татов, полученных с помощью таких моделей, на исследуемые процессы оригинала неправомерно.
Таким образом, решение задачи о нагруженности упругих целиков произвольной формы, в плане аналитическими мето дами теории упругое га в настоящее время невозможно;. Э гог вывод справедлив и в отношении электроаналоговых сеточных
методов ввиду ограниченности числа узлов сеток для изуче
15
ния нагруженноеги обширных комплексов, содержащих десят ки и согни целиков неправильной формы. Один из возможных путей решения задачи - аналоговые .модели со сплошной электропроводной средой. Однако применение ЭГДА нарушает основные условия подобия. Следовательно, решение вопроса о нагруженное ги целиков сложной формы в плане нуждается
вдополнительном исследовании.
Внастоящей работе рассматривается задача о нагру-
жекносги упругих целиков произвольной формы .в плане под держивающих полость (очистное пространство) сложной кон фигурации в упругом однородном изотропном пространстве.
При этом предполагается, что материал целиков отличен от материала пространства (вмещающих пород).
В первой главе дано обоснование предлагаемой электроаналогии. Рассмотрена возможность применения электроана логии при решении задач теории упругости о полупростран стве. Сформулирован оригинал задачи - математическая мо дель нагруженное ги упругих целиков в терминах потенциала простого слоя, учитывающая сложную геометрию полости и поддерживающих ее упругих целиков. Опираясь на теорию по добия и элекгроаналогию при решении контактных задач, по строена аналогичная упругой электрическая модель,.
Вторая глава посвящена экспериментальной разработке методики элекгромоделирования нагруженносги упругих це ликов. Подробно описан . эксперимент и дана оценка погреш ности электроаналогового метода. Описаны элекгроаналоговые устройства, существенно повысившие эффективность исполь зования предлагаемой элекгроаналогии. Решен ряд тестовых задач о нагруженносги ленточных и круглых в плане столб чатых целиков. Результаты моделирования сопоставлены с результатами базового аналитического решения.
Третья глава содержит примеры исследования нагружен носги поддерживающих целиков. Выявлен характер распреде ления давлений и нагрузок на целики грех участков Джезказ ганского месторождения. Показаны значительная неравномер ность нагружения и локальный характер перераспределения давлений на целики при их частичной выемке в панелях. Уста новлено, что отклонение результатов моделирования от на турных данных не превышает погрешности последних.
Г л ав а 1.
ОБОСНОВАНИЕ ЭЛЕКТРОАНАЛОГИИ НАГРУЖЕННОСТИ УПРУГИХ ЦЕЛИКОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
В основе теории моделирования лежит изоморфизм урав нений двух сопоставляемых явлений. Ниже рассматривается вопрос об изоморфносги уравнений и граничных условий для некоторых задач теории упругости и теории электричества; дается конкретное изложение метода элекгрозналогии приме нительно к задачам механики /11, 15, 17/.
Значения физических величин и определяющих соотношений приводятся в международной системе единиц СЙ /4 3 /.
1.1, Электроеналоговое решение задачи для полупространства
Рассмотрим статическую задачу теории упругости для полупространства Ъ?>0.
Воспользуемся общим представление^ век тощ переме
щения через гармонические функции |
Воу В“ Ц Вч+ B jt138 3- |
^редсгавлением Папковича - Нейбера |
/2 8 / |
tf =4&-v;B-7(R-g+B.) |
(1.1 ) |
при условии на границе
А
(1.2 )
1 7
где |
R - |
радиус-^векгор; V |
- коэффициент Пуассона; |
L^~ |
|
орг |
оси |
Z * f^, - |
вектор |
распределенных по ча^ги |
»S' гра |
ницы Z-0 полупространства поверхностных сил; Т - |
тен |
||||
зор |
напряжений. |
решается вторая основная задача |
теории |
||
|
Следовательно, |
упругости для полубесконечной упругой среды. Она разбива ется на две частные задачи.
Первая относится к случаю, когда на границе задано только нормальное нагружение
Z=0; |
Fz |
|
; |
Fx =0 ; |
Fy = 0 . |
|
U*3) |
|||
Достаточно сохранить две гармонические функции |
В3 |
|||||||||
и В!г которые связаны между собой условием |
/ 2 8 / |
|
||||||||
|
|
|
K |
- |
. b |
- |
t y l |
r |
|
(1 .4) |
|
|
|
|
|
||||||
|
Из представления |
(1 ,1 ) |
и |
условий (1 .3 ), |
(1 .4 ) |
сле |
||||
дует, |
что |
В3 |
есть потенциал простого слоя, |
распределен |
||||||
ного |
на поверхности 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
в |
А-ЗГ/л _ |
Р |
|
2 * 5 . |
|
|
|
||
|
Ь - |
к Р |
|
|
|
|
||||
с плотностью |
S' |
|
|
|
Р С х-,у ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Е - модуль упругости. |
•/и ~2.(М) > |
|
Тогда компоненты тензора напряжений можно записать |
|
в виде |
|
k 5* |
|
|
- |
a |
i- i |
' (1 -6 ) |
|
- э ; э . ( Z B ; + в ; ; ; |
0 ; й |
; |
. |
Развернутая запись этого выражения представлена равенст
вами |
(0 .1 8 ) - формулами Герца * /3 3 /. |
|
|
Граничные условия для скалярной гармонической функции |
|
•очевидны - они. обусловлены скачком |
нормальной производной' |
|
при |
переходе через поверхность слоя |
2 - 0 • |
.18
|
Mk |
( PfxfrJ |
|
-2 |
=]~J |
2 jM *,^i h s 'U - 7 ) |
|
dz |
+z( |
0, (*№$', |
|
|
|
где Л Urг-обозначение поверхносгной дивергенции. Следует^ отметить, что тангенциальные составляющие aftadВт, непрерывны на границе 2 = 0 в виду тождества
fot<pcac/=0 .
Таким образом, решение задачи о нормальном нагру жении полупространства приводится к решению внешней за дачи Неймана теории потенциала.
Для решения второй частной задачи (задачи Черрути)
н = 0 : Fx = % (x;y'j,F v ^ / x ; y ) , Fa~0. <i.e>
представляют вектор перемещения через гармонический век
тор |
] удовлетворяющий всюду |
|
|
|
|
||
|
|
(Li/О' В |
= 0f |
|
|
|
(1.9) |
|
|
г 2 В " = о |
|
|
|
( 1.10) |
|
и скалярную гармоническую функцию |
|
|
|
|
|||
|
В ' - - (&"В") ~2(d-2)l)fkjdz . |
|
(1.1 1 ) |
||||
Тогда, |
использовав представлениеz (1 .1), получим |
|
|||||
|
=2 |
+ |
/8з<^z ]. |
(1.12) |
|||
Из равенства (1 .12) и краевых условий |
(1.8) |
имеем |
|||||
компоненты вектора |
как потенциалы простых слоев / 2 2 / |
||||||
В'- 1 |
IN |
' |
- OJiJVl\i r; |
1 |
, |
R |
|
|
R.' |
; |
8TJH(4-V) |
|
: “S (le l3 ) |
||
Оставшаяся компонента вектора определяется из условия |
|||||||
(1’9 |
I |
Г (эс-х'ЫхУ)+ Ь-и')^(хЩ3 |
|||||
в;=- tope-yJs' |
R.'(k'+z) |
|
|
.U .1 4 ) |
19
Выражение (1 .1 4 ) справедливо при (л(/1>В-0 всюду в рассматриваемой области. Для физической интерпретации поля вектора в/3 > определяемого равенствами (1 .1 3 ) и (1 .1 4 ), обратимся к следующим преобразованиям.
Если дивергенция гармонического вектора всюду равна нулю, то последний соленоидальный и представим в виде ро тора соленоидального вектора
В"3* i o t K , |
dbvk^O. |
|
( l . i s ) |
Возьмем дважды ротор от обеих частей |
равенства |
(1 .1 5 ), |
|
в результате получим |
|
|
|
= |
= fytkotttd К , |
(1 .1 6 ) |
|
согласно тождеству CjfcadcLi/t> = |
условию (1 ,9 ). |
Известно также, что если ротор некоторого вектора равен нулю, го последний есть градиент некоторого скаляра, поэтому
>и>Шк= - V 2/ f = |
Ф (х,У,г) ■ |
(1 .1 7 ) |
||
Решением уравнения |
Пуассона |
(1 .1 7 ) |
является равенство |
|
К ~ ~ |
liVT |
|
|
(Х .18) |
|
|
|
||
или с учетом |
|
|
|
|
- |
'vAtotK = ytadcp(x, ilfz j |
(1.19) |
||
получим |
|
|
|
|
z*-4 r.t |
Я' |
dv |
( 1.20) |
|
Решение (1 .1 8 ) |
уравнения |
(1 .1 7 ) |
справедливо |
с точ |
ностью до некоторого гармонического |
вектора /г |
|
склгЛ/-о, |
|
|
|
Robtd$= |
gbatJffcy); |
|
|
где |
_ f |
r |
j |
|
тL |
at>■ |
(1.21)
( 1.22)
2 0