книги / Сборник задач по аналитической геометрии
..pdfУДК 378 Б Б К 51 К 4 8
Клетеник Д. В.
К 48 Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие для вту зов. — 17-е изд. — СПб., Изд-во «Профессия», 2010 — 200 с., ил.
Содержит около 1300 задач по аналитической геометрии на пло скости и в пространстве. Настоящее (семнадцатое) издание практически не отличается от предыдущего (1986 г.).
Для студентов высших технических учебных заведений.
ISBN 5-93913-037-2
Издательство «Профессия» Санкт-Петербург, 191002, а/я 600
Факс: (812) 740-12-60, e-mail: bookpost@profcssija.ru
Подписано в печать 15.11.2010. Формат 60x88'/,,.. Объем 12,5 п.л.
Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 2000 экз. Заказ № 169.
Отпечатано в типографии ООО «ИПК “Бионт”» 199026, Санкт-Петербург, Средний нр. ВО., д. 86,
тел. (812) 322-68-43
УДК 378 Б Б К 5 1
ISBN 5 -93913-037 -2 |
© Клетеник Д. В., 1998 |
|
© Издательство «Профессия», 2009 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
Ч а с т ь п е р в а я
А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Н А П Л О С К О С Т И
Г л а в а 1. П ростейш ие задачи аналитической геометрии на
п лоскости ..................................................................................................
§1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямо» (5). §2. Декартовы прямо угольные координаты на плоскости (7). §3. Полярные координаты (8). §4. На правленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции от резка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками (11). §5. Деление отрезка в данном отношении (14). §6. Площадь треугольника (17). §7. Преобразование координат (18).
Г л а в а 2. Уравнение линии.................................................................................
§8. Функция двух переменных (21). §9. Понятие уравнения линии. Зада ние линии при помощи уравнения (22). § 10. Вывод уравнений заранее данных линий (24). § 11. Параметрические уравнения линии (27).
Г л а в а 3. Л инии первого п ор я д к а.................................................................
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффици ентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпенди кулярности двух прямых (29). § 13. Неполные уравнения прямой. Совмест ное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «о от резках» (36). § 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (39). §15. Уравнение пучка прямых (43). §16. Полярное уравнение прямой (46).
Г л а в а 4. Геом етрические свой ства линий второго п оряд ка...
§17. Окружность (48). §18. Эллипс (53). §19. Гипербола (62). §20. Па рабола (70). §21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы (74). §22. Диаметры линий второго порядка (76).
Г л а в а 5. Упрощ ение общ его уравнения линии второго поряд к а. Уравнения некоторы х кривых, встречаю щ ихся в м атематике и ее п рилож ениях.............................................
§23. Центр линии второго порядка (79). §24. Приведение уравнения цен тральной линии второго порядка к простейшему виду (81). §25. Приведение параболического уравнения к простейшему виду (85). §26. Уравнения некото рых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях (87).
4
Ч а с т ь в т о р а я
А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Г л а в а б. Н екоторы е простейш ие задачи аналитической |
гео |
метрии в п р остр ан стве.................................................................... |
93 |
§27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве (93). §28. Рас стояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении (94).
Г л а в а |
7. |
Векторная ал геб р а .............................................................................. |
97 |
§29. Понятие вектора. Проекция вектора (97). §30. Линейные операции |
|||
над векторами (99). §31. Скалярное произведение векторов (104). |
§32. Век |
||
торное произведение векторов (107). §33. Смешанное произведение трех век |
|||
торов (110). §34. Двойное векторное произведение (Ш ). |
|
||
Г л а в а |
8. |
Уравнение поверхности и уравнения линии................... |
113 |
§35. Уравнение поверхности (113). §36. Уравнения линии. Задача о пере сечении трех поверхностей (115). § 37. Уравнение цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными одной из координатных осей (116). |
|
Г л а в а 9. Уравнение плоскости . Уравнения прямой. У равн е |
|
ния поверхностей второго п ор я д к а ....................................... |
118 |
§38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор (118). § 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках» (121). § 40. Нормаль ное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости (122). § 41. Уравне ния прямой (126). §42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравне ния прямой. Параметрические уравнения прямой (128). §43. Смешанные зада чи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой (132). §44. Сфе ра (137). §45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символи ке (140). §46. Поверхности второго порядка (143).
П р и л о ж ен и е . Элементы теории определи телей ................................. |
153 |
§ 1. Определители второго порядка и система двух уравнений первой сте пени с двумя неизвестными (153). §2. Однородная система двух уравнений
первой степени с тремя неизвестными (155). |
§ 3. Определители третьего по |
рядка (156). §4. Свойства определителей |
(157). §5. Решение и исследо |
вание системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными (160). |
|
§6. Определители четвертого порядка (162). |
|
Ответы и указан ия к задачам |
164 |
Ча с т ь первая
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Г л а в а п ер вая
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой
Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А к В, называется направ ленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается симво лом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к кон цу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина от резка АВ обозначается символом А В , его длина— символом |АВ |. Если точки Л и В совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = В А = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным).
Пусть дана произвольная прямая о. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какуюнибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.
Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:
х = ОМ.
Точка О называется началом координат, ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х) означает, что точка М имеет координату х.
Если Mi (x i) и Мг (х г )— две произвольные точки прямой а, то формула
Ml М2 = Х2 —Х\
выражает величину отрезка Mi М2, формула
IM1M2 |= |Х2 — xi |
выражает его длину.)*
*) Обычно на чертежах у горизонтальных осей положительным назначается направление слева направо.
6 |
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ |
[Гл. 1 |
1. Построить |
точки А (3), Я (5), (7 ( - 1 ), |
D {2/3), Е (-3 / 7 ), |
F { / 2 ) , Я (-ч/ б).
2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют урав
нениям: |
1) |х |= 2; |
2) |
|я — 1 1= 3; 3) |
11 — х |= 2; |
4) |
|2 + х |= 2. |
|||||||||||||
3. Охарактеризовать геометрически расположение точек, ко |
|||||||||||||||||||
ординаты |
которых |
|
удовлетворяют |
неравенствам: |
1) |
х |
|
> |
2; |
||||||||||
2) |
х - 3 |
^ |
0; |
3) |
12 - я |
< 0; |
4) |
2х - 3 |
^ 0; |
5) |
За: — 5 |
> |
0; |
||||||
6) 1 < х < 3; 7) —2 ^ |
^ 3; 8) § 5 f > 0; 9) |
|
|
|
> 1; |
||||||||||||||
10) |
| 5 f |
< 0; |
И ) Y = T |
< 1; |
12) z2 -8 a ;+ 1 5 ^ |
13) s 2 - 8 z + 1 5 |
> |
О; |
|||||||||||
14) |
а:2 Н- а: — 12 > 0; |
15) |
х2 + х - |
12 ^ |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 . Определить величину АВ и длину |
|АВ | отрезка, заданного |
||||||||||||||||||
точками: |
|
1) |
А (3) |
и |
В (11); 2) |
А (5) |
и |
В (2); 3) |
А ( - 1 ) |
и |
Я (3 ); |
||||||||
4) |
А { - 5) |
и |
В (—3); |
5) |
А ( - 1) и В ( - 3); 6) |
А { - 7) и |
Я ( - 5 ) . |
|
|
||||||||||
5. Вычислить |
координату точки А, |
если |
известны: |
1) |
|
В (3) |
|||||||||||||
и АВ = 5; 2) В (2) и АЯ = - 3 ; 3) В ( - 1 ) и ЯА = 2; 4) |
Я ( - 5 ) |
||||||||||||||||||
и ЯА = |
—3; |
5) |
Я (0 ) |
и |
|АЯ| = 2; 6) |
Я (2) и |
|АЯ| = 3; |
7) |
Я |
( - 1) |
|||||||||
и |АЯ |= 5; |
8) Я ( - 5 ) |
и |АЯ| = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. Охарактеризовать геометрически расположение точек, коор |
|||||||||||||||||||
динаты которых удовлетворяют следующим неравенствам: |
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
|х | < |
1; |
2) |
|х |> |
2; 3) |
\х \^ 2; |
4) |
\х\ Z 3; |
5) |
\ х - 2 \ < |
3; |
6) | * - 5 | £ 1; 7) |® — 1 1 ^ 2; 8) | s - 3 | £ 1; 9) |® + 1| < 3;
10) |®+ 2|> 1; 11) |® + 5 1^ 1; 12) |® + 11^ 2.
7. Определить |
отношение |
Л |
= |
А С /С В , |
в |
котором точка С |
|||
делит отрезок АЯ |
при следующих данных: |
1) А (2), Я (6) и (7(4); |
|||||||
2) А (2), Я |
(4) и |
С (7); 3) А |
( - 1), |
Я (5) |
и |
(7(3); 4) А (1), |
Я (13) |
||
и (7(5); 5) |
А (5), |
Я ( - 2) и С ( - |
5 ) . |
|
|
|
|
|
|
8. Даны |
три точки А ( - 7 ), |
|
Я ( - 1) и |
(7(1). |
Определить |
отно |
шение Л, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
9. Определить отношение Л = М\М/ММ2 , в котором данная точка М (х) делит отрезок Mi М2 , ограниченный данными точка
ми |
Mj (х \) и М2 (т2). |
|
|
|
|
|
10. Определить координату х точки М , делящей отрезок М1М2 , |
||||
ограниченный данными точками |
Mi{x\) и М 2 (т2), в данном от |
||||
ношении А (А = М1М /М М 2). |
|
|
|
|
|
|
11. Определить координату х середины отрезка, ограниченного |
||||
двумя данными точками M \{xi) |
и М2 (т2). |
|
|
|
|
|
12. Определить координату х середины отрезка, ограниченно |
||||
го двумя данными точками, в |
каждом из |
следующих |
случаев: |
||
1) |
А (3) и Я (5); 2) С ( - 1 ) и D (5); 3) M i ( - 1 ) |
и М 2 ( - 3 ) ; |
4) |
Рг ( - 5 ) |
|
и Я2 (1); 5) Q i(3) и Q2 ( - 4 ) . |
|
|
|
|
|
13. Определить координату точки М , если известны: |
1) |
M i (3), |
|||
М 2 (7) и А = М1М /М М 2 = 2; 2) |
А (2), Я ( - 5 ) |
и А = AM /М В = 3; |
§2] |
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ |
7 |
|
3) |
£ ( - 1), D {3) и А = C M /M D = 1/2; |
4) А ( - 1), В { 3) |
|
и А = AM /М В = - 2 ; 5) Л ( 1), В ( - 3) и А = |
ВМ /М Л = - 3; |
||
6) Л ( - 2 ) , В (—1) и А = В М /М А = -1/ 2. |
|
|
|
|
14. Даны две точки Л (5) и В ( - 3). Определить: |
|
1)координату точки М , симметричной точке Л относительно точки В ;
2)координату точки iV, симметричной точке В относительно точки Л.
15. Отрезок, ограниченный точками Л ( - 2) и В (19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
16. Определить координаты концов Л и В отрезка, который точками Р (—25) и Q (—9) разделен на три равные части.
§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линей ной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, за нумерованных в каком-нибудь порядке.
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси— коор динатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая— осью ординат.
Начало координат обозначается буквой О, ось аб сцисс— символом Ох, ось ординат — символом Оу.
Координатами произвольной точки М в заданной системе указывают числа
х = ОМх , у = ОМу
(рис. 1), где Мх и Mv суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМх обозначает величину отрезка ОМх оси абсцисс, ОМу— величину отрезка ОМу оси ординат. Число х называется абсциссой точ
ки М, число у — ординатой этой же точки. Символ |
М(х\ у) обозначает, что |
точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число |
у. |
Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, называется правой, дру гая— левой. Точно так же ось Ох разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу, назы вается верхней, другая нижней.
Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, ко торые нумеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью на зывается та, которая лежит одновременно в правой и верхней полуплоскости, второй— лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей— лежащая в левой и в нижней полуплоскости, четвертой— лежащая в правой и в нижней
полуплоскости.
17. Построить точки Л (2 ;3 ), £ ( - 5 ; 1 ) , С ( - 2 ; - 3 ) , D (0; 3), Е ( - 5; 0), F { - 1/3; 2/3).
18. Найти координаты проекций на ось абсцисс точек А (2; - 3 ), В (3 ; - 1 ) , С ( - 5 ; 1), D { - 3; - 2 ) , Я ( - 5 ; - 1 ) .
8 |
|
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ |
|
[Гл. 1 |
||
|
19. Найти координаты проекций на ось ординат точек А ( - 3 ; 2), |
|||||
В (-5 ; 1), С (3; - |
2), D { - 1; 1), Е ( - 6; - |
2). |
|
|
||
|
20. Найти координаты точек, симметричных относительно оси |
|||||
Ох точкам: 1) А (2; 3); 2) |
В ( - 3 ; 2); 3) |
С { - 1; - 1 ) ; 4) £ > (-3 ; |
- 5 ) ; |
|||
5) |
Е (—4; 6); 6) |
F (a ; b). |
|
|
|
|
|
21. Найти координаты точек, симметричных относительно оси |
|||||
Оу точкам: 1) А { - 1; 2); 2) 5 ( 3 ; - 1 ) ; 3) С ( - 2; - 2 ) ; |
4) D { - 2; 5); |
|||||
5) |
Е ( 3; - 5 ) ; 6) F (a ; 6). |
|
|
|
|
|
|
22. Найти координаты точек, симметричных относительно на |
|||||
чала координат |
точкам: |
1) Л (3; 3); |
2) 5 ( 2 ; - 4 ) ; |
3) С ( - 2 ;1 ) ; |
||
4) |
5 ( 5 ; - 3 ) ; 5) |
Е ( - 5 ; - 4 ) ; |
6) F (а; Ь). |
|
|
|
|
23. Найти координаты точек, симметричных относительно бис |
|||||
сектрисы первого координатного угла точкам: 1) А (2; 3); 2) |
5 ( 5 ; |
|||||
- 2); 3) С (—3; 4). |
|
|
|
|
||
|
24. Найти координаты точек, симметричных относительно бис |
|||||
сектрисы второго координатного угла точкам: 1) А (3; 5); 2) 5 |
(—4; |
|||||
3); |
3) С (7; - 2). |
|
|
|
|
|
. 25. Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М {х\ у), если: 1) ху > 0; 2) ху < 0; 3) х - у = 0; 4) х + у = 0; 5) х + у > 0; б) х + у < 0; 7) х - у > 0; 8) х - у < 0.
§ 3. Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, на зываемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказа но, какие повороты вокруг точки О считаются по ложительными (на чертежах обычно положитель ными считаются повороты против часовой стрел
ки).
ОА Полярными координатами произвольной точки
Р и с. 2 |
М (относительно заданной системы) называются |
числа р — ОМ и в — ZAOM (рис. 2). Угол в при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или полярным радиусом, число в — второй координатой, или полярным углом точки М (0 называют также амплитудой) *).
Символ М (р; в) обозначает, что точка М имеет полярные координаты р ив . Полярный угол в имеет бесконечно много возможных значений (отличаю щихся друг от друга на величину вида ± 2п7г, где п— целое положительное чис ло). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам —7г < 0 ^ +7Г,
называется главным.*
Здесь ОМ обозначает д л и н у отрезка, понимаемую, как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учета знака). Употреблять более громоздкий символ \ОМ\ в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рас сматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и дальше.
§3] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 9
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем ко ординат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при опреде
лении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т.е. ось Ох на правлена вправо, а ось Оу— вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, т.е. положительными следует считать те углы, которые отсчитыва ются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с на чалом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с поло жительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
x = pcosO, y = ps\nO.
В этом же случае формулы
р = у/ х2 + у2 , tg 0 = |
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременном рассмотрении о дальнейшем двух полярных систем ко ординат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб
для обеих систем одинаковыми. |
|
|
||||
26. Построить |
точки, |
заданные |
полярными |
координатами: |
||
А (3; |
тг/2), |
В ( 2; |
тг), С (3 ; |
-тг/4), D {4; |
22/7), Е { 5; |
2) и F ( 1; - 1) |
(для |
точек |
D, Е |
и F выполнить построение приближенно, поль |
зуясь транспортиром).
27. Определить полярные координаты точек, симметричных
относительно |
полярной |
оси точкам |
Mi (3; 7г/4), |
Мг (2; - 7г/2), |
Мз (3; —7г/3), |
Ма (1; 2) |
и Ms (5; - 1 ) , |
заданным в |
полярной си |
стеме координат.
28 . Определить полярные координаты точек, симметричных от
носительно |
полюса |
точкам |
М\ (1; тг/4), |
М2 (5; 7г/2), М з(2; —7г/3), |
||
Mi (4; 57г/6) |
и Ms (3; - 2 ) , |
заданным в |
полярной |
системе коорди |
||
нат. |
|
|
|
|
|
|
29. В полярной |
системе координат даны |
две |
вершины |
|||
А (3; —47г/9) |
и В ( 5; 37г/14) параллелограмма ABCD, |
точка пе |
ресечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить
две другие вершины этого параллелограмма. |
|
|
||||
30. В |
полярной |
системе координат даны точки А (8; -2тг/3) и |
||||
В (6; 7г/3). |
Вычислить полярные координаты |
середины |
отрезка, |
|||
соединяющего точки А и В. |
точки А (3; 7г/2), |
|||||
31 . В |
полярной |
системе |
координат даны |
|||
В ( 2 ;-тг/ 4), |
67(1; тг), D (5; |
—Зтг/4), Е ( 3; 2) и |
F ( 2 ; - 1 ) . |
Поло |
жительное направление полярной оси изменено на противополож ное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе.
10 |
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ |
[Гл. 1 |
32. В |
полярной системе координат даны точки |
M i (3; тг/З), |
М 2 (1; 2тг/3), М3 (2; 0), М 4 (5; тг/4), М 5 (3; -2тг/3) и М 6 (1; Птг/12). Полярная ось повернута так, что в новом положении она прохо
дит через точку M i. Определить координаты заданных точек |
в |
|||||
новой (полярной) |
системе. |
|
|
|
|
|
33. В |
полярной |
системе координат |
даны |
точки |
Mi (12; 47г/9) |
|
и М2 (12; -27 г/9). |
Вычислить полярные координаты середины |
|||||
отрезка, соединяющего точки Mi и М2. |
|
|
|
|||
34. В |
полярной |
системе координат |
даны |
точки |
Mi (рх; в\) |
и |
М2 (р2; #2)• Вычислить расстояние d между |
ними. |
|
|
|||
35. В |
полярной |
системе координат |
даны |
точки |
М\ (5; 7г/4) |
и |
М2 (8; -тг/12). В ычислить расстояние |
d между ними. |
|
36. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата Mi (12; -я/Ю ) и М2 (3; 7г/15). Определить его площадь.
37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Р ( 6; —7я-/12) и Q (4; 7г/6). Определить его площадь.
38 . В полярной системе координат даны две вершины пра вильного треугольника А (4; -тг/12) и В (8; 77г/12). Определить его площадь.
39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (рх; 01) и В (р 2; 02). Вычислить площадь этого треугольника.
40 . Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5; 7г/4) и В (4; тг/12). Вычислить площадь этого •треугольника.
41 . Вычислить площадь треугольника, вершины которого А (3; тг/8), В (8; 77г/24) и С (6; 5тг/8) заданы в полярных координатах.
42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе коорди нат даны точки M i (6; я/2), М 2 (5; 0), М 3 (2; 7г/4), М 4 (10; —7г/3), М5 (8; 27г/3), Мб (12; —тг/6). Определить декартовы координаты этих точек.
43 . Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной
системе координат даны точки |
M i (0; 5), М 2 ( - 3 ; 0), М 3 (\/Т; 1), |
М 4 (—s/T; -«/ У ), М 5 (1; —/ 3 ) . |
Определить полярные координа |
ты этих точек. |
|