книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfа'1 = 0 ( Ш ), |
если |
Ш » 1 . |
(10.4.6Ь) |
В качестве конкретного примера рассмотрим случай, когда заданный скос потока на крыле не зависит от у. Тогда, согласно соотношениям (9.2.5,6), полагая в них г = 1, получим на крыле
(х) sin 0, |
0 = arccos^^-^ |
( 10 .4 .7а, b) |
Подстановка соотношений (10.4.7) в (10.4.4) дает для потен циала на крыле выражение
Ф1г=о+ = г^(^с, t) |
tg*6-|/2, |
(10.4.8) |
из которого распределение подъемной силы по хорде крыла определится по формуле (ср. с (3.3.5))
= 4 ( ^ + M - I <Pk.o+dj/, (10.4.9а)
- | ^ = 2 n t g 2 e ( .^ + IV r '.^ )[A (A :, ()]. (10.4.9b)
Если теперь предположим, что крыло совершает продоль ные колебания относительно оси х = х^, то комплексная амплитуда будет задана уравнением
v{x)= a[\-\-ik {X—XQ)]. |
(10.4.10) |
Подставляя эту зависимость в формулу (10.4.9Ь), получим следующие выражения для коэффициентов подъемной силы и продольного момента:
1 |
? |
dL . |
|
CL tg6 |
J |
дх |
(10.4.11а) |
= : ^ n l a [ l - \ - i k ( ± - x , ' ) + k ^ ( ± x , - ^ ) ] |
(10.4.11b) |
= |
( 4 t .- A T )f d;,. |
(I0.4.12a) |
Cu —2 |
[ ” CT “ |
- |
ik (I _;(„)= + /e' ( 4 - 4 ^. + 1 X j) ] (1 0 .4 .12b) |
Отметим, что обращение о нуль демпфирующего момен та при колебаниях относительно оси, совпадающей с зад ней кромкой крыла (XQ = 1), характерно для приближенных
методов теории крыла |
малого удлинения и аналогичной |
ей теории тонкого тела |
(см. главу 12). |
Для того чтобы лучше оценить количественно ограни чения, налагаемые на величину k условиями (10.4.5), рас смотрим приближенное решение (9.4.27) уравнения Гельм гольца, для которого ограничения налагаются условиями
(10.4.6), а не (10.4.5). Полагая в решении (9.4.27) получим
= о (х) { 1 - Q l kU x l g 6 y [ y - - | - - l - l m - l -
-f ln(^l^M x'tg6^]-fO [(A :M xtg 6)n n2(^ M xtg6)]}(10.4.13a)
и
= W(x) I - (^ l |
Ig б У + |
+ |
О [(^Mx tg б)" 1п2 {Ш х tg б)]}. (1 0 .4 .13Ь) |
Теперь, для того чтобы вычислить распределение подъемной силы вдоль хорды крыла, нужно лишь в выражении 00-4.9Ь)
заменить v на а” ’. В результате следующее, более высокое по сравнению C (10.4.11,12) приблил^ение для коэффициен тов подъемной силы и продольного момента крыла, колеб лющегося по закону (10.4.10), будет иметь вид
• Т ^ = [ l + ili ( 4 -Д :о) |
+ 4 ^ ( 4 л. . - 4 ) ] + |
+ ( 1 е У { [ 1 |
+ 1 . ( | - . , ) + |
+ * ” (]• ^ 0 - 4 ) ] [ | п 4 + |— V - ^ i " ] +
CM ■= Г - ( ^ - X o ^ - i k i l - x D -
^ i k { \ - X o Y - \ - k ^ ( ^ y - j X o + ^ x l ' ^ ] X
где нами введен новый параметр |
|
е = - 1 ш 1 = Ш 1Е б , |
(10.4.16) |
который, по существу, является приведенной частотой, отнесенной не к хорде, а к размаху крыла.
Действительная часть выражения (10.4.14) представляет собой производную коэффициента подъемной силы по углу
атаки, деленную на предельное значение , получен
ное Джонсом по теории крыла очень малого удлинения при k==0. Значения этой величины при M X = I и Jto=l/2 построены на рис. 10.2 в функции параметра k, где они срав ниваются C соответствующими приближенными значениями, полученными в работах Мербта и Лэндела 1^®®], поль зовавшихся методом, изложенным в § 9.3, а также с первым
приближением (которое дает точное решение при MX = O), выраженным зависимостью (10.4.1 Ib). Из приведенного сравнения видно, что приближеннью результаты (10.4.11,12)
применимы лишь до значений AMX порядка единицы, при
AMX < 1 они дают достаточно точную |
оценку производ |
||
ных аэродинамической устойчивости. |
Выражениями |
же |
|
(10.4.14,15) |
можно пользоваться при AMX < 2 . |
|
|
В рассматриваемом частном случае, когда функция v не |
|||
зависит от у, |
а двшкение является гармоническим, можно |
||
использовать |
и другие приближенные |
решения главы |
9, |
подставляя соответствующие выражения для функции х W в формулу
-IJ - = |
« е ' 6 ( ^ - 1 - '■*) ( Л |
(X ) X (ел:)). |
(Ю .4 .17) |
В частности, |
решение, полученное |
по теории |
поршня |
(9.1.13), дает следующие выражения для аэродинамических коэффициентов;
|
|
|
т |
- ' } |
( 10.4.18) |
CM |
4 4 1 - |
■o-b-f |
|
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
+ ( , A |
) - i ( l - . c „ ) } |
(10.4.19) |
|
Это приближение подразумевает, что^АМ^ > |
1, так что если |
произведение МХ невелико, то по порядку отброшенных
величин |
C |
|
решением |
|
|
|
|
|
|
|||
(9.1.13) |
|
согласуются |
|
|
|
|
|
|
||||
лишь |
первые |
члены. C |
|
|
|
|
|
|
||||
другой |
стороны, |
если |
|
|
|
|
|
|
||||
ЛМ > |
1, |
то |
отнюдь не |
|
|
|
|
|
|
|||
обязательным |
является |
|
|
|
|
|
|
|||||
требование, чтобы крыло |
|
|
|
|
|
|
||||||
имело очень малое удли |
|
|
|
|
|
|
||||||
нение |
или |
даже |
было |
|
|
|
|
|
|
|||
просто |
узким треуголь |
|
|
|
|
|
|
|||||
ным крылом. Это послед |
|
|
|
|
|
|
||||||
нее замечание |
относится |
|
|
|
|
|
|
|||||
к любому решению урав |
|
|
|
|
|
|
||||||
нения |
|
Гельмгольца, |
|
|
|
|
|
|
||||
включая сюда и решение |
|
|
|
|
|
|
||||||
Мербта |
и Лэндела. |
Рпс. |
10.2. |
Производная |
коэффи |
|||||||
Приведенные |
выше |
|||||||||||
циента подъемной силы по углу |
||||||||||||
результаты теории |
кры |
атаки |
для |
узкого |
(M^ = |
1) |
тре |
|||||
ла малого |
удлинения |
угольного |
крыла, |
колеблющегося |
||||||||
можно |
обобщить, |
поль |
относительно оси, проходящей |
через |
||||||||
зуясь методом, |
изложен |
середину центральной хорды. |
||||||||||
ным в § 9.8. В частности, |
|
|
|
|
|
|
||||||
выражения |
(10.4.11.12) |
и (10.4.14.15) можно обобщить, |
||||||||||
воспользовавшись |
соотношениями |
(9.8.23), |
но |
при |
этом |
появятся интегралы от синуса и косинуса. Мы рассмотрим лишь относящийся к околозвуковым скоростям обтекания результат (9.8.28) в связи с расчетом демпфирования про дольных колебаний (§ 10.6).
§ 10.5. Разложение по степеням частоты
Общая постановка граничной задачи о крыле с разложе нием решения в ряд по степеням параметра частоты х рас сматривалась в § 4.4. Существуют по крайней мере три воз можных подхода к задаче; непосредственное разложение
дифференциального уравнения и граничных |
условий (см. |
4.4.11— 17); разложение трансформации от |
этих уравне |
ний, и, наконец, разложение соответствующего дайной граничной задаче интегрального уравнения. Примеры таких
методов решения даны в работах Хипша |
1"®], Стыоартсо- |
|
на |
и Уоткинса и Бермана |
соответственно. |
|
Метод Хипша строится, опираясь на то обстоятельство, |
что если скос потока (а) на поверхности треугольного крыла задан в координатах (дг, у) полиномом степени п, то соответ
ствующий |
потенциал является |
однородной функцией сте |
|||
пени (п + |
1) переменных (х, у, |
z). Если эту функцию обо |
|||
значить через |
то первые производные ее, |
и |
|||
по заданным ф“”, ф‘“ , ..., |
можно |
определить как |
|||
линейные |
комбинации членов |
вида |
; (ал- f 6f/) |
и т. д. Значения же самой функции ф‘'‘* на крыле (где произ
ведение 2фг”’ обращается в нуль) определяются |
через соот |
ношение однородности |
|
( п + l)ф ‘”>= лф$^^’+ ^/фГ• |
(10.5.1) |
Однако этот метод, по крайней мере в виде, использо ванном Хипшем, недостаточно строг. Так производная фГ на конусе Маха не подчинена никаким граничным условиям, а следовательно, нет никакой уверенности,что соотношение (10.5.1) дает нам правильное решение граничной задачи. К тому же, каковы бы ни были причины, обнаружилось, что результаты Хипша расходятся с результатами, получен ными другими методами (в частности, методом § 10.2 в предельном случае т = 1), а потому за отсутствием более полных обоснований справедливости метода решение Хипша следует считать неудовлетворительным.
Другой подход к решению задачи о треугольном крыле методом разложения в ряд по степеням параметра частоты, также основанный на использовании однородных реше ний ди(|х1)еренциального уравнения, однако свободный от указанных выше недостатков, был предложен Бернд-
TOM Р Ч .
Однако практически он позволяет решить лишь те зада чи, которые методом § 4.5 можно свести к стационарным за дачам C известным решением. Расширение области примене ния этого метода потребует интегрирования соответствую щих дифференциальных уравнений, но нам представляется, что более целесообразно воспользоваться методом, рассмот ренным в следующих параграфах.
|
Начнем с применения к граничной задаче, последователь |
||
но, |
преобразований |
Фурье (/'х), Лапласа |
и Фурье |
{у, |
\) (ср. § 6.2). В результате получим дифференциальное |
||
уравнение |
|
|
|
|
OL* - |
(x2 + s2 +v2) Ф ** = О, |
(10.5.2) |
решением которого, нужным образом затухающим на боль ших расстояниях от крыла (при z > 0), будет
ф ** = ф * * |
ехр( — l/x^ + 5®+v* z). |
(10.5.3) |
Воспользовавшись граничным условием на поверхности |
||
крыла, (Ф** = — !/**), |
получим |
|
= IZx=-Hs^*-!-v2ф **. |
(10.5.4) |
Здесь и далее обозначение Ф ** относится i значению этой функции при Z = O-I-.
Обратное преобразование выражения (10.5.4) приводит к интегральному уравнению (Майлс 1^®®])
V = M (O ) =
= 4-| 5 5 Icos (KR) + KR Sin (KR)I ф (|, 4 . О + ) ^ |
‘^ |
|
(10.5.5) |
^) Следуя Мэпглеру |
мы используем символ 1 |
обозначения конечной части |
интеграла в смысле Адамара |
причем интегрирование ведется лишь по той части области S, где R имеет действительные значения. Иначе, можно еще проинтегрировать соотношение (10.5.3) по г, выполнить
обратное преобразование •(см. § 6.2), |
затем проди()х1)е- |
|||
ренцировать дважды по г |
и, |
наконец, |
перейти к пределу |
|
при |
Z = O + . |
|
|
|
В |
результате получим |
|
|
|
|
5 (х |
/ |
R^ — Z^) Ф(|, П, о ^l-) Cllchb |
|
|
|
|
|
(10.5.7) |
Разлагая выражение (10.5.5) в степенной ряд по
исравнивая результат с выражением (4.4.30), получим
о+ )а | ^ л . (10.5.8а)
= 0. (10.5.8Ь)
Заметим, что интеграл (10.5.8) конечен всегда, за исключе
нием случая, когда р = |
0. В этом случае бесконечная часть |
||
должна быть отброшена. |
|
|
|
Теперь, следуя Уоткинсу и Берману, рассмотрим потен |
|||
циал |
|
|
|
Фп(х', |
= |
, |
(10.5.9) |
который является однородной функцией |
(« + 1)-й |
степени |
и дает скос потока в виде полинома степени п. После под становки соотношения (10.5.9) в интегральное уравнение
(10.5.8) |
целесообразно ввести замену переменной I = (т)/^) |
|
и разбить область интегрирования 5 |
на две части, лежащие |
|
справа |
и слева от линии 1 = (у1х'), |
которая соединяет вер- |
§ Ю.г,]
шину крыла C точкой (х у), как это показано на рис. 10.3, а. Тогда, опуская символ конечной части интеграла, наличие
Рис. |
10.3. а) Область интегрирования в выражении (10.5.10); |
|
|
б) область интегрирования в |
выражении (10.5.12). |
которого, однако, продолжает |
предполагаться в случае |
|
P = O, |
получим |
|
|
JL |
|
|
T+ |
|
|
—т о |
|
х'+У |
_ 3 |
|
т 1 + t |
+ 5 I
ш
Последний интеграл можно упростить, если ввести замену переменной
|
Ch U= |
|
(1 0 .5 .1 1а) |
|
ch «1 = |
|
(10.5.11b) |
после чего уравнение (10.5.10) примет вид |
|
||
|
( _ ) Р * 1 ( 2 р — 1) jc'n^zp |
T |
X |
Л1.р{ФЛ = |
я ( 2 р ) | |
||
|
|
п+Р+1 |
|
|
|
(1-^2) |
|
xF„(C )d ^ 5 (chtt,-chw )'**2sh2(p -i) udu. (10.5.12)
о
Область интегрирования в выражении (10.5.12) показана на рис. 10.3, б. Заметим, что Mgp {Ф,»} есть однородный по лином степени п-\-2р переменных {х', у).
Заканчивая формулирование задачи, остановимся на методе решения интегрального уравнения (см. (4.4.28,29)j
У = Мо{Ф}. |
(10.5.13) |
Полагая в выражении (10.5.12) р = 0, |
проинтегрируем |
его один раз по частям (по переменной и) и отбросим беско нечную часть. После подстановки результата в уравнение (10.5.13) получим
- (я + 2 )
—I r Л . (S) dC X
п(1-^2)
Wl
X ^ (ch — сЬи)”*^ Ch и du. (10.5.14)
Решение уравнения (10.5.14), в предположении, что V — полином степени п, можно представить в форме
предложенной для случая установившихся |
течений Робин |
|||||||
соном и др. Коэффициенты |
определяются путем прирав |
|||||||
нивания членов C одинаковыми степенями у (или у/х'). |
||||||||
Решения для частных случаев F = I |
и V = х |
имеют вид |
||||||
|
ф(0) _ |
{тН'^— у^у |
|
|
(10.5.16) |
|||
|
- |
Е(т') |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
ф‘» = |
|
|
|
|
|
(10.5.17) |
|
|
{/и* [К { т ' ) - Е (,n')H -(l_m Z) £ (m')) * |
|||||||
Впервые решение |
было получено Стьюартом |
1-®®] |
||||||
и Робинсоном [2^'*], а Ф‘^^ — Робинсоном |
|
В |
работах |
|||||
Лэнса |
дано решение |
уравнения |
(10.5.13) |
для |
||||
случая |
F = x '"V ‘, 0 < т - 1 - л < 3 . |
Уоткинс |
и |
Берман |
[^®®1 |
|||
вначале рассмотрели лишь случай |
У = х'''\ |
т |
= 0, 1, 2, 3, |
однако позже 1®®°] обобщили свои результаты на случай деформаций крыла более общего вида. Кэннингхэм I"*®] рассмотрел применение метода к крыльям со стреловидными
задними |
кромками. |
|
Стыоартсон |
решал уравнение в изображениях |
|
(10.5.4) |
путем разложения в ряд по степеням х® как радика |
ла, так и самой функции Ф **, и последовательного решения получающейся системы уравнений. Однако его решение сложнее, чем решения Уоткинса или Лэнса, а потому здесь не приводится.
§ 10.6. Продольное демпфирование
Результаты предыдущего раздела свидетельствуют о том, что расчет аэродинамических сил, действующих на треуголь ное крыло, сильно усложняется в случае высоких частот или деформаций сложного вида, существенно отклоняющих движение деформированного крыла от движения жесткого
крыла. В то же время |
производные продольной устойчи |
|||
вости жесткого |
крыла |
при движениях с |
низкой частотой |
|
довольно легко |
рассчитываются |
методом, |
изложенным в |
|
§ 4.5, C привлечением результатов |
(10.5.16,17). Этот метод |
и будет сейчас использован нами для расчета продольного демпфирования(Майлс 1^’ М).