книги / Метод конечных элементов
..pdfГлава 7. МАССИВЫ
§ 25. Основные гипотезы. Функционал потенциальной энергии
Рассчитывая массивные тела методом конечных элементов, ис пользуют зависимости, для трехмерного напряженного состояния. Эти зависимости наиболее общие, так как свободны от различных гипотез и предпосылок, характерных для некоторых частных задач (гипотеза плоских сечений для стержня, гипотеза прямых норма лей для изгибаемых пластин, гипотеза о нулевых напряжениях, ортогональных к плоскости системы, для плоского напряженного состояния и т. п.).
Функционал потенциальной энергии (1.35) для трехмерного на пряженного состояния записывается в следующем виде:
|
П = |
~2 ^ (^х^х “Ь Оу^у ~Ь 026г “1” ^хуУху |
^хгУхг "Ь |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ V » ) d Q |
— 2J (Рх“ + Pvv + |
P*w) dQ< |
(7.1) |
|
где ох, |
ау, стг, хху,- кхг, %иг — нормальные |
и |
касательные |
напря |
||
жения; |
гх,‘ ги, |
ег, Уху, ухг, |
ууг— соответствующие им относитель |
ные и сдвиговые деформации; и, v, w — перемещения точек трех мерного тела (массива) по направлениям осей х, у, г соответ ственно; рх, ри, рг — внешняя нагрузка по направлениям осей х, у, z соответственно.
Все зависимости удобно представлять в матричной форме:
|
|
|
Ох |
|
Ч |
|
и |
' |
|
Оу |
|
|
г у |
v |
1 [ р ) |
|
Ог |
•; |
1е} = < |
е, |
•Р у \ ; 1?) = { «Г* |
Л) |
|||||
сЬ |
|
к ) |
1ху |
|
|
Уху |
|
^XZ |
|
|
Ухг |
||
|
|
|
j |
|
||
|
|
|
%уг |
1 У у г 4 |
где {и}, (р), (о), (е) — соответственно векторы перемещений, внешних усилий, напряжений и деформаций. Тогда основные соотношения теории упругости приобретут вид
{о} = [Е] (е); (е) = [D] (ы), |
(7.3> |
где [£] — матрица упругости; [D] — матрица дифференцирования.
Матрица упругости для изотропного тела
%+ 2v |
% |
х |
0 |
0 |
0 |
% |
%-f- 2v |
X |
0 |
0 |
0 |
% |
X |
A, + 2v |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
V |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
V |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
V |
где х = (Т Т р Г ^ р ) ; v = г о т т о _ коэффициенты ЛамеМатрица дифференцирования
|
а_ |
0. |
О |
|
дх |
|
|
|
О |
Щ О |
|
|
|
||
|
о |
0 |
i |
[D] |
д_ |
|
(7.5) |
|
|
1 |
-о |
|
О |
L |
JL |
|
а |
дг |
ду |
|
о |
£ |
|
|
дг |
Функционал полной потенциальной энергии для трехмерного тела теперь можно представить в достаточно компактной форме:
П = у J И |
» dQ - J |
(«} dQ. |
(7 6) |
S |
2 |
|
|
Это выражение лежит в основе построения матриц жесткости для КЭ трехмерных тел.
§ 26. Конечный элемент в форме тетраэдра
Тетраэдрический КЭ для пространственной задачи — аналог треугольного КЭ для плоской задачи теории упругости.
Предположим, что перемещения вдоль осей х, у, г распреде ляются по линейному закону:
и (х, у, г) = |
щ |
+ |
а гх + |
а Зу + |
a4z; |
|
v (х, у, г) ==■ а 5 |
+ |
а вх + |
о^у + |
а 8г; |
(7.7) |
|
w (х, у, г) = |
а* + |
ащХ + |
а г{у + а^г. |
|
В этом аппроксимирующем полиноме 12 независимых коэффициен тов. Сопоставив им такое же количество степеней свободы, полу
чим, что в каждом узле тетраэдра необходимо иметь по 3 степени свободы. Естественно связать эти степени свободы со значениями трех узловых перемещений в каждом узле по направлениям осей х, у и z (рис. 61).
Для построения матрицы жесткости необходимо аппроксима
цию полиномами (7.7) получить в явном виде, |
т. е. |
связать коэф |
||||||||||||||||
фициенты <х1 полиномов (7.7) со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
степенями свободы. Эту опера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
цию проведем по методике, опи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
санной в гл. 2. Будем считать, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
что перемещения а |
вдоль оси х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
зависят |
только |
от горизонталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ных перемещений и1у и2у иЗУ«4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
перемещения вдоль оси у зави |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ся! только от vl9 v2y v3y ц4 и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда достаточно будет опреде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
лить коэффициенты |
а\ — а4, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
коэффициенты а ь — ая и а9 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
взять по аналогии. Матрица [С] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
строится |
на основе |
того, |
что если |
подставить |
в |
полиномы |
(7.7) |
|||||||||||
координаты |
;q, уХ гг |
1-го |
узла, то и = |
и1у если |
подставить коор |
|||||||||||||
динаты х2у у2У *2 2-го узла, то и = |
и2, |
и т. д., т. е. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
« 1 |
|
■ 1 |
* 1 |
У\ |
|
Zi |
|
а |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 2 |
|
|
1 |
|
У2 |
|
г2 |
|
« 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 3 |
|
|
1 |
хэ |
у3 |
|
z3 |
|
а |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
« 4 |
|
_ 1 |
* 4 |
У4 |
|
г 4 - |
а 4 , |
|
|
|
|
|
|||
Обратив матрицу [С], |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ai |
|
йх |
Ct2 |
Q3 |
Ct± |
% |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а2 |
|
bx |
b2 |
b3 |
b4 |
«2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а з |
|
cx |
c2 |
c$ |
c4 |
«3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а4 |
|
|
d2 |
d3 |
d4_ |
«4 |
|
|
|
|
|
||||
С помощью процедуры § 13 приходим к следующей |
аппроксима |
|||||||||||||||||
ции горизонтальных перемещений и (хуууг) в |
КЭ в явном виде: |
|||||||||||||||||
и (х, ууz) = |
(а{ |
+ |
bxx + |
сху + |
d1z) u1 + |
(а2 + |
b2x + |
с2у + |
||||||||||
+ d 2z) и2 + |
(а3 -f b3x + |
с3у + d3z) и3 + |
(а4 + b^x + |
с^у + |
d^z) и4, |
(7.8> |
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*2 |
У2 |
Z2 |
|
|
|
|
1 |
У2 |
Z2 |
|
|
|
1 |
1 |
X» |
Z2 |
|
|
*3 |
Уз |
Z3 |
|
|
|
1 |
Уз |
Z8 |
; |
|
|
1 |
x 3 |
Z3 |
|||
|
|
|
|
ci — д |
||||||||||||||
|
X4 |
Уь |
Z4 |
|
|
|
1 |
У4 |
Z4 |
|
|
|
|
1 |
x4 |
Z4 |
|
_i |
1 |
X2 |
Hi |
|
1 |
Xi Ух zx |
|
||
di |
A |
1 |
*2 Уг |
z2 |
(7.9) |
|||||
д |
i |
*3 |
Уз ; |
1 |
*э |
ft |
г3 |
|||
|
|
1 |
x4 |
y4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
*4 |
1/4 |
г4 |
|
Значения с2, 62, с2, d2 и т. д. определяются |
с |
помощью круго |
||||||||
вой перестановки |
узловых |
индексов. Выражения для |
v (х, у, г) |
|||||||
и w (х, у, г) полностью |
|
аналогичны выражению (7.8), |
т. е. |
|||||||
v (х, у, г) = |
(% + |
|
ьгх |
+ сху + d4z) щ + |
(аа + Ьгх + |
|||||
+ с ау + d2z) v2 + (as + bsx + |
с3у + dsz) v3 + |
(д4 + |
b4x + |
|||||||
+ с 4у + d4z) v4, |
|
|
|
|
' |
|
|
|
(7.10) |
« то же для w (х, у,г).
Построим, например, один из элементов , матрицы жесткости:
реакцию, |
возникающую |
в |
1-м |
узле |
по |
направлению |
оси х |
||||||||||||
от единичного перемещения этого же узла |
по направлению |
оси у, |
|||||||||||||||||
т. е. элемент k12 — kUlVl. Сначала |
|
построим |
вектор |
|
(е}01, |
соот |
|||||||||||||
ветствующий перемещению щ, когда |
все |
остальные |
перемещения |
||||||||||||||||
узлов равны нулю. На основепринятых |
предпосылок |
перемеще |
|||||||||||||||||
ния по области КЭ имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и (х, у, |
г) = |
0; v (х, у |
, г) = |
(аг + |
|
Ь4х |
+ |
сгу |
+ |
djz) 1^; |
|||||||||
|
|
|
|
|
W (X, у, z) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.11) |
||||
Компоненты вектора деформаций найдем, |
используя соотношение |
||||||||||||||||||
<7.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диUU |
Л |
|
UUди |
|
|
|
|
UUUdw |
Л. |
|
ди |
| дх) |
1 |
||||||
Е* = Т Х = |
Ь |
еу = ду ~ °lVl’ |
|
|
|
|
г* у = Г у + |
Т х = Ь^ ’ |
|||||||||||
|
|
|
dv |
, |
dw |
, |
|
|
|
du . |
dw |
Л |
|
|
|
(7.12) |
|||
|
|
У* = |
dz + |
dy |
~~ dlVl] |
|
|
^ dz |
dx |
^ |
0 - |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
le}£, = (0; СхОь 0; |
|
b ^ ; |
dл ; |
|
0). |
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь построим вектор |
|
соответствующий |
перемещению |
||||||||||||||||
Ui узла 1 по направлению оси х, когда |
все |
остальные |
|
перемеще |
|||||||||||||||
ния узлов равны нулю. В данном случае |
перемещения |
по |
обла- |
||||||||||||||||
вти КЭ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (х, у, |
г) = |
(а{ |
+ |
btx |
+ сгу + |
djz) мх; |
v (х, у, |
г) |
= 0; |
||||||||||
|
|
|
|
w (X, у, г) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Компоненты |
вектора |
напряжений |
найдем, |
использовав |
соотно |
||||||||||||||
шение (7.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ох = |
(К |
2v) гх -f- Кеу -4- Хв2 = |
(к -f- 2v) Ui, оу — 0; |
|
|||||||||||||||
|
at = 0; Оху = |
vCiUii ауг = |
0; |
|
аХ1 = |
v d ^ . |
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, |
в результате |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
« |
= |
((А, + |
2v) их\ 0; |
|
0; |
|
ых; |
0; |
v d ^ } . |
|
|
|
Зная (сг}и, и {e)Ul, по формуле (2.22) определим коэффициент k12:
^12 ^ |
^ ^ |
l°}«i I6}»» |
^ i ^ i |
^ VCX&XS2, |
|
2 |
|
J 2 |
|
где Q = |
— объем тетраэдра. |
|
|
|
Подставляя сх и Ь{ |
из выражений (7.9), |
окончательно получим |
kи,», |
Е |
1 |
1 |
Уъ %2 |
12(1 + ц) |
Д |
1 |
Уз 2з |
|
|
|
|
1 |
У& ZA |
1 х2 2а
со |
QO |
* |
|
1 ЛГ4 |
24 |
Аналогично строятся и остальные элементы матрицы жест кости для тетраэдрического КЭ.
§ 27. Конечный элемент в форме параллелепипеда
Этот КЭ — аналог прямоугольного КЭ для плоской задачи теории упругости, где аппроксимация перемещений принималась по полилинейному закону.
Для трехмерного случая та кая аппроксимация имеет вид
и {х, у, г) = |
а х + а гх + а эу + |
|||
+ |
а 42 + |
а ьху + |
а Йхг + |
|
|
+ |
<х7гу + а вхуг\ |
||
v (х, у, г\ = а 9 + |
а 1ох + |
|||
+ |
“ iiУ + |
а х„2 + |
а 13х у + |
|
+ |
а 14л:2 + |
а и гу + а и хуг; |
||
w (х, у, |
г) |
= а 17 -н а 18х + |
||
+ |
а 19у |
+ |
а 20г + |
а 21ху + |
-f a 22xz + |
cio-jzy + a 24xyz. |
|||
|
|
|
|
(7.13) |
По сравнению с тетраэдром количество членов полинома, аппроксимирующего каждый вид перемещения, увеличи лось. до 8. Но и количество узлов в параллелепипеде по сравнению с тетраэдром также
увеличилось до 8. Это позволяет сохранить в каждом узле такой же естественный состав перемещений, как и для тетраэдра (рис. 62). Если для тетраэдра переход от неявного представления аппрокси мирующих функций к явному проводился при помощи обращения матрицы [С], то здесь ввиду простой геометрической формы эле мента это можно сделать проще: на основе того, что полилинейная аппроксимация является произведением линейных полиномов. Тогда
(7.14)
где |
|
|
к = ~ьс (а — х)(ь — у )(с^ гу , |
= |
— y)(c — z); |
f* = i у ( fl - * ) ( c - 2 ) ; |
/4- = i |
xy ( C - 2); |
|
f» = |
Wcx z(b -y )> |
и = - к у г (а - х У' f« = i ^ 2-
Сравнивая аппроксимирующие полиномы (7.14) для параллеле
пипеда с аппроксимирующими полиномами (7.7) для |
тетраэдра, ви |
дим, что первые содержат четыре дополнительных |
члена, следо |
вательно, аппроксимация ведется о более высокой |
степенью точ |
ности. Об этом говорит и тот факт, что деформации |
и напряжения |
по области параллелепипеда переменны, в то время как для тетра эдра они постоянны.
Матрица жесткости строится по методике, описанной в гл. 2, на основе выражения (7.6) для функционала потенциальной энер гии, выражений (7.3) для векторов напряжений (а) и деформаций (е), а также выражений (7.14) для аппроксимации перемещений.
Для примера построим один из элементов матрицы жесткости, представляющий собой реакцию узла 2 по направлению оси х от
перемещения этого же узла по этому же |
направлению |
(ри'о. 62). |
Перемещения по области КЭ от иг |
|
|
«(* , У, г ) = ^ с х (Ь—'У)(с — г)и2-, о(х, у, |
г) = 0; w(x, |
у, г) = 0. |
Используя геометрические соотношения (7.3), получим компоненты вектора деформаций, соответствующие перемещению и2 при всех остальных нулевых перемещениях:.
|
Яп |
Яге» |
|
|
ди |
. dv |
1 |
/ |
v |
V *v = ry + T x = |
- Z F c X(c - |
|
z) u>’ |
|
dv |
. ди |
1 , и |
|
ч |
Применяя физические соотношения (7.3), получим компоненты вектора напряжений, соответствующие перемещению м2 при всех остальных нулевых перемещениях:
|
E |
(b — y) {c — Z)Ui\ |
° x |
U + Ц) (1 — 2jx)abc |
°i>~ -(1 |
-f ц) (1 — 2ц) abc ^ |
^ <C |
(I |
-Ц ц) (Ь— 2ц) abc ( b ~ ‘Mc~z)u,-, |
|
*•» ” |
2 (1 / ц , abcX(C~ ^ U‘' X»' = 0; |
|
T» - 2~ 1+'Vi Ж *Q> - |
y)U*' |
Подставляя полученные выражения в формулу (2.22) при иг = 1, получим выражения для ки^'.
|
|
5 |
|
|
а Ь е |
|
|
|
|
|
|
|
|
к и,и, = |
(а) (е| dQ = |
J |
J J(охгх + |
+ |
аге2 + т ,<,?*,, + |
||||||||
|
|
2 |
|
|
0 |
0 0 |
a b c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
T^zV^2 + |
%гхУгх) d x d y d z = |
^ J f |
-|_ ц) (l _ |
2JA) a2b2c2 X |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
X |
№ |
- |
y ) » ( c - |
i ) |
» +2 |
( 1 |
+ ^ |
a-w |
J;’ |
(‘: - |
2 >’ |
+ |
+ 2 (1 + |
Ц)«***«• x‘ (b ~ y ) ‘ |
|
|
|
|
+ |
f V |
+ ? |
+ T )- |
Аналогично можно получить и остальные элементы матрицы жест кости .
Рассмотрим пример приведения местной нагрузки к узловой. Определим узловое усилие в узле 8 по направлению оси х (степень свободы ы8) от равномерно распределенной нагрузки рх (х ,у ,г) =
— рх. На основании выражения (2.24) получим
|
abc |
|
PX8=\j px (x, у, z) f sdQ = j |
j j p ^ d x d y d z = рхЩ . |
|
2 |
0 |
0 0 |
В данном случае этот результат, безусловно, можно было бы полу чить и на основе простых соображений о доле равномерно распреде ленной нагрузки, приходящейся на один узел. Но когда применение простых соображений затруднительно (внешние нагрузки р изменя ются по произвольному закону), узловые усилия можно получить по выражению (2.24). 4
Глава 8. ОБОЛОЧКИ
§ 28. Основные гипотезы. Функционал потенциальной энергии
Оболочки двоякой кривизны — один из самых сложных объек тов строительной механики. Это вызвано сложными геометриче скими и физическими соотношениями для оболочек. (Далее в главе
используются соотношения технической теории пологих оболочек для построения векторов (а) и {е)).
Вектор {е} состоит из шести компонентов: гх, гу, гху, хх, ху,
хху. Здесь ъх = д^ + KiW — относительная |
деформация срединной |
|||||||||||||||||
поверхности вдоль |
оси х\ |
|
|
|
+ K 2W— относительная |
дефор |
||||||||||||
мация срединной поверхности вдоль оси у\ |
гку * 1 ^ + ^ + 2/С12^ — |
|||||||||||||||||
деформация сдвига |
срединной |
поверхности; |
кх ■« |
|
— деформа- |
|||||||||||||
ЦИЯ кривизны ВДОЛЬ ОСИ Х\ |
|
Ху = |
d2w |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
'ду2 —Деформация кривизны вдоль |
|||||||||||||||||
оси у\ |
|
|
— смешанная деформация |
|
кривизны. В |
этих |
вы- |
|||||||||||
|
„ |
д гг |
I |
г, . |
д 2г |
|
„ |
= |
д 2г |
|
|
|
|
* |
|
|||
ражениях Дх = |
|
|
а |
2 = |
|
’» Л12 |
|
— кривизны оболочки, |
||||||||||
характеризующие |
ее геометрию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вектор напряжений {о} также состоит из шести компонентов: |
||||||||||||||||||
Nx, Ny, S, Мх, Ми, |
Мху. Здесь |
Nx = |
|
|
(е* + |
ре,,)— погонные |
||||||||||||
напряжения вдоль оси у, |
|
|
|
Eh |
1 ~ |
14 |
|
|
|
|
||||||||
^ y — r^— t(^y +\i£x)— погонные напря- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
С |
|
Eh |
^ |
г |
|
|
|
/ |
|
|
|
||
жения |
вдоль |
оси х\ |
|
|
еху— сдвиговые |
погонные |
на |
|||||||||||
Ь = ^ |
|
|
||||||||||||||||
пряжения ; Мх =*= |
t2 (f |
„*)' (х* + |
W*y) — Погонные |
моменты отно- |
||||||||||||||
сительно оси |
х\ |
Му — ^ ^Eh* |
8 |
(ху + |
\х.у.х) — погоннЪге |
моменты |
||||||||||||
относительно |
оси у\ |
Мху =*= ■^ |
|
Eh3 g |
хху _ |
погонные крутящие |
||||||||||||
моменты; h — толщина |
оболочки; |
Е — модуль продольной упру |
||||||||||||||||
гости; р — коэффициент Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для оболочки вектор внешних усилий {р} состоит из трех |
||||||||||||||||||
компонентов: рх (х, |
у), |
pv(x, у), |
pz (x, |
y)t а вектор |
перемещений |
|||||||||||||
{и} — из компонентов и, v, w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С учетом принятых обозначений и |
соотношений |
функционал |
||||||||||||||||
полной потенциальной энергии тонкой оболочки |
|
|
|
|
||||||||||||||
п = у |
| |
|
|
|
~ |
j |
|
М |
|
dQ “ |
тг J |
(Nxe,x + |
N |
+ |
Sexy + |
|||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Мххх + МуХу + 2МхухХу) dQ — \ (рхи + pyv + |
pzw) dQ. (8.1) |
§ 29. Прямоугольный КЭ оболочки двоякой кривизны
Для каждого из четырех узлов КЭ (рис. 63) примем 6 степеней свободы — 3 линейных перемещения и, ь, w соответственно по на правлениям осей х, у, г, 2 угла поворота « и 0 относительно осей
для прямоугольного КЗ плиты (полином 4-й степени, 3 степени свободы в узле).
Коэффициенты матрицы жесткости для оболочки двоякой кри визны в данном случае
а b
k(j = |
[J (Nxfixi + Nyibyi -f -S bxy + M-xtY-xi + |
M y i X y i + |
0 |
0 |
|
|
+ 2M xyiKXy i ) d x d y . |
(8.4) |
В качестве примера определим горизонтальную реакцию узла / по направлению оси у от вертикального перемещения этого же узла, т. е. элемент kVxWt. Сначала определим компоненты вектора дефор маций по области КЭ от перемещения Wy.
**Xxw x = |
|
|
Sj/tW, = |
^ г ^ З ^ З ^ Ъ |
Ьxyxwx= |
2 / C l 2 ^ 3 ^ |
3 ^^Xxwx1 ; |
^ X3 Y3 Wi\ |
|
^У\^\ ^ |
X 3 Y 3 |
Wi\ |
Xxyxwt 3:53 ^ 3 ^ 3 ^ 1 » |
|
Затем найдем компоненты |
вектора напряжений от иг: |
|||
NXM = |
|
vl* |
Nytvx= |
Х 1 Г 1Ч ; |
Eh
N*VxVx — 2(Г + ц) Xi Yivi-
Здесь верхние индексы обозначают операторы дифференциро вания, т. е.
у Х Х |
_ |
д % У |
___ 1 2 д г — 6 а |
V Y Y |
д * |
|
^ |
|
\2у — 6 Ь |
|
|||||||
Л з |
|
В г 2 а з |
„а |
|
» |
|
|
~ ^ а Т 3 “ " |
Га |
*» |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь8 |
|
|
у Х |
__ |
д |
у |
__ |
6ДГ® |
e |
\/-Y __ 0и \гv |
\ |
|
6f/* — C'yb |
|
||||||
л* |
|
~ -A3 |
|
|
; |
/8 |
|
я7, * |
* |
|
/>8 |
’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|||||
|
X f = # X , = — -1- ; У |
1 |
* - « У |
1 |
, , , |
‘ |
|
||||||||||
|
|
1 |
ддг |
1 |
a ’ |
|
|
|
|
|
|
h |
|
||||
Подставляя |
значения |
векторов |
{а)„, |
и {е}^ |
|
|
в формулу |
(8.4) для |
|||||||||
k(h получим |
|
а $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kvxwx= |
^ \{NXxvxtxxwx+ NylVliyxW+ NXyxVtyxytWx) dx dy = |
||||||||||||||||
a |
b |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l^l |
K .X .Y , +j § p X tY \ K ,X ,Y ,+ |
||||||||||||||||
j l |
|||||||||||||||||
0 |
0 |
Eh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ■ |
|
X iY ^ K u X sY J dx dy = |
|
|
|
|
Eh |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
40 |
(1 — H*) |
|
||||||||||
2(1 + |
H)'"1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X |
[a (p/Ci + |
A,) + M „ ( l |
— p)]. |
|
|
Аналогично можно построить и остальные элементы матрицы жест кости. В рассмотренном примере считается, что кривизны Ki, Kt>