книги / Моделирование систем управления

к Fc = min(^J) для соответствующего вектора Ьг = Ье, и пусть точка С - центр

/

тяжести всех точек симплекса c i* и (т.е. исключаем наихудшую точку). Алгоритм состоит в последовательной замене вершины Ъи на новую

вершину согласно следующей схеме.

1.Осуществляется отражение

i* = ( l + yr ) C - ^

где уг - коэффициент отражения, который задается исследователем (напри-

мер,Тг=1)-

Пусть F(b ) = F . После того, как произведено отражение Ьиуосуществ­ ляется следующее:

а) если Fe < F* < Fu, то bu заменяют на b \ Полученный симплекс ис­ пользуют в качестве исходного для первого этапа (возвращаются к

*м » г Ж + 0 - ъ ) С , где уе- коэффициент растяжения (например, уе= 2).

Определяют F** =F(b**).

Ебли F** < Fei то Ъизаменяют на b" и снова возвращаются к пункту 1. Если F " > Fet т.е. растяжение ухудшает ситуацию, то Ьизаменяют на b'

ивозвращаются к пункту 1;

в) если F* > Ft для всех / * и, т.е. замена на Ь* показывает, что Ь* ответствует точке, дающей максимум F, то определяют некоторый новый вектор Ьюравный либо старому вектору Ьи, либо b \ который дает более низ­ кое значение F. Затем осуществляют сжатие, преобразуя Ьи в Ь*\

^ = г А + ( 1 - У с ) С ,

где ус - коэффициент сжатия (ус = —); 0 < ус ^ 1.

Вектор Ъизаменяют на bм и снова повторяют первый этап, если только вершина, полученная при сжатии, не приводит к результату, худшему, чем тах(Д£„), F(b*)), т.е. если F** > max(jFu, F*). В последнем случае все векторы

biзаменяют на ^(bi +be) и возвращаются к первому пункту (этапу).

2.Поиск прекращают, когда

ш- п 2

где Е - произвольно выбранное малое число; F - среднее значение функции ошибок для всех вершин симплекса.

4.5.4. Методы с производными. Метод Гаусса-Зайделя

Идея метода состоит в том, чтобы линеаризовать модель с помощью отрезка ряда Тейлора с целью применить линейный анализ и получить иско­ мый минимум суммы квадратов отклонений посредством итерационных расчетов.

Вводятся начальные предположения о параметрах. Вычисления повто­ ряют до тех пор, пока критерий сходимости не будет удовлетворен.

Проведем разложение соотношения для модели г\ в ряд Тейлора отно­ сительно значения £(0- начального приближения вектора (3. Исходное значе­ ние Pj обозначается через 6(0)у.

F - t W - n f ,

1=1

где Wi - вес измерений; т|/ - соответствует вектору i-ro набора данных X/; У, - измеренные значения зависимой переменной.

Минимизируя F, можно найти улучшенную оценку ру (если функция ц действительно линейна, для достижения минимума F необходимо осущест­ вить лишь один этап расчета).

Разложим функцию ц следующим образом:

« г - р , Ло означает, что эта функция вычисляется в точке Ь® \... £(0)да.

^*'М1 г](ж! ^ > й (|А(§А ♦

где £,-0> = У, ~(г|, )о-

Эту систему нужно решить относительно Abj.

Запишем эту систему в более компактной форме:

эр,-

Z(0,=(XTWE)<0,=

(XTW X)<0)B(0,= (XT W Е)(0),

А(о) в (0) = z «»

В(0)= (A*0*)'1z(i).

После того как вычислен вектор В(0), можно получить новые оценки для каждого из параметров Р;, повторяя предыдущие вычисления, причем вместо b®j подставляются b{X)j - улучшенные оценки Ру.

Для вычисления используется рекуррентная формула:

b f*4 =bijtt) +h<?bbf,

где hj - ускоряющий множитель, предназначенный для ускорения поиска ми­ нимума F.

Действительно, значения Abj определяют направление поиска мини­

мума F в пространстве параметров.

В методе Гаусса полагают hj = 1. Можно подсчитать более эффективное значение hj. Введение корректирующего множителя объясняется тем, что оп­ ределение минимума можно автоматически ускорить или замедлить, увели­ чивая скорость приближения к минимуму F на начальной стадии поиска, а также уменьшая ее в конце, чтобы избежать излишних колебаний.

Практические трудности при использовании метода Гаусса-Зайделя

1. Выбор начальных оценок, особенно в случае нескольких минимумов, достаточно сложен.

Одно из предложений, позволяющих сделать различные начальные предположения о ру, состоит в том, чтобы представить отклик в виде функ­ ции одной переменной, полагая другие переменные фиксированными, и взять некоторое асимптотическое значение 6(0у. Начальные значения других пара­ метров можно выбрать на основе этих полученных значений.

Часто известны приближенные значения из физических соображений. Можно использовать несколько исходных векторов б(0) из некоторого

разумного интервала и убедиться, что все ведут к одному и тому же значению F.

2. Целевая функция или ее первые частные производные в области по­ иска минимума F могут стать неограниченными. Преодолеть эту трудность можно лишь шраничивая область поиска (3,.

3. Матрица А(0) может стать вырожденной из-за избыточности данных или почти вырожденной при одном или нескольких р в процессе поиска. Эта трудность может быть преодолена, например, выбором формы представления независимой переменной.

£f 1= 1,95- (з,1 • 0+ 2,9e41-521)= 0,23,

£3< ) = 0,81- (з,1 ■0+2,9e'0'522)= -0,2137,

£'0) = 0,58- (з,1 • 0+2,9e41'52'3)= -0,029,

£j0) =5,9- (з,1 •1 +2,9е'°'520)= -0,1,

£(°>= 4,74 - (з,1 •1+2,9е"°'52|)= -0,083,

£70) =4,18- (з,1 • 1+2,9е~°'522)= 0,056,

£|(0) = 4,05- (з,1 ■1+2,9е"°'52-2)= -0,074, £$0) = 9,03—(з,1 •2+2,9е'°'520)= -0,07, £/0) = 7,85- (з,1• 2+ 2,9е'°’!2|)= -0,073,

£,(0) = 7,22 - (з,1 • 2 + 2,9е'0,52'2)= -0,0037,

£|(0> = 8,5 - (з,1 • 2,5+2,9е'0'52 2)= -0,274,

£}з) = 9,81- (з,1 • 2,9+2,9е'0'52'•*)=-0,314.

4.5.5. Метод линеаризации целевой функции

Другой способ достижения минимума суммы квадратов отклонений F состоит в том, чтобы линеаризировать саму целевую функцию. К таким ме­ тодам относится метод наискорейшего спуска.

Градиент функции F - gradF или VF представляет собой вектор, пер­ пендикулярный к контурам поверхности F в пространстве параметров, кото­ рый указывает направление наибольшего возрастания F в данной точке.

Противоположный вектор задает направление наискорейшего спуска. Пусть функция F разложена в ряд Тейлора относительно Ь(0):

Величины составляющих вектора (-VF), вычисленные в точке 6(0), сов­ падают с соответствующими членами разложения F. Эти составляющие ис­ пользуются в методе наискорейшего спуска для определения направления поиска.

Предположим, что функция F является однозначной, непрерывной и в области поиска имеет один минимум. Тогда, определяя составляющие вектора (-VF), можно с помощью некоторой итерационной процедуры при­ вести значение F к минимуму.

2. Составляющие вектора г — -т, подсчитанные в точке Ь(0), задают на-

правление поиска минимума F. Величина Ь(п) для каждого нового цикла ^(п+1)= 6 и + л (/0д6(п)

3. Итерационную процедуру продолжают до тех пор, пока величина F не станет меньше некоторого заданного значения, или пока процесс не станет расходящимся, или не приведет к колебаниям, так что дальнейшее уменьше­ ние Покажется невозможным.

Любой из методов минимизации суммы квадратов отклонений может не обнаружить абсолютный минимум из-за неверных начальных предполо­ жений о параметрах или неограниченности целевой функции.

4.6. Оценивание процессов, представленных обыкновенными дифференциальными уравнениями

Оценивание параметров моделей в значительной степени зависит от качества экспериментальных данных, а следовательно, и от самих экспери­ ментов. Эксперименты следует проводить в соответствии с хорошим планом, который должен быть составлен таким образом, чтобы ошибки при измере­ нии были независимыми, а модель, коэффициенты которой требуется оце­ нить, была адекватной.

Простейшая модель, которую следует рассмотреть, представляет одно скалярное линейное (по зависимой переменной) обыкновенное дифференци­ альное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

dy(t)

= ау(/)+ *(/), № = У 0'

Решение его имеет вид:

Я<)=Л -е"+ fx(x)ea('~,)A >

о

где у - зависимая переменная; а - коэффициент (параметр); î - независимая переменная; x(t) - детерминированная входная функция.

Для того чтобы получить наблюдаемую зависимую переменную 7(0, нужно ку(0 добавить ненаблюдаемую ошибку

ку а , то остаточная ошибка £(/) = 7 (f)-?(f).

Целью оценивания является получение наилучшей оценки параметра а с помощью наблюдений 7(Г/) или 7(0-

Более общей моделью является модель, содержащая систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянны­