книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfГлава 11. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
Сначала рассмотрим движение одной материальной точки мас сой т под действием силы/7. По П закону Ньютона
т
Л
Чтобы в левой части уравнения получить изменение кинетиче ской энергии, умножим его обе части скалярно на вектор скорости о :
аи _ |
= _ |
т-----о |
= г -о |
Л |
|
и внесем о под знак производной (для сохранения равенства разде лим левую часть на 2):
а й )
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, к ней приложенной.
Это теорема о кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.
11.1.Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
Перейдем к системе п материальных точек. На к-ю точку систе мы действует внешняя сила/7*6 и внутренняя/7* . Запишем (11.1) для
всех точек системы:
d_ mkv 2k — (Fk + Fk ^ • и*, к — 1, n, dt
или в обозначениях предыдущей главы:
( |
г\ |
d_ |
mkv k = N £ + N L k = l,n. |
dt |
|
Суммируя по всем точкам системы и вынося d/dt за знак суммы, получим
f = 1 > г + х > 1 , |
( 11-2) |
|
аг к=1 |
к=1 |
|
Z *=1
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальным точкам системы.
Теорему в дифференциальной форме (11.2) применяют обычно для составления дифференциального уравнения движения механи ческой системы с 1-й степенью свободы. Для оценки скоростей то чек системы применяют теорему в конечной форме.
11.2. Теорема об изменении кипетической энергии системы в конечной форме
Рассмотрим конечное перемещение механической системы. Обозначим перемещение к-й точки по ее траектории через sk. Про интегрируем (11.2):
dT = J 2 N kdt‘ + J 2 |
N kdt,‘ |
|||
|
А=1 |
|
*=1 |
|
] > |
= £ |
f |
dAz + E f M I . |
|
Го |
*=« |
5* |
|
k=l Sk |
По определению интеграл от элементарной работы есть работа на конечном перемещении:
T - T o ^ A l + Y . A l |
(11.3) |
|
*=i |
*=i |
|
ТЕОРЕМА. Изменение кинетической энергии механической системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на этом пере мещении.
11.3. Случай неизменяемой системы
Уравнения (11.2) и (11.3) могут быть существенно упрощены для так называемой неизменяемой системы, для которой сумма мощностей внутренних сил равна О,
х > ; = ° - |
(Ц.4) |
*=i |
|
Это справедливо для внутренних сил, действующих между точ ками абсолютно твердого тела.
Найдем сумму мощностей двух внутренних сил взаимодейст вия точек А и В тела (рис. 11.1), совершающего произвольное дви жение:
N , + N 2 = F I\)A cosa + F 2u Bcos(l80°—p) =
= Fi(pAc o s a - o fi cos(3).
По известной теореме кинематики проекции скоростей двух то чек произвольно движущегося твердого тела на прямую, соединяю щую эти точки, равны. Поэтому получим, что N \ + N 2 = 0. Так как внутренние силы входят в систему действующих на тело сил попар но, а по Ш закону Ньютона действие равно противодействию, то это ведет к выполнению (11.4) и, сле довательно, к равенству нулю сум мы работ всех внутренних сил:
£ 4 = 0 . |
(11.5) |
к= 1
Нетрудно показать, что урав нения (11.4) и (11.5) выполняются
для системы твердых тел, соединенных нерастяжимыми связями. Системы с такими связями условно называют неизменяемыми.
Для неизменяемой системы теоремы об изменении кинетиче ской энергии (11.2) и (11.3) приобретают вид
(11.6)
dt к
Т - Т 0 = ^ А ‘к. |
(11.7) |
к = 1
В уравнения входят мощности и работы только внешних сил. Теоремы упрощаются еще более, если на движущуюся систему
наложены стационарные и идеальные связи, для которых сумма мощностей и сумма работ реакций связей равны 0. Примерами та ких связей являются связи без трения (реакция перпендикулярна скорости ее точки приложения) и связи, наложенные на твердое те ло, катящееся без скольжения по твердой поверхности (точка при ложения реакции является мгновенным центром скоростей, т. е. имеет скорость, равную 0). В случае идеальных связей в уравнения (11.6) и (11.7) войдут только внешние активные силы.
Рассмотренный ниже пример непосредственно отношения к за дачам биомеханики не имеет, хотя перекатывание наблюдается при ходьбе человека (перекатывание стопы). Близко к этому примеру качение по футбольному полю неожиданно упавшего и сгруппиро вавшегося футболиста и т. п.
11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
Центру масс С сплошного однородного круглого катка сооб щим скорость о о, направленную вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту (рис. 11.2). Определить, какое расстояние пройдет точка С до полной остановки катка, если каток движется без проскальзывания. Составить также дифферен циальное уравнение движения центра масс катка.
Решение. Рассмотрим каток как абсолютно твердое тело, на ко торое наложены идеальные связи, и применим теорему в конечной форме (11.7), учитывая из внешних сил только активную силу — силу тяжести катка Р :
Т — Т0 ~ Ар. |
(11.8) |
Каток совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определится по формуле (10.10)
Т = - М ь 2с + - J c(o2.
2 2
Поскольку точка касания Си является мгновенным центром скоростей сечения катка, то
ю= о C/R,
ис учетом формулы осевого момента инерции
J C= - M R 2
2
получим выражение для кинетической энергии катка в произволь ный момент времени:
Т = - М и 2с + - - - M R 2^ - = - M U2c. |
(11.9) |
||
2 |
2 2 |
R 2 4 |
|
Работа силы тяжести на перемещении С0С* = 5 (рис. 11.2)
Ар = -Ph — -M gs sin а. |
(11.10) |
Учитывая, что в начальный момент времени и с = и 0, а в конеч ный о с = 0, из (11.8)-(11-10) получим решение задачи:
j2
—Mu о = —Mgs sin a,
4
Для составления дифференциального уравнения движения цен тра масс катка удобнее воспользоваться теоремой (11.6), в которой вновь учтем только силу Р,
( 11. 11)
По определению мощность
N р = Р •о с = —Mgoc sin a.
Продифференцируем по времени выражение для кинетической энергии (11.9):
и все это подставим в (11.11):
— дифференциальное уравнение движения центра масс.
11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
Известно, что специально подготовленные люди (каскадеры, артисты цирка) могут спрыгнуть с большой высоты (10 м и выше) и приземлиться, избежав травм. Оценить, какие перегрузки испы тывает человек, прыгнувший с высоты Я (рис. 11.3).
Решение. Сначала уточним условие. Пусть Я — начальная вы сота над поверхностью центра масс человека. Перед прыжком чело век находился в покое.
\R
Р
0,6L
Е
Рис. 11.3
Рассмотрим простейшую модель человека в виде материальной точки с массой, равной массе человека и расположенной в центре масс. В фазе свободного падения на точку действует только сила тя жести Р (при Н ~ 10 м максимальная сила сопротивления воздуха может достигнуть 0,05Р и при более точных расчетах ее надо учи тывать). В фазе приземления на точку действует также сила сопро тивления невесомых ног R .
Пусть центр масс С тормозится на отрезке С0С* (см. рис. 11.3). Торможение начинается на высоте, составляющей К % от роста че ловека, а полная остановка центра масс происходит на расстоянии h от поверхности. Применим теорему об изменении кинетической энергии (11.7) на конечном перемещении от начала прыжка (Г0 = 0) до полной остановки (Г= 0):
0 — Ар + Ал ,
0 = Р(Н - Л)—/?ср(АГ 1/100 - h),
где L — рост человека.
Приведенные соотношения дают среднее значение силы сопро тивления
При прыжке с большой высоты человек сначала приземляется на ноги, а затем перекатывается на спине или падает вперед на руки. Можно принять, что h = 0,2 м. П ри Я = 10 м, L = 1,7 м, К= 60 % по лучим Rep= 12Р.
Человек испытывает на протяжении всего пути торможения 12-кратную перегрузку. В случае линейной зависимости R от рас стояния (пример 2.3.2) максимальное значение R в 2 раза больше среднего. При нелинейной зависимости, например экспоненциаль ной, максимальные перегрузки должны получиться еще больше. Однако если учесть диссипацию энергии в теле человека, то значе ния R снизятся. Полное решение задачи приземления требует ин формации о свойствах тканей человеческого тела и механизмах управления мышцами.
Но даже исходя из приближенного решения можно указать на факторы, уменьшающие перегрузку при приземлении. В начале прыжка необходимо понизить положение центра масс. К моменту касания поверхности центр масс должен занимать как можно более высокое положение (поднять вверх руки, использовать обувь на толстой подошве и т. п.). В конце торможения центр масс должен быть максимально приближен к поверхности. И наконец, важную роль играют упругопластические свойства материала, на который происходит приземление.
11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
Рассмотрим движение механической системы относительно подвижной системы координат, движущейся поступательно с уско рением асвместе с центром масс механической системы (рис. 11.4).
На к-ю точку системы действует внешняя сила Fk и внутрен няя сила Fk . Так как подвижная система неинерциональна, то к этим силам надо условно добавить переносную и кориолисову силы инерции. Переносная сила инерции F™ = —ткаА = —ткас,
поскольку во всех точках подвижной системы переносное ускоре ние аА = ас по свойствам поступательное движение. Кориолисова сила инерции равна 0, так как переносная угловая скорость со е = 0 (см. (3.2)).
По сравнению с (11.1) в теорему об изменении кинетической энергии к-й точки системы в относительном движении войдет так же мощность переносной силы инерции:
d_ т . j i |
+ № + Л " Щ , к = 1, и. (11.12) |
= |
|
dt |
|
где и * — относительная скорость точки. При суммировании по всем точкам системы последнее слагаемое обращается в нуль:
|
= - а с Y тк\5к = - а с ■Ш 'с = О, |
*=1 |
*=1 |
где Ос — скорость центра масс в подвижной системе Cx'/z'. С уче том этого при суммировании уравнений (11.12) для всех точек сис темы получим теорему в том же виде, как и в неподвижной системе отсчета (11.2),
dT' |
£ И ) |
+ Е И |
(11.13) |
|
dt |
||||
*=1 |
*=1 |
|
На конечном относительном перемещении системы теорема имеет такой же вид, как (11.3),
г'-г»=2(^0 +ЁИ ) |
(и-14) |
*=i 7
Таким образом, в относительном перемещении механической системы по отношению к системе координат, связанной с центром масс и движущейся поступательно, теоремы об изменении кинети ческой энергии записываются так же, как и в неподвижной системе координат.
В заключение рассмотрим примеры, для решения каждого из ко торых требуется применение нескольких общих теорем динамики.
11.6. Пример. Вращение гимнаста на перекладине
Определить реакцию перекладины, действующей на руки гим наста при прохождении им наинизшего положения, если он начина ет вращение из вертикальной стойки на руках (рис. 11.5) с ничтож но малой угловой скоростью. Масса гимнаста М, радиус инерции относительно перекладины рин, расстояние от центра масс до пере кладины L Все указанные величины считать константами.
Решение. Рассмотрим гимнаста как абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О (см. рис. 11.5). Связь — идеальный цилиндрический шарнир. При произвольном положении гимнаста на него действуют сила тяжести Р и составляющие Х 0, У0 реакции цилиндрического шарнира.
По теореме о движении центра масс (7.1)
Мас = Р + Х о + У0, |
(11.15) |
|
Мах + Мап = Р + X о + Уо . |
||
|
||
Из уравнений проекций на оси получим |
|
|
Х 0 = —Мах cosq> + Мапsinф, |
|
|
У0 —Р — Мах sinср —Мапcoscp, |
(11.16) |
|
az = г£,ап = со2 £. |
|
Для нахождения^ и У0 необходимо знать угловую скорость те ла со и угловое ускорение е, которые мы определим для произволь ного положения гимнаста по теореме об изменении кинетической энергии в конечной форме (11.7), причем будем учитывать только внешние активные силы:
Т — То = Ар,