книги / Сборник задач по общей физике
..pdfПолная средняя кинетическая энергия молекулы
<εi> = 2i kT ,
где i – число степеней свободы молекулы. 2. Внутренняя энергия идеального газа
U mμ 2i RT mμ CV T . 3. Теплоемкость тела Ст ddQt .
Удельная теплоемкость c mdQdt .
Молярная теплоемкость C dνdQt mμ ddQt .
4.Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сV)
ипостоянном давлении (ср):
cV |
i |
|
R |
, |
cp i 2 |
R |
. |
2 μ |
|
||||||
|
|
2 μ |
Связь между удельной и молярной теплоемкостями
с = С , С = сμ.
Уравнение Майера
Cр – CV = R. 5. Работа расширения газа:
V2
A pdV – в общем случае;
V1
А = р(V2 – V1) – при изобарном процессе;
A m RTln V2 |
– при изотермическом процессе. |
|
μ |
V1 |
|
6. Первое начало термодинамики
Q = U + A,
61
где Q – теплота, сообщенная системе (газу); U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.
7. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной сис-
теме Qi 0 . |
Уравнения |
Пуассона, |
связывающие |
параметры |
||||||||||||||||
идеального газа при адиабатном процессе: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
pV γ |
= const, T2 |
V1 |
γ 1 , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p2 |
|
V1 |
|
γ |
T2 |
|
|
p1 |
(γ 1)/γ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V |
|
, |
T |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A U |
|
|
m |
сV |
T, |
|
|
|
A |
|
|
RT1 m |
|
V1 |
|
γ 1 |
|
|||
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|||||||
μ |
|
γ 1 μ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где γ – показатель адиабаты, ср .
сV
8.Термический КПД цикла
ηQ1 Q2 , Q1
где Q1 – теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника; Q2 – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.
9. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)
η Q1 Q2 T1 T2 , Q1 T1
где Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.
10. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2
S 2 S1 2 dQ. 1 T
62
Примеры решения задач
№ 1. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Р е ш е н и е.
Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами
cV |
|
i |
|
R |
, |
|
(1) |
|
|
|
μ |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
cp i 2 |
R |
, |
(2) |
|||||
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
μ |
|
|
где i – число степеней свободы молекулы газа; μ – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и μ = 20 10–3 кг/моль. Вы-
числяя по формулам (1) и (2), получим
cV |
|
3 |
|
|
8,31 |
|
6,24 102 Дж/(кг К), |
|||
2 |
20 10 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
cр |
3 2 |
8,31 |
|
1,04 103 |
Дж/(кг К). |
|||||
20 10 3 |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и μ = 2 10–3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим
cV |
|
5 |
|
|
8,31 |
|
|
1,04 104 Дж/(кг·К), |
|||
2 |
2 10 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
cр |
5 2 |
|
|
8,31 |
|
|
1,46 104 Дж/(кг К). |
||||
|
2 |
|
|
2 10 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
№ 2. Вычислить удельные теплоемкости сV и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона 1 = 80 %, массовая доля водорода 2 = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.
63
Р е ш е н и е.
Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сV найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на T, выразим двумя способами:
Q cV m1 m2 T, |
(1) |
Q cV ,1m1 cV ,2m2 T , |
(2) |
где cV,1 – удельная теплоемкость неона; cV,2 – удельная теплоемкость водорода.
|
Приравняв правые части уравнений (1) и (2) и разделив обе |
||||||||||||||
части полученного равенства на |
T, получим |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
cV m1 m2 = сV,1m1 + cV,2m2, |
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cV |
cV ,1 |
|
|
m1 |
cV ,2 |
|
m2 |
|
, |
(3) |
|
|
|
|
|
m1 m2 |
m1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cV = cV,1 1 +cV,2 2, |
|
|
|
(4) |
|||||
где |
1 и 2 |
– |
массовые |
доли |
неона |
и |
водорода в |
смеси, |
|||||||
1 |
m1 |
, |
2 |
|
|
m2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
m1 m2 |
|
|
m1 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем
сV = (6,24 · 102 · 0,8 + 1,04 · 104 · 0,2) = 2,58 · 103 Дж/(кг·К).
Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисле-
ния удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении: |
|
cр = cр,1 1 +cр,2 2. |
(5) |
Подставим в формулу (5) числовые значения величин: |
|
ср = (1,04 · 103 · 0,8 + 1,46 · 104 · 0,2) = 3,75 · 103 Дж/(кг·К).
64
№ 3. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при посто-
янном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменение |
U |
||||
внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, |
|||||
переданную газу. |
|
||||
Р е ш е н и е. |
|
||||
Изменение внутренней энергии газа выражается формулой |
|
||||
U cV m T |
i |
|
R |
m T, |
(1) |
|
|
||||
|
2 μ |
|
где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5); μ – молярная масса.
Начальную и конечную температуры газа найдем из уравне-
ния Менделеева–Клапейрона pV = m RT: |
|
||
|
μ |
|
|
T |
pVμ |
. |
(2) |
|
|||
|
mR |
|
|
Выпишем заданные величины в системе |
СИ: m = 2 кг, |
||
μ = 32 10–3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль К), V1 |
= 1 м3, V2 = V3 = |
||
= 3 м3, р1 = р2 = 0,2 МПа = 2 105 Па, р3 = 0,5 |
МПа = 5 105 Па. |
Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим
T1 2 105 1 32 10 3 385 К; 2 8,31
T2 2 105 3 32 10 3 1155 К; 2 8,31
T3 5 105 3 32 10 3 2887 К. 2 8,31
Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него, находим
65
U 5 |
|
8,31 |
2 2887 385 3,24 106 |
Дж 3,24 МДж. |
|||
32 10 3 |
|||||||
2 |
|
|
|
||||
Работа расширения газа при постоянном давлении выражает- |
|||||||
ся формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A R m T. |
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
Подставляя числовые значения величин, получим |
|||||||
А 8,31 |
|
|
2 |
|
1155 385 0,400 106 |
Дж 0,4 МДж. |
|
32 |
10 3 |
||||||
|
|
|
|
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом,
равна А = А1 + А2 = 0,4 106 Дж.
Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии U и ра-
боты А; Q = U + А, следовательно, Q = 0,4 106 + 3,24 106 =
=3,64 106 Дж = 3,64 МДж.
№4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем
был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.
Р е ш е н и е.
Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический
процесс, связаны между собой соотношением |
|
|||||||
T2 |
V1 |
γ 1 |
T2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, или |
|
|
|
|
, |
T1 |
T1 |
n |
γ 1 |
|||||
V2 |
|
|
|
|
|
где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа
γ = 1,4),
66
n1 = V2/V1 = 5.
Отсюда получаем выражение для конечной температуры
T2 nTγ1 1 .
1
Подставляя числовые значения заданных величин, находим
Т2 300 300 157 К. 51,4 1 1,91
Работа A1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле
A1 mμ CV T1 T2 mμ 2i R T1 T2 ,
где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив числовые значения величин R = 8,31 Дж/(моль К) и i
= 5 (для водорода как двухатомного газа), μ = 2 10–3 кг/моль, m = 0,02 кг, T1 = 300 К, T2 = 157 К в правую часть последней формулы, получим
А1 |
0,02 5 8,31 |
300 157 2,98 104 |
Дж. |
||
2 10 3 2 |
|
||||
|
|
|
Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
A2 |
m RT2ln V3 |
, или |
A2 |
m RT2ln |
1 |
, |
|
|
|||||||
|
μ |
V2 |
|
|
μ |
n2 |
где n2 = V2/V3 = 5.
Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим
А2 |
0,02 |
8,31 157ln |
1 |
|
–2 104 Дж. |
|
2 10 3 |
5 |
|||||
|
|
|
|
Знак «минус» показывает, что работа при сжатии совершается над газом внешними силами.
67
№ 5. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.
Р е ш е н и е.
Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
η A ,
Qн
где Qн – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим
η |
|
350 |
0,35. |
|
1000 |
|
|||
|
|
|
||
Зная КПД цикла, можно по формуле η |
Т1 Т2 определить |
|||
|
|
|
|
Т1 |
температуру охладителя
Т2 = Т1(1 – η).
Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуру T1 нагревателя, получим
Т2 = 500 · (1 – 0,35) К = 325 К.
№ 6. Найти изменение S энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 °С до температуры t2 = 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.
68
Р е ш е н и е. |
|
|
|
S′ при нагревании во- |
Найдем отдельно изменение энтропии |
||||
ды и изменение энтропии S |
при превращении ее в пар. Полное |
|||
изменение энтропии выразится суммой S′ и |
|
|||
S . |
||||
Как известно, изменение энтропии выражается общей форму- |
||||
лой |
|
|
|
|
S S2 |
S1 |
dQ |
. |
(1) |
|
||||
|
|
T |
|
При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды
T2 |
mc dT . |
S |
|
T1 |
T |
|
Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим
S mcln T2 .
T1
Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг;
Т1 = 273 К; T2 = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.
После вычислений найдем
S 0,1 4190 ln 373273 131 Дж/К.
При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т2 выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем
|
1 |
2 |
Q |
|
|
|
S |
dQ |
, |
(2) |
|||
|
|
|||||
|
T2 |
1 |
T2 |
|
69
где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим
S |
λm |
|
T2 . |
(3) |
Произведя вычисления по формуле (3), найдем
S 2,26 106 0,1 606 Дж/К. 373
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар
S = S′+ S = 737 Дж/К.
70