книги / Основы теории цепей. Ч. 2
.pdfном разряде к моменту t2, когда конденсатор полностью разрядился, ток в катушке сохраняет еще конечное значение, что является результатом сравнительно небольших потерь энергии в предыдущем интервале времени.
Сохранившаяся к моменту t2 энергия в магнитном поле катушки является причиной того, что процесс продолжается в последующее время. В интервале t2 < t < t3 , где t3 =Tсв 2 , ток, поддерживаемый
ЭДС самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор, причем напряжение на конденсаторе уже будет другого знака: uC (t) < 0 . В этом промежутке времени энергия
из магнитного поля катушки частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в тепло в сопротивлении. К моменту t3 конденсатор заряжается до максимального по модулю значения своего напряжения. В этот момент ток равен нулю, а uL = −uC . В следующую половину периода энергетический
процесс в точности повторяется, но знаки напряжений и тока будут противоположными их знакам в рассмотренном интервале t2 < t < t3 .
Напряжение на конденсаторе в момент t =Tсв будет в ∆ раз меньше начального напряжения U0.
В |
предельном случае, когда R = 0 , имеем δ = 0, ωсв = ω0 |
и Tсв =T0 |
= 2π LC . В этом случае колебания будут незатухающими, |
поскольку энергия электрического и магнитного полей не рассеивается. Величину T0 называют периодом незатухающих колебаний. Угловая частота незатухающих колебаний равна резонансной частоте контура.
Принимая вовнимание, что при δ = 0, arctg δ = π , получаем:
ωсв 2
i = −I |
0 |
e−δt sin ω t , |
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
uC =U0ρe |
−δt |
|
ω0t + |
π |
||
|
|
sin |
2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
171
uL =U |
0ρe |
−δt |
|
ω0t − |
π |
|
sin |
. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
Кривые тока и напряжений для этого случая полностью соответствуют характеру этих кривых при установившемся процессе в случае резонанса.
При R ≠ 0 имеем ωсв < ω0 и Tсв >T0 .
В предельном случае, когда R = 2 LC , т.е. δ = ω0 , получаем ωсв = 0 и Tсв = ∞. При этом колебательный разряд переходит в апе-
риодический. Этот предельный случай уже был рассмотрен выше. Получим общий вид системы уравнений для определения по-
стоянных интегрирования для случая комплексных корней характеристического уравнения. Как уже было показано, полное решение запишется в виде
i(t) = iпр + e−δt (M cos ωсвt + N sin ωсвt ) .
Для определения M и N составим систему уравнений:
i(0+ ) = iпр + e0 ( M cos 0 + N sin 0) = iпр + M
i/ (t) = e−δt (−δ)M cos ωсвt + e−δt N (−sin ωсвt ) ωсв +
+Me−δt (−δ)sin ωсвt + Ne−δt ωсв cos ωсвt.
Запишем i′(t ) для t = 0+:
i′(0+ ) =1(−δ) M cos 0 −1ωсвN sin 0 +1(−δ) M sin 0 +1ωсвN cos 0 =
= −δM + ωсвN.
Таким образом, искомая система уравнений имеет вид
|
+ |
) = iпр + M |
= ? |
|
|
i(0 |
|
|
|||
|
= −δM + ω |
|
N |
= ? |
|
i/ (0+ ) |
|
||||
|
|
св |
|
|
172
4.2.7.5. Включение RLC-контура к источнику постоянного напряжения
Переходный процесс в схеме |
|
R |
|
|
(рис. 4.20) с нулевыми начальными |
|
|
||
|
|
|
||
условиями: |
Е |
|
|
L |
|
C |
i |
||
uC (0− ) = uC (0+ ) = 0; |
|
|||
i (0− ) = i |
(0+ ) = 0 |
uC |
|
|
L |
L |
|
|
|
описывается следующим неоднород- |
Рис. 4.20 |
|
|
|
ным дифференциальным уравнением |
|
|
|
|
второго порядка: |
|
|
|
|
Ri + Li′+ C1 ∫idt = E;
LCi′′+ RCi′+i = CE .
Поскольку левая часть полученного уравнения совпадает с уравнением, описывающим разряд конденсатора в RLC-контуре, его общее решение (свободная составляющая) будет иметь два экспоненциальных члена с теми же корнями, что и для рассмотренных выше случаев разряда конденсатора.
Получим закон изменения тока:
i(t) = iпр + A1e p1t + A2e p2t .
Ток в установившемся режиме iпр будет равен нулю. Начальное условие для производной тока найдем из следующего уравнения:
Ri(0+ ) + Li′(0+ ) +uC (0+ ) = E,
i′(0+ ) = E .
L
Система уравнений для определения постоянных интегрирования принимает вид
173
i(0+) = A + A = 0, |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
i′(0+) = A p |
+ A p = |
E |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Решение системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
= −A2 |
= |
|
E |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
L ( p1 − p2 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, ток в цепи изменяется по следующему закону:
i(t) = L ( p − p ) (e |
1 |
−e 2 |
) . |
|
||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
p t |
p t |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Напряжение на индуктивности |
( p1e p1t − p2e p2t ) . |
|
||||||||||||
ul (t) = L |
di |
= |
|
|
E |
|
||||||||
|
|
|
− p |
|
||||||||||
|
|
|
dt p |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Напряжение на конденсаторе |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
t |
E |
|
|
|
p t |
p t |
|
||||||
uC (t) = |
|
∫idt = E + |
|
|
|
( p2e 1 |
− p1e 2 |
) |
||||||
C |
|
p − p |
2 |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
или из 2-го закона Кирхгофа
uC (t) = E − Ri(t) − L di . dt
Наличие принужденной составляющей E показывает, что uC является решением неоднородного дифференциального уравнения.
Сравнивая полученные выражения для тока i и напряжений uC, uL с выражениями, полученными при анализе разряда емкости в колебательном контуре, видим, что закон изменения тока и напряжения на индуктивности в обоих случаях один и тот же, но выражения различаются только знаками, так как теперь рассматриваем заряд конденсатора. Напряжение на конденсаторе при разряде изменяется от начального значения (в 0) U0 до нуля, а при заряде – от нуля до конечного значения (принужденной составляющей) E; изменение происходит по аналогичному закону.
174
Характер переходного процесса, как и при разряде конденсатора, зависит от корней характеристического уравнения. Зависимости тока i и напряжения uC имеют характер, изображенный на рис. 4.21 (апериодический заряд) и на рис. 4.22 (колебательный заряд).
4.2.7.8.Общий случай расчета переходного процесса
вцепи II порядка классическим методом
Порядок расчета переходных процессов классическим методом:
♦расчет независимых начальных условий (ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе) по виду цепи в докоммутационный период;
♦расчет принужденной составляющей xпр (t) переходного
процесса;
♦определение корней характеристического уравнения;
♦определение вида свободной составляющей xсв (t) переход-
ного процесса в зависимости от полученных корней;
♦запись полного решения x(t) = xпр (t) + xсв (t) ;
♦определение постоянных интегрирования;
♦нахождение окончательного полного решения x(t) ;
♦построение графика.
Пример. Проиллюстрируем рассмотренную выше методику на примере цепи второго порядка. Пусть дана цепь (рис. 4.23) с параметрами:
Е = 30 В, J = 2 А, R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.
175
Найти: закон изменения тока i1(t) после коммутации классическим методом.
i2 |
C |
i4 |
+ |
|
R2 |
||||
E |
|
|
||
R1 |
|
L |
J |
|
|
|
i1 i3 = iL
Рис. 4.23
1. Правила коммутации:
iL(0– ) = iL(0+) = 0 А,
uC (0– ) = uC (0+) = JR2 = 20 B.
2. Составление характеристического уравнения цепи.
Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:
iC = i2 , i3 = iL ,i1 = CuC′ +i4 − J ,
i1 = CuC′ −i3 ,i1R1 +uC = E,
i4 R2 − LiL′ −uC = 0,i4 R2 = uJ .
Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение
uC′′LC +uC′ L
R1
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
+CR2 |
|
+uC 1 |
+ |
2 |
|
= −JR2 |
− E |
2 |
. |
R1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид
p2 + ( L +CR1R2 ) p + R1 + R2 = 0.
R1LC LCR1
176
По II закону Кирхгофа получим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i |
(0+ ) = |
E −u (0+ ) |
= 0,5 A . |
|||||||
|
|
1 |
C |
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для построения схемы замещения в момент времени t = 0+ для |
||||||||||||
производных токов и напряжений необходимо определить начальные |
||||||||||||
значения скорости изменения напряжения на емкости и тока в ин- |
||||||||||||
дуктивности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
(0+ ) |
, |
i′ |
(0+ ) = |
u |
|
(0+ ) |
|
|
|
u′ (0+ ) = C |
|
|
L |
. |
||||||
|
|
C |
|
|
C |
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, следует определить iC (0+) и uL(0+) с помощью |
||||||||||||
уже полученной схемы замещения (см. рис. 4.25): |
||||||||||||
а) для определения uL(0+) составим уравнение по II закону |
||||||||||||
Кирхгофа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
L |
(0+ ) −i (0+ )R = −u (0+ ) , |
||||||||
|
|
|
|
R |
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
подставив известные iR |
(0+ ) = J и uC (0+) значения, получим uL(0+) = 0, |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
i′L (0+ ) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) iC (0+) = i1(0+) = 0,5 A, следовательно, |
|
uC′ (0+ ) = 5000 B/с. |
||||||||||
При построении схемы замещения в 0+ для производных вос- |
||||||||||||
пользуемся правилами, изложенными в п. 4.2.5. |
||||||||||||
В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных |
||||||||||||
воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участка- |
||||||||||||
ми (т.к. E′ = 0 ), а ветви с источниками токаразмыкаются (т.к. J ′ = 0 ). |
||||||||||||
Таким образом, схема замеще- |
|
|
|
|
||||||||
ния в t = 0+ для |
производных |
имеет |
|
|
|
EC′ |
||||||
вид (рис. 4.26). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
Определим |
i1′(0+ ) = −uC′ (0+ ) |
R1 , |
|
|
|
R1 |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
i′(0+ ) = −250 A c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i′(0+ ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Определение постоянных ин- |
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
Рис. 4.26 |
|||||||||
тегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
179 |