- •Лабораторнаяработа
- •Изучение основных свойствэлектростатическогополя методическиеуказания
- •Лабораторнаяработа№ 2э.2 изучение основных свойств электростатического поляцельработы
- •Методическоеобоснование
- •Потенциал
- •Описаниеэкспериментальнойустановки
- •Подготовка лабораторной установки к работеиметодикаизмерений
- •Обработкарезультатовизмерений
- •Задание
- •Контрольныевопросы
- •Рекомендованнаялитература
МинистерствообразованияРеспубликиБеларусьБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедрафизики
Лабораторнаяработа
№2э.2
Изучение основных свойствэлектростатическогополя методическиеуказания
Минск2023
Лабораторнаяработа№ 2э.2 изучение основных свойств электростатического поляцельработы
Изучитьхарактеристикивекторногополя:потокΦЕчерезориентиро-ваннуюповерхностьициркуляцию ΓЕвдольориентированногоконтура.
ПроверитьтеоремуГауссадляполявекторанапряженностиEэлек-трического полявинтегральной форме.
Проверитьравенствонулюциркуляциивекторанапряженности E
электростатическогополявдольпроизвольногоориентированногоконтура.
Методическоеобоснование
Всякий заряд (частица или тело, обладающее зарядом) изменяет опреде-ленным образом свойства окружающего его пространства – создаетэлектриче-ское поле, которое проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо еготочкудругойзарядиспытываетдействиесилы со стороныэтогополя.
Основной характеристикой электрического поля является напряженность.НапряженностьEэлектрического поля в некоторой его точке – векторнаяфизическаявеличина,являющаясясиловойхарактеристикойэлектрическогопо-ляиравнаяотношениюсилы⃗,действующейсостороныполянапомещенныйв
даннуюточкунеподвижныйточечныйпробныйзарядqпр,кэтомузаряду:
-
E(r)F(r).
qпр
(1)
В СИ[Е]= В/м.
Электростатическим полемназывается электрическое поле, создавае-мое неподвижными в выбранной системе отсчета зарядами. Кроме напряжен-ностиважнойхарактеристикойэлектростатическогополяявляетсяпотенциал.
Потенциал
(r)
точкиэлектростатическогополя–скалярнаяфизиче-
скаявеличина,являющаясяэнергетическойхарактеристикойэтогополявдан-
нойточкеиравнаяотношениюпотенциальнойэнергии
Wp(r),
которойобла-
даетнаходящийсявданнойточкепробныйточечныйзарядqпр,кэтомузаряду:
-
Wp(r)(r) .
qпр
(2)
В СИ[φ]=В.
Связьнапряженностиэлектростатическогополяипотенциала:векторнапряженности в данной точке с радиус-векторомrэлектростатического поляравенградиентупотенциалавэтойточкеполясобратнымзнаком:
-
Ergrad(r).
(3)
В декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) равенство (3)принимаетвид:
EreEreEre(r)e(r)e(r)e, x x y y z z x x y y z z |
(4) |
где
Exr,
Eyr,
Ez
–проекциинапряженностиEвточкеэлектростати-
ческогополясрадиус-векторомrнакоординатныеосиДПСК;
ex,
ey,ez
–ортонормированныйбазисДПСК.
Стационарным векторным полем(например, полем вектора напряжен-ностиEэлектростатического поля) называется область пространства, в каждойточкекоторойзаданнезависящийотвременивекторE,т.е.определенавек-
торнаяфункциякоординатEEr,гдеr –радиус-векторточкиобластипространства.
Силоваялиниявекторногополя
EE(r)
−этонаправленнаялиния,в
каждой точке которой векторEнаправлен по касательной к силовой линии.Густота силовых линий (т. е. число силовых линий, пересекающих перпендику-лярную к ним плоскую поверхность единичной площади) в некоторой точкеполяпрямо пропорциональнамодулюЕвектораEвэтой точке.
Интегральнымихарактеристикамивекторногополя,описывающимиос-
новныеегосвойства,являются:
потокΦЕчерезориентированнуюповерхность,
циркуляция ΓЕвдоль ориентированного контура.Пустьвокрестностикакой-либоточкивектор-
ногополя
EE(r)
находитсямалыйплоскийэлемент
(dS) некоторой поверхности (S), в пределах которогоданноеполеможносчитатьоднородным,т.е.векторEв каждой точке элемента (dS) одинаков (рис. 1).Ориентируем этот элемент (dS) заданием единичноговекторанормалиn(n1),проведенногоперпенди-
кулярнок(dS).Посколькумалыйэлемент(dS)по-верхности является плоским, то вектор нормалиnк(dS) можно провести как в одном направлении, так и впротивоположном.Введемврассмотрениевекторориентированногомалогоэлементаповерхности
,равного
-
dSdSn.
(5)
гдеdSплощадьмалогоэлемента(dS)поверхности(S).
Тогдапотоком(элементарным)
dE
векторногополя
EE(r)
через
dEE,dSE,ndSEcosdSEndS, |
(6) |
малыйориентированныйэлементповерхностиназываетсячисло,равноеска-лярномупроизведениювекторовEиdS:
гдеαугол междувекторамиEиn;
EnE,nEcos–проекцияEнанаправление единичноговектора
нормалиn(или ).
Пустьвобластивекторногополя
EE(r)
находитсягладкаяиликусоч-
но-гладкая поверхность (S) конечных размеров (рис. 1).Ориентированнойявля-ется гладкая двусторонняя поверхность (S), в каждой точке которой задан еди-ничныйвекторn,направленныйпонормаликоднойизсторонэтойповерхно-
сти.ПотокΦЕвекторногополяEErчерезпроизвольнуюориентирован-
EE,dSE,ndS, (S) (S) |
(7) |
нуюповерхность(S)– эточисло,равноезначениюповерхностногоинтеграла
где n–векторориентированногомалогоэлемента(dS)поверхности(S);
dSплощадьмалогоэлемента(dS)поверхности(S),впределахкотороговекторноеполе можносчитатьоднородным;
n–единичныйвекторнормаликмаломуэлементу(dS)поверхности(S).
В СИ[ΦE]= В·м.
EE,ndSEcosdSEndS, (S) (S) (S) |
(8) |
Сучетомопределенияскалярногопроизведениявекторовпоток(7)век-торногополя равен
гдеαуголмеждувекторамиEиn(рис.1);
EnEcos– проекцияEна направление единичного вектора нормалиn.Согласно определению(7)потокΦЕ–величинаалгебраическая,т.к.онможетприниматьположительныезначения(ΦЕ>0),отрицательныезначения
(ΦЕ<0)илибытьравнымнулю(ΦЕ=0)приE0.
Формула (7) определяет поток ΦЕчерез двусто-роннююповерхность (S)сточностью дознака(«+» или
«–») в зависимости от выбора стороны поверхности, ккоторой задаетсяединичный вектор нормалиn. Еслиповерхность(S)ориентироватьзаданиемединичного
векторанормали
n1кееверхнейстороне(рис.2),то
поток ΦЕ1в этом случае будет отличаться только зна-ком от потока ΦЕ2через ту же самую поверхность (S),ноориентированнуювыборомединичноговектора
E1E,n1dSEcos1dSEcos2dS (S) (S) (S) Ecos2dSE,n2dSE2. (S) (S) |
(9) |
нормалиn2книжнейстороне(n2n1):
В случаезамкнутойповерхности (сферы, поверхности параллелепипедаили любой другой ограничивающей объемное тело поверхности) единичныйвектор нормалиnпроводится квнешней сторонеэтой поверхности, т. е. нару-жуограничиваемойеюпространственнойобласти.Дляобозначенияповерх-
ностногоинтегралапозамкнутойповерхности(S)используетсясимвол
ПотокΦЕвекторногополя
EE(r)
черезпроизвольнуюориентирован-
нуюповерхность(S)прямопропорционаленразностичиславыходящихNвыход
E~NвыходNвход. |
(10) |
изэтойповерхностиивходящихNвходвнеесиловыхлинийэтогополя:
Приэтомвыходящейизориентированнойпо-верхности (S) является такая силовая линия, направле-ние которой в точке ее пересечения с (S) образуетост-рыйугол с единичным вектором нормалиnк этой по-верхности (рис. 3). Если силовая линия пересекает ори-ентированнуюповерхность(S)так,чтонаправлениелинии образует с единичным вектором нормалиnкэтой поверхноститупойугол, то такая силовая линияявляетсявходящей.
Теорема Гаусса для поля вектора напряженностиEэлектрическогополяввакуумевинтегральнойформе:потоквекторанапряженностиEэлектрического поля в вакууме через любуюзамкнутуюповерхность (S) равеналгебраической сумме зарядовqохв, охватываемых этой поверхностью, делен-нойна электрическуюпостояннуюε0:
-
(E,dS)1q .
охв
(S) 0
(11)
Принимая во внимание связь потока ΦЕполя вектораEчерез произволь-ную ориентированную поверхность (S) счислом пересекающихэту поверх-ностьсиловых линийданного поля(10),изтеоремыГаусса(11)следует:
если замкнутая поверхность охватывает электрические заряды, то потоквектора напряженности через эту поверхность отличен от нуля, а значит, общеечислосиловыхлиний,пересекающихэтуповерхностьнеравнонулю,т.е.Nвых≠Nвход;
есливнутрипространственнойобласти,ограниченнойзамкнутойповерх-
ностью заряды отсутствуют, то число выходящих линий равно числу линийвходящихNвых=Nвход.
ПоэтомусодержательныйсмыслтеоремыГауссадляполявекторанапряженностиEэлектрического поля в вакууме в интегральной форме заклю-чается в следующем: в общем случае силовые линии электрического поля неявляются замкнутыми – они начинаются на положительных электрических за-рядах и оканчиваются наотрицательных.
Гладкая или кусочно-гладкая замкнутая кривая (контур) считаетсяориен-тированной, если вдоль нее выбрано направление обхода, т. е. в каждой точкеэтойкривойзаданединичныйвектор(1),направленныйпокасательнойк
кривой всторонуобхода.
ЦиркуляцияΓЕвекторногополя
EE(r)
вдользамкнутойориентиро-
EE,dE,d, (L) (L) |
(12) |
ваннойкривой(L)–эточисло,равное значениюлинейногоинтеграла:
где
векторориентированногомалогоэлементаза-
мкнутойкривой(L)(рис.4);
d –длинамалогоэлемента(d )замкнутойкривой(L),впределахкотороговекторноеполеможносчитатьоднородным;
единичный вектор касательной к кривой (L) в некото-ройточкеэлемента(d ),понаправлениюсовпадающийснаправлениемобходавдоль(L).
В СИ[ΓE]= В.
Сучетомопределенияскалярногопроизведениявекторовциркуляция(12) векторногополя равна
-
EEcosd Ed,
(L) (L)
(13)
гдеαуголмеждувекторамиEи(рис.4);
EE,Ecos–проекцияEнанаправлениеединичноговекторакаса-
тельнойиливектораориентированногомалогоэлемента
кривой(L).
РаботаАсилыFэлектрическогополяпридвижениивнемточечногоза-рядаqпозамкнутойтраектории(L),равнапроизведениюэтогозарядаqнацир-
куляциюΓЕвекторногополянапряженности
EF(r)
q
вдользамкнутойориен-
тированнойкривой(L),совпадающейстраекториейдвиженияданногозаряда:
-
FqE
AF,dr qE,dqE,dqE.
(L) drd (L) (L)
(14)
E,d0. (L) |
(15) |
Теорема о циркуляции вектора напряженностиEэлектростатиче-ского поля в интегральной форме: циркуляция вектора напряженностиEэлектростатическогополя вдоль любой замкнутой ориентированной кривой (L)всегдаравна нулю:
С учетом (14) из теоремы о циркуляции (15) получается, что работа силэлектростатическогополяпридвижении внемточечного зарядаqпозамкнутой
траектории(L)всегдаравнанулю.Следовательно,силыэлектростатическогополяявляютсяконсервативными.