методичка из инета по мн-вам
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Учебно-методическое пособие
Пенза 2014
УДК 51 (075)
Р 47
Рецензент кандидат педагогических наук, доцент,
заведующая кафедрой начального общего образования ГАОУ ДПО «Институт регионального развития Пензенской области»
А. В. Маркова
Элементы теории множеств: Учебно-методическое пособие/ Сост.: Кулагина Т. В., Тихонова Н. Б. – Пенза: ПГУ, 2014. –32 с.
Учебное пособие подготовлено на кафедре «Теория и методика дошкольного и начального образования» и предназначено для студентов-бакалавров очного и заочного отделений факультета педагогики, психологии и социальных наук, профиль «Начальное образование».
УДК 51(075)
© Кулагина Т.В. ©Тихонова Н.Б.
Пензенский государственный университет, 2014
2
СОДЕРЖАНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ……………………………......... 4
1.Понятие множества………………………………………………….. 4
1.1. Способы задания множества…………………………………… 5
1. 2. Подмножества……………………………………………........... 8
1.3. Отношения между множествами……………………................. 9
2.ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ……………………………… 13
2.1.Пересечение………………………………………………………. 13
2.2.Объединение………………………………………………............ 13
2.3.Разность…………………………………………………............... 14
2.4.Симметрическая разность…………………………….................. 15
2.5.Декартово произведение…………………………………........... 16
2.6.Разбиение множества на классы. Классификация……………... 17
3.СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ…………......... 19
3.1. |
Доказательство свойств операций над множествами………… |
21 |
3.2. |
Иллюстрация свойств операций над множествами……............ |
22 |
УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………………………. 24
Литература………………………………………………………………. 34
3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Теория множеств как математическая дисциплина создана Кантором1. Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретикомножественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.
1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Понятие множества настолько общее, что невозможно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание, объединение элементов и т.п. Объекты, из которых образовано множество, называются его
элементами.
Вот что сказано у самого Кантора: «Под «множеством» мы понимаем любое объединение в одно целое определенных вполне различаемых объектов из нашего восприятия или мысли». Но это описание понятия множества нельзя считать его математическим определением. Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Это понятие можно только постараться пояснить на примерах.
Например:
множество (набор) карандашей в коробке;
множество (класс) хвойных деревьев;
множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной (окружность).
Множества принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, C, D, …, Z, а элементы множества – малыми: a, b, c, d,
…, x, y, z.
1 Георг Кантор (1845-1918) - немецкий математик. Родился 3 марта 1845 в СанктПетербурге. Наиболее известен как создатель теории множеств. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных.
4
Утверждение: «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: a A.
a A - означает, что элемент a не принадлежит множеству А. Множества, элементами которых являются числа, называются
числовыми множествами.
Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
C – множество комплексных чисел.
Понятие множества и некоторые другие с ним связанные, являются основой начального обучения математики и широко в нем используются. В большинстве учебников по математике для начальной школы термин «множество» отсутствует, и это понятие используется неявно. Хотя есть некоторые авторы, которые явно включают понятие «множество» в начальный курс математики (Петерсон Л.Г.). Формирование таких важнейших понятий, как число, операций сложения и умножения натуральных чисел, понятие о геометрической фигуре, в школьном курсе математики происходит на теоретико-множественной основе.
1. 1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА
Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Существуют два способа задания множества.
1. Перечисление всех элементов.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. В таком случае названия всех элементов множества записывают в строку, отделяя запятыми, и заключают в фигурные скобки. Например:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
2. Указание характеристического свойства.
Множество можно задать, сформулировав характеристическое свойство.
5
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Например:
A {a | a N и a 10} (множество натуральных чисел меньших
10)
Множества могут содержать как конечное, так и бесконечное число элементов.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Все элементы этих множеств можно перебрать (пересчитать). Конечные множества, содержащие n элементов, называются n-элементными множествами. Например: множество, содержащее один элемент - одноэлементное множество, множество, содержащее пять элементов - пятиэлементное множество и т.д. Утверждение: «Число элементов множества А равняется k» символически записывается так:
n(A)
k
.
В математике приходится постоянно сталкиваться с бесконечными множествами (нельзя сказать, сколько элементов в этих множествах, нельзя их полностью перебрать). Например: множества натуральных, целых, четных, нечетных чисел и многие другие.
Для удобства вводится также и множество с числом элементов равным нулю, т.е. множество, не имеющее элементов.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом , n( )=0.
Например, множество русских слов, начинающихся на букву Ъ. Таких слов нет, поэтому это пустое множество, численность его элементов равна нулю.
Числовые множества можно изобразить на координатной прямой. Например:
а) A={x, x N, x 5}
А - это множество, состоящее из первых пяти натуральных чисел, на координатной прямой отмечается пятью точками.
0 |
A |
|
1 2 3 4 5
6
б) В={x, x N0, x 7}
В – это множество, состоящее из 8 элементов, включая ноль.
B
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
в) С={x, x Z, -3 x<5}
C – это множество целых чисел от -3 до 4, на координатной прямой обозначается тоже отдельными точками.
C
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
г) D={x, x R, -3 x 4}
D – это бесконечное множество действительных чисел на отрезке от -3 до 4, который можно записать еще так: [-3, 4]. На координатной прямой замкнутый промежуток можно обозначить следующими способами:
|
|
|
D |
|
D |
-3 |
0 |
4 |
-3 |
0 |
4 |
д) Е={x, x R, -3<x<4}
Е – это бесконечное множество действительных чисел на интервале от -3 до 4, который можно записать еще так: (-3, 4). На координатной прямой открытый промежуток можно обозначить следующими способами:
|
|
|
E |
|
E |
-3 |
0 |
4 |
-3 |
0 |
4 |
е) F={x, x R, x<4}
F – это бесконечное множество действительных чисел меньших 3, записывают так: (-∞, 3). На координатной прямой луч можно обозначить следующими способами:
|
F |
|
F |
0 |
3 |
0 |
3 |
ж) G={x, x R, x 2,5}
G – это бесконечное множество действительных чисел больших либо равных 2,5, записывают так: [2,5; ∞). На координатной прямой луч можно обозначить следующими способами:
|
G |
|
G |
-2,5 |
0 |
-2,5 |
0 |
7
1. 2. ПОДМНОЖЕСТВА
Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. В этом случае множество А является надмножеством В. Записывают это Прочитать эту запись можно по-разному:
В является подмножеством А,
А является надмножеством В,
В включается во множество А,
А включает в себя множество В.
Например, А – множество двузначных чисел, а В – множество двузначных чисел, кратных 5.
Считают, что каждое множество А является подмножеством самого себя. A A.
Пустое множество является подмножеством любого множества:
A.
Любое непустое подмножество В множества А, не совпадающее со множеством А, называется собственным подмножеством.
Для множества А пустое множество и само множество А называются несобственными подмножествами множества А.
Множество, которое включает все рассматриваемые множества, называется универсальным. Обозначается U.
Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2n подмножеств.
Любое множество можно изобразить графически, нарисовав замкнутый контур и представив себе, что элементы этого множества изображены точками, находящимися внутри этого контура. Показывать на рисунке точки не обязательно. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Такой способ изображения множеств носит название диаграмм Венна2 (или кругов Эйлера3). Чаще называется диаграммами Эйлера-Венна.
2Джон Венн (1886-1921) — английский логик и философ. Родился 4 августа 1834
вЙоркшир. Умер — 4 апреля 1923, Кембридж. Он известен за введение диаграмм Венна, которые используется во многих областях, таких как теория множеств, теория
вероятностей, логика, статистика и информатика.
3 Леона́рд Э́йлер (1707-1783) — швейцарский, немецкий и российский математик
и механик. Родился 15 апреля 1707 в Швейцарии. Умер 7 (18) сентября 1783 в СанктПетербурге. Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и
8
Например, числовые множества можно изобразить так.
1. 3. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ
Если множества A и B не имеют общих
элементов, то говорят, что эти множества |
||
находятся в отношении непересечения. |
||
Записывают это так: |
A B |
. |
|
АВ
Например, А – множество треугольников, В – множество трапеций. Эти множества не имеют общих элементов, т. е. не существует фигуры, которая была бы одновременно и треугольником, и трапецией. Поэтому множества А и В находятся в отношении непересечения.
Если множества A и B имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно и А, и В, то говорят, что эти
множества находятся в отношении пересечения. Записывают это
A B .
другим областям. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с 1731 года — профессором). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
9
Множества A и B находятся в общем положении |
|
|
пересечения, если существует элемент (хотя бы |
А |
В |
один), принадлежащий исключительно множеству |
||
A, элемент, принадлежащий исключительно |
|
|
множеству B, а также элемент, принадлежащий |
|
|
обоим множествам. |
|
|
Например, А – множество прямоугольников, В – множество ромбов. Множества А и В находятся в общем положении пересечения, так как существует фигура, которая является одновременно и ромбом, и прямоугольником – это квадрат, а так же есть прямоугольники, которые не являются ромбами, и есть ромбы, которые не являются прямоугольниками. Иллюстрация этого отношения изображена на обложке пособия.
Два множества находятся в отношении включения, если все элементы одного множества являются элементами другого. Например, если все элементы множества А являются элементами множества В, то А включается в В, а В включает в себя множество А.
A B
ВА
Например, А = {12, 21, 11, 22}, B = {10, 11, 12, 20, 21, 22}.
A B |
, так как все элементы множества А являются одновременно |
|
|
||
и элементами множества В. |
|
|
Два множества A и B находятся в отношении |
|
|
равенства, если каждый элемент A будет также |
|
|
являться элементом B, и каждый элемент множества B |
А=В |
|
будет |
также являться элементом A, т.е. |
|
A B |
и B A. |
|
A B A B и B A.
Например, А ={a, a N, a<6}, B={b, b Z, 1 b 5}.
Множества А и В равны, так как состоят из одних и тех же элементов: 1, 2, 3, 4, 5.
10