ДУ / Lektsia3_DU_1
.pdfЛекция №3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Определитель Вронского и его свойства
Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛОДУ-2)
|
|
|
|
y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = 0 , |
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||
где a1 (x) и a2 (x) непрерывные на некотором отрезке |
[a ; b] функции. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Определение 1. Функции y1 (x) и y2 ( x) называются линейно зависимыми (ЛЗ) |
||||||||||||||||||||||||||||
на [a ; b] , если x [a ; b] |
α1 ; α2 , |
|
|
где, |
по крайней мере, |
одно |
из них |
|||||||||||||||||||||
отличное от нуля, и для которых |
выполняется |
равенство |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
α1 y1 + α 2 y2 |
= 0 или, если α 2 ¹ 0 , то y2 |
= λ y1 , т.е. |
y2 |
|
= λ = - α1 |
= const . |
|
|||||||||||||||||||||
y1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|||
В противном случае, функции y1 (x) и y2 ( x) называются линейно |
||||||||||||||||||||||||||||
независимыми (ЛНЗ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, функции |
y = ex−1 |
и |
y |
= 2ex − ЛЗ, |
так как |
|
y2 |
= 2е = const , |
а |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции y1 |
= cos x и y2 = sin x |
− ЛНЗ, |
|
так как |
|
= tg x ¹ const . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель |
||||||||||||||||||||||||||||
Вронского |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (x) = W ( y , y |
|
) = |
|
y1 |
|
|
y2 |
|
= y y¢ - y |
y¢ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
y¢ |
|
|
y¢ |
|
1 2 |
|
|
2 1 , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что следует из теорем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Если функции y1 (x) |
и y2 ( x) линейно зависимы (ЛЗ) на [a ; b] , |
то |
||||||||||||||||||||||||||
определитель Вронского |
W ( y1 , y2 ) = 0 |
x [a ; b] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Так как |
y2 = λ y1 , |
то |
|
′ |
- y2 y |
′ |
|
|
|
|
|
′ |
′ |
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
W ( y1 , y2 ) = y1 y2 |
|
|
= λ y1 y1 - λ y1 y1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема 2. Если определитель Вронского, |
составленный |
из |
решений |
|||||||||||||||||||||||||
уравнения (3), при некотором |
x0 Î[a ; b] отличен от нуля, |
т.е. W (x0 ) ¹ 0 , |
то |
|||||||||||||||||||||||||
W ( x) ¹ 0 |
"x Î[a ; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как y1 (x) и y2 ( x) решения уравнения (3), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
+ a2 y2 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y2 |
+ a1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
+ a2 y1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y1 |
+ a1 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Первое равенство умножим на |
y1 , |
второе |
|
на |
|
(- y2 ) и сложим полученные |
||||||||||||||||||||||
результаты. С учётом, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W ′ = y′y′ + y y′′- y |
′y′ |
|
- y |
2 |
y′′= y y |
′′ - y |
2 |
y′′ , |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
получим уравнение с разделяющимися переменными
d W |
+ a W = 0 . |
|
|
d x |
1 |
|
Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию W (x0 ) = W0 ¹ 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
d W |
|
x |
|
|
|
|
− ∫ a1 d x |
|
∫ |
= − |
∫ |
a1 d x W = W 0 e |
xo |
||||
|
|
(4) |
|||||||
|
W |
|
|
|
|
||||
|
x0 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 y 2′ − y 1′ y 2 = |
W 0 e |
− ∫ |
a 1 d x |
|
||||
|
x o |
. |
|
||||||
|
|
|
|||||||
Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, |
что если |
||||||||
W0 ¹ 0, то W ( x) ¹ 0 |
"x Î[a ; b] . |
|
|
|
|
|
|
||
Замечание 1. Из |
формулы (4) |
также |
следует, |
что если |
при некотором. |
||||
x0 [a ; b] W0 = 0 W (x) = 0 |
x [a ; b]. |
|
|
|
Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на y12 , получим с точностью до константы
x
|
|
|
′ |
|
− ∫ a1 d x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 2 |
|
e |
xo |
− ∫ a1 d x |
y1−2 d x . |
|
|
|
= |
|
y 2 = y1 ∫ e xo |
|||
y1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
y1 |
|
|
Теорема |
3. |
Если |
решения |
ЛОДУ-2 (3) |
ЛНЗ |
на |
[a ; b] , то |
W ( y1 , y2 ) ¹ 0 |
"x Î[a ; b] . |
|
|
x0 [a ; b] . Тогда по |
|||
Предположим обратное, т.е. W (x0 ) = 0 при некотором |
|||||||
теореме 2 W ( y1 , |
y2 ) = 0 |
"x Î[a ; b] . |
Предположим, |
что y1 |
¹ 0 |
(в противном |
случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство
y y′ |
− y |
y′ |
|
|
|
y |
2 |
′ |
y |
2 |
|
|
1 2 |
|
2 1 |
= 0 |
|
|
|
|
= 0 |
|
= λ = const , |
||
|
2 |
|
y1 |
y1 |
||||||||
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
функции y1 (x) и y2 ( x) линейно |
зависимы. |
Полученное |
противоречие |
|
доказывает теорему. |
|
|
|
|
|
|
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2 |
|
|||
|
Теорема 4. Если функции y1 (x) |
и y2 ( x) − два |
ЛНЗ решения |
уравнения (3), |
|
то |
его общее решение имеет вид |
y = C1 y1 + C2 y2 , где С1 и С2 произвольные |
|||
константы. |
|
|
|
|
|
|
Вначале покажем, что y = C1 y1 + C2 y2 |
является решением уравнения (3), для |
чего подставим его в (3) и сгруппируем члены при С1 и С2:
C1 ( y1′′+ a1 y1′ + a2 y1 ) + C2 ( y2′′+ a1 y2′ + a2 y2 ) = 0 .
Далее покажем, что для любых начальных условий вида y(x0 ) = y0 ; y′(x0 ) = y0′ можно найти значения С1 и С2, при которых такое решение удовлетворяло бы им.
Подставим в эти условия y = C1 y1 + C2 y2 , тогда получим систему для определения значений С1 и С2
C1 y10 + C2 y20 |
= y0 ; |
|
|||||
C y¢ |
+ C |
2 |
y |
¢ |
= y |
¢ |
(5) |
1 10 |
|
|
20 |
|
0 |
|
с определителем Вронского
|
|
|
|
y10 |
|
y20 |
= W0 ¹ 0 , |
|
|
|
|
|
|
||||
так как y1 (x) и y2 ( x) |
|
y1¢0 |
|
y2¢0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− ЛНЗ |
решения уравнения (3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Из решения системы (5) определяем С1 и С2. |
Таким образом, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y = C1 y1 + C2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
является общим решением уравнения (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения |
|
|
|||||||||||||
|
|
второго порядка (ЛОДУ-2) с постоянными коэффициентами |
|
|
|||||||||||||
|
|
Общий вид ЛОДУ-2 |
|
y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 , |
|
|
|
|
|
||||||||
где a1 , a2 - const . |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ek x . |
|
|
|
|||||
|
|
Будем искать решение этого уравнения в виде |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Подставим в уравнение (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ek x (k 2 + a1k + a2 ) = 0 k 2 + a1k + a2 = 0 . |
|
(2) |
|||||||||||||
|
|
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны |
|||||||||||||||
следующие три случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 ¹ k2 . |
|
|
|
||||
|
|
1. Корни уравнения k1 |
и k2 действительные и |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Тогда, очевидно, |
что |
y = ek1x |
и y |
2 |
= ek2 x . |
Эти |
|
решения |
ЛНЗ, |
так |
как |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
= e( k1 − k2 ) x ¹ const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае общее решение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
yoo = C1y1 + C2 y2 = C1ek1 x + C2ek2 x . |
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′ + 4y′ − 5y = 0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
Составим характеристическое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k2 + 4k -5 = 0 k = -5; k =1. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Воспользуемся формулой (3): |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= C e−5x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y |
oo |
2 |
e x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2. Корни k1 и k2 действительные и |
|
k1 = k2 |
= k . |
|
|
= ek x . |
|
|
|||||||
|
|
Тогда в качестве первого частного решения можно взять y |
Покажем, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
что в этом случае, является решением также функция |
y |
2 |
= xek x . Подставим |
её в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение и с учетом теоремы Виета, получим
xekx (k2 + a1k + a2 ) +ekx (2k + a1) = 0 .
|
y1 |
= |
1 |
¹ const . |
|
Эти решения ЛНЗ, так как y2 |
x |
||||
|
|
В этом случае общее решение примет вид
|
|
|
|
|
|
y |
oo |
= C y |
|
+ C |
2 |
y |
2 |
= ekx |
(C |
+ C |
2 |
x) |
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Найти общее решение уравнения y′′−6y′+9y =0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Составим характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k2 −6k +9 = 0 k = k = 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Воспользуемся формулой (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
oo |
= e3x (C + C |
2 |
x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Корни комплексно-сопряженные, т.е. |
|
k1, 2 = α ± iβ . |
|
|||||||||||||||||||||||||
Вначале покажем, что если y = u + iv |
|
является решением уравнения (1), |
то |
|||||||||||||||||||||||||
этому уравнению |
удовлетворяют функции |
|
u и |
|
v. |
Подставим y = u + iv |
в |
|||||||||||||||||||||
уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u ′′ + a1 u ′ + a 2 u + i ( v ′′ + a1 v ′ + a 2 v ) = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Подчеркнутая сумма и выражение в скобках равны нулю. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Итак, в этом случае частные решения имеют вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y1 = e (α +i β ) x |
|
|
и y2 = e(α −iβ ) x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
ei z |
|
= cos z + i sin z , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y1 |
= eα x +i β x |
= eα x e i β x |
|
= eα x (cos β x + i sin β x ) ; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
= eα x −iβ x |
= eα x e −iβ x |
= eα x (cos β x − i sin β x ) |
|
|||||||||||||||||||||
и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
eα x cos β x ; eα x |
sin β x ; eα x |
cos β x ; − eα x sin β x . |
|
||||||||||||||||||||||
Очевидно, линейно-независимыми среди них будут два решения |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y1 = eα x cos β x ; y2 |
= eα x sin β x , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y1 |
= ctg β x ¹ const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно, общее решение будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
yoo = C1 y1 + C2 y2 = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx). . |
(5) |
||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′− 4 y′+13y = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Составим характеристическое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 2 − 4k +13 = 0 k |
|
|
= 2 ± 3i . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Воспользуемся формулой (5): |
|
y |
oo |
|
= e2 x (C cos 3x + C |
2 |
sin 3x). |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|