428
.pdfнечных элементов максимально на 10-4. Графики зависимостей аналогичны графикам, представленным на рис. 3–5. Таким образом, для данной задачи метод геометрического погружения сходится и дает результаты, близкие к точному решению.
Графики, представленные на рис. 6, демонстрируют распределение найденных напряжений и перемещений от радиуса, а также выполнение естественных граничных условий в перемещениях. Результаты метода геометрического погружения показаны с учетом добавочной области V∆ .
σrr , 10–2 Па |
σθθ , 10-2 Па |
r, 10-2 м
а |
б |
u,10-2 м
r, 10-2 м
в
Рис. 6. Результаты решения первой задачи: а – радиальные напряжения; б – окружные напряжения; в – перемещения
11
Рис. 7 демонстрирует сходимость итерационной процедуры метода геометрического погружения: результаты первой итерации наиболее отличаются от точного решения задачи, уже на третьей итерации метод близок к точному решению: относительная погрешность ради-
ального напряжения |
∆σrr = 0,2614 10-4 , окружного напряжения |
||||
∆σθθ = 0,9470 10-4 , перемещений ∆ur = 0,4658 10-4 . |
|||||
σ |
rr |
, 10–2 Па |
σ |
θθ |
, 10-2 Па |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r, 10-2 м |
r, 10-2 м
а |
б |
u,10-2 м
r, 10-2 м
в
Рис. 7. Результаты решения первой задачи для первых трех итераций метода геометрического погружения: а – радиальные напряжения;
б– окружные напряжения; в – перемещения
Вкачестве более сложного иллюстративного примера осуществим реализацию алгоритма метода геометрического погружения для задачи, не имеющей аналитического решения, с усложненной геомет-
12
рической конфигурацией. Решалась задача об определении напряжений в круговой области, внешний радиус которой r = 2 10−2 м, с внутренним эллиптическим вырезом, малая полуось которого a =10−2 м, большая – b =1,5 10−2 м. На внутренней эллиптической поверхности заданы нормальные к границе области перемещения Un =0,01 10−2 м, на внешней поверхности – статические граничные условия σr = −1 кг/см2 и τrθ = 0 кг/см2 (рис. 8). Задача плоская, решение ведется в рамках ли-
нейной теории упругости в полярной системе координат, с использованием метода конечных элементов в напряжениях. Погру-
жение осуществлялось в кольцо с внутренним радиусом |
r' =10−2 |
м |
||
|
|
|
1 |
|
и внешним радиусом |
r' |
= 2,5 10−2 м (рис. 9). Каноническая область |
||
|
2 |
|
|
|
разбивается кольцевыми элементами, связанными друг с другом только в узловых окружностях.
σrr |
|
σ |
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
Un |
|
Un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆V |
|
|
Рис. 8. Схема круговой области |
Рис. 9. Схема погружения |
|
||
с эллиптическим вырезом |
|
|
|
|
Каноническая область является телом вращения, поэтому функ- |
||||
цию напряжений можно разложить в ряд по окружной координате: |
|
|||
∞ |
|
|
|
|
ϕ(r, θ)= ∑(ϕn (r ) cos (nθ)+ |
|
sin(nθ)). |
|
(14) |
ϕn (r ) |
|
n=0
Непрерывное поле напряжений внутри элемента и на межэлементных границах обеспечивалось путем выражения неизвестных коэффициентов линейной комбинации, удовлетворяющей бигармониче-
13
скому уравнению, через напряжения в узловых окружностях. Функция напряжений аппроксимировалась следующими зависимостями:
ϕ0 (r ) = A1(0)r2 + A2(0)r ,
ϕ1 (r ) = A1(1)r3 + A2(1)r2 + A3(1)r−1 + A4(1)r−2 , ϕn (r ) = A1(n)r3 + A2(n)r2 + A3(n)r + A4(n) , n >1.
Выражения для ϕn (r ) при n ≥1 аналогичны ϕn (r ), при n = 0 ϕn (r )= 0 . Напряжения ищутся в виде
σr (r,θ)= ∑(σ(rn) |
||
|
∞ |
|
|
n=0 |
|
|
∞ |
(σθ(n) |
σθ (r,θ)= ∑ |
||
|
n=0 |
|
|
∞ |
|
τrθ (r,θ)= ∑(τ(rnθ) |
||
|
n=0 |
|
(r ) cos (nθ)+ |
|
|
|
sin(nθ)), |
|
σ(rn) (r ) |
|
||||
(r ) cos (nθ)+ |
|
|
sin(nθ)), |
|
|
σθ(n) (r ) |
(15) |
||||
(r ) cos (nθ)+ |
|
sin(nθ)), |
|
||
τ(rnθ) (r ) |
|
где σ(rn) (r) , σ(θn) (r) , τ(rnθ) (r) – коэффициенты при соответствующих
гармониках: при n = 0
|
|
σ(0) = 2A(0) |
+ A(0)r−1, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
r |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
σθ(0) = 2A1(0) , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(0)rθ |
|
|
|
|
|
|
|
||
при n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(1) |
|
= 2A(1)r |
+ A(1) |
− 2A(1)r−3 |
−3A(1)r−4 |
, |
|
|
|||
r |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
σ(1) |
|
= 6A(1)r |
+ 2A(1) + |
2A(1)r−3 + |
6A(1)r−4 |
, |
(17) |
||||
θ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
τ(1) |
|
= A(1)r + A(1) + A(1)r−3 +3A(1)r−4 , |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
rθ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
при n >1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(0) |
= 2A(1)r |
+ A(1) |
− 2A(1)r−3 |
−3A(1)r−4 |
, |
|
|
||||
r |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
σ(0) |
= 6A(1)r |
+ 2A(1) + |
2A(1)r−3 + |
6A(1)r−4 |
, |
(18) |
|||||
θ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
= A1(1)r + |
A2(1) + A3(1)r−3 +3A4(1)r−4 , |
|
|
|
||||||
τrθ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения для σ(rn) (r) , σθ(n) (r) , |
|
|
τ(rnθ) (r) |
при |
n ≥1 |
аналогичны |
||||||||||||||||||||||
σ(rn) (r) , σθ(n) (r) , τ(rnθ) (r) , при n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
σ(rn) (r) |
= 0 , |
|
σθ(n) (r) |
= 0 , |
τ(rnθ) (r) |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||
Коэффициенты A(0) |
− A(n) |
выражаются через значения узловых |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжений σ(0)ri , σ(0)rj , |
σ(1)ri |
, σ(1)rj |
, σθ(1)i |
|
, |
|
σθ(1)j , |
σ(rin) , |
|
σ(rjn) , τ(rnθi) , τ(rnθj) |
||||||||||||||||||
( n >1 ) из условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(0) |
(r )= σ(0) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
r |
i |
|
|
|
|
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
|||||
|
|
|
|
|
(rj )= σ(0)rj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
σ(0)r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(1)r (ri )= σ(1)ri |
,σ(1)r (rj |
)= σ(1)rj |
, |
|
|
|
|
|
(20) |
|||||||||||||||||||
|
(r )= σ(1) |
,σ(1) |
|
r |
|
) |
= σ(1) |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
σ(1) |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
θ |
i |
|
|
θi |
|
θ |
( |
|
|
θj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при n >1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(rn) (ri )= σ(rin) , σ(rn) (rj |
|
)= σ(rjn) , |
|
|
|
(21) |
||||||||||||||||||||||
|
|
= τ(n) , τ(n) |
( |
r |
|
) |
= τ(n) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
τ(n) (r ) |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
rθ |
i |
|
rθi |
|
rθ |
|
|
|
rθj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||
Аналогично вычисляются коэффициенты |
A(1) |
− |
A(n) |
n >1 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
После того как все выражения для базисных функций сформулированы, реализуется метод конечных элементов в итерационной процедуре метода геометрического погружения.
На рис. 10, 11 представлены результаты решения методом геометрического погружения для исходной области V при угле θ = 0 , на рис. 12, 13 – для θ = π2 радиан. Из графиков прослеживается зависимость решения от окружной координаты. Относительная погрешность выполнения естественных граничных условий не превышает 0,56 %. Для канонической области V0 сетка содержит 60 элементов. Остановка итерационной процедуры происходит в соответствии с (13) при
δ =10−7 . Для достижения требуемой точности потребовалось 15 итераций.
15
σrr
r
Рис. 10. Радиальные напряжения при θ = 0
σθθ
r
Рис. 11. Окружные напряжения при θ = 0
σrr
r
Рис. 12. Радиальные напряжения при θ = π2
16
σθθ
r
Рис. 13. Окружные напряжения при θ = π2
Таким образом, представлены результаты численного решения плоской задачи теории упругости для неканонической области, демонстрирующие практическую сходимость итерационной процедуры погружения, качество выполнения естественных граничных условий и характер распределения компонент тензора напряжений в области. Рассмотренный вариант метода геометрического погружения на основе вариационного принципа Кастильяно позволяет достигнуть высокой точности решения в напряжениях при достаточно небольшом числе элементов, эффективно решать задачи для конструкций неканонической формы в напряжениях.
Библиографический список
1.Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости / УрО РАН. – Екатерин-
бург, 1999. – 298 с.
2.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Нау-
ка, 1980. – 536 с.
3.Коновалов А.Н. Метод фиктивных областей в задачах кручения // Численные методы механики сплошной среды. – 1973. – Т. 4,
№2. – С. 109–115.
4.Светашков А.А. Определение эффективных характеристик неоднородных вязкоупругих тел // Вычислительные технологии. – 2001. –
Т. 6. № 1. – С. 52–64.
17
5.Павлов С.М., Светашков А.А. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости // Известия высших учебных заведе-
ний. Физика. – 1993. – Т. 36. № 4. – С. 129–137.
6.Куликов Р.Г., Труфанов Н.А. Итерационный метод решения квазистатических нелинейных задач вязкоупругости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2009. – Т.2, № 3. – С. 44–56.
7.Шардаков И.Н. Теоретические положения метода геометрического погружения для краевых задач упругопластического тела // Общие задачи и методы исследования пластичности и вязкоупругости материалов и конструкций. – Свердловск, 1986. – С. 123–127.
Получено 10.11.2010
18
УДК 621.452.3
М.А Нихамкин, М.В. Семенова, О.Л. Любчик
Пермский государственный технический университет
КОМПЛЕКСНЫЙ РАСЧЕТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЧНОСТИ ЛОПАТОК КОМПРЕССОРА ПРИ ИХ ПОВРЕЖДЕНИИ ПОСТОРОННИМИ ПРЕДМЕТАМИ
В статье поставлена задача моделирования процесса повреждения титановой лопатки 5-й ступени компрессора ГТД посторонним предметом. Сформулирована математическая постановка задачи, описана пространственная дискретизация для использования метода конечных элементов. Приведены результаты математического моделирования соударения: типичные эксплуатационные повреждения, – и произведен анализ напряженно-деформированного состояния лопатки. Также оценено значение остаточных напряжений в зоне повреждения. Приведены результаты расчетного определения теоретических коэффициентов концентрации напряжений для характерных повреждений. Рассмотрено влияние повреждения тапа трещина и V-образная забоина на модальные характеристики лопатки.
Ключевые слова: лопатка компрессора, повреждение посторонними предметами, математическое моделирование, остаточные напряжения, концентрация напряжений, модальные характеристики.
На сегодняшний день требования к надежности газотурбинных двигателей неуклонно возрастают. По данным эксплуатационной статистики, основной причиной того, что двигатели досрочно снимаются с эксплуатации, являются поломки лопаток. Лопатки компрессора ГТД испытывают в общем случае сложный комплекс статических и динамических нагрузок, которые приводят к накоплению повреждений в лопатке по механизмам малоцикловой и многоцикловой усталости соответственно. До 60 % поломок лопаток компрессоров ГТД носят усталостный характер. С точки зрения надежности двигателя необходимо обеспечить прочность не только целых лопаток, но и лопаток с повреждениями и зачистками. Цель работы – разработка методики для комплексного расчетного анализа прочности лопаток компрессора при их повреждении посторонними предметами.
Неотъемлемыми элементами комплексного расчетного анализа прочности лопаток компрессора при их повреждении посторонним предметом (ПП) являются:
• математическое моделирование соударения лопатки с ПП;
19
•расчетная оценка снижения усталостной прочности лопаток
сповреждениями;
•расчетная оценка влияния повреждения на модальные характеристики лопатки.
Основными факторами, влияющими на повреждения лопаток ПП, являются: форма, размеры и материал ПП, скорость и направление его движения относительно лопатки, а также материал, размеры и форма лопатки.
Анализ эксплуатационной статистики, приведенной в [1], показал, что геометрия ПП, материал и скорость его движения весьма разнообразны; в большинстве случаев идентифицировать ПП, явившийся причиной повреждения лопатки, не удается. Скорость столкновения
сПП, по некоторым оценкам, близка к окружной скорости. Угол соударения 30…60º от направления хорды профиля лопатки со стороны корыта.
Рис. 1. Виды повреждений лопаток ГТД: вмятина, разрыв, забоина
Согласно эксплуатационной статистике, приведенной в [2] и [3], повреждения лопаток компрессора высокого давления обычно представляют собой вмятины, забоины или разрывы (рис. 1). Обычно они появляются на входной кромке и имеют характерные размеры в пределах нескольких миллиметров; забоины имеют форму, близкую к полуокружности.
Для математического моделирования процесса повреждения лопаток в большинстве изученных публикаций [3–5] успешно используется метод конечных элементов (МКЭ) в динамической постановке. Применение специальных аппаратов для численного моделирования позволяет учитывать следующие особенности процесса соударения:
• нестационарный, динамический характер процесса;
20