Курс механики сплошных сред
..pdfРис. 5. Изгиб стержня:
а-штриховой линией показано деформированное положение стержня; б-прямое сече ние; e -схематизация внешних усилий, создающих изгибающие моменты М и —М
лия |
на торцах |
и 2 0 коллинеарны |
ос i |
х3, |
а их |
числовая |
вели |
||||
чина |
в некоторой |
точке сечения |
пропорциональна |
расстоянию х, |
|||||||
этой |
точки от координатной плоскости х1== 0. Запишем |
эти |
усло |
||||||||
вия |
аналитически |
(С — положительная |
постоянная): |
|
|
|
|
||||
|
|
|
' |
|
0 на |
2 а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 0 , F = — Cxi es на |
2 1( |
|
|
|
(20) |
|||
|
|
|
, + Сх1еъ на 2„, |
|
|
|
|
||||
заметив, что при этом соблюдается необходимое условие |
(3): силы, |
||||||||||
приложенные к каждому волокну, равны по |
модулю |
и |
противопо |
||||||||
ложны по знаку (рис. 5, в) |
|
|
|
|
|
|
|
уси |
|||
В соответствии с уравнением (19) главный вектор торсора |
|||||||||||
лий, |
приложенных к Sj, равен нулю; |
таким |
образом, |
этот торсор |
|||||||
сводится к паре сил, момент М которой |
относительно |
центра тя |
|||||||||
жести |
имеет следующие компоненты: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ C $ 0 *?dcr, 0. |
|
|
|
|
|||
В силу |
равенств |
(19) и (18) можно теперь написать |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
М = Ме2 = CI2e2, |
М = С /в. |
|
|
|
(21) |
|||
Итак, силы, действующие на |
образуют пару |
сил, момент |
которой, называемый изгибающим, параллелен главной оси инерции е2.
Силы, действующие на части поверхности 2 0, эквивалентны паре
с моментом —М, и снова необходимое условие |
(3) соблюдено. Кроме |
|||
того, получена |
интересная интерпретация постоянной С, которая, |
|||
как оказалось, |
легко выражается через изгибающие |
моменты |
на |
|
торцах. |
|
простого |
растяжения |
|
Покажем, что поле тензоров напряжений |
||||
(зависящее от |
координат) |
|
|
|
(jg3= |
Схх= ----— хг, ои = о22 = о12 = ст23 = сг81 = 0 |
(22) |
удовлетворяет условиям рассматриваемой задачи (для упрощения обозначений момент инерции / а будем далее обозначать через /).
Рис. 6. Чистый изгиб заделанной балки:
а-естественное состояние балки; 6-деформация нейтральной линии ОА и прямого сечения Юа после приложения изгибающих усилий
Заметим прежде всего, что уравнения равновесия (1) и граничные условия (11) и (20) выполняются. Далее, из определяющих уравне ний (6) следует, что все zi} являются линейными функциями (иног да равными нулю) переменной хг и, следовательно, условия со вместности (7) выполняются. Остается найти из уравнений (13) поле перемещений; уравнения (13) запишутся здесь следующим образом:
*3, 3 = |
ЖТ*1' ^1. 1 = |
а ~~ЁТ Хи ^1. |
|
1= |
|||||
|
= -^2, 8+ ^ 8, 2= ^3. 1 + ^ 1, 3 =0- |
|
(23) |
||||||
Решение можно попытаться построить «методом» подбора *. Полагая |
|||||||||
|
|
у |
__у у |
у |
|
М |
|
(24) |
|
|
|
______ — гГгХлХъ |
|
||||||
|
|
yV2 |
|
£j |
Л1А2» yv3 |
EI |
|
|
|
сразу же удовлетворим |
уравнениям |
(23)!, (23)8, |
(23)б. |
Остальные |
|||||
три уравнения |
из |
системы |
(23) будут выполнены, |
если |
принять |
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
<25> |
Итак, формулы |
(22), |
(24) и |
(25) |
определяют |
одно |
из решений |
задачи. С другой стороны, это решение единственное, при котором перемещение и вращение в точке О тождественно равны нулю.
Если длина цилиндра / достаточно велика по сравнению с поперечными размерами, то физическую интерпретацию полученного
решения можно расширить |
на |
основании |
(и |
в |
рамках) |
принципа |
|
Сен-Венана. В этом случае |
можно |
считать, |
что |
поле напряжений |
|||
(22) и поле перемещений (24), |
(25) |
те же, |
что |
и в балке, |
один ко |
нец которой —сечение 2 0—жестко заделан, а к другому приложена
пара сил с моментом Me (пара сил |
чистого |
изгиба), |
находящимся |
|||
на главной оси инерции сечения. |
|
|
|
|
|
|
Обратим внимание на некоторые важные следствия полученного решения, |
||||||
которые, в частности, оправдывают принятую |
терминологию. |
Предположим для |
||||
определенности, что М положительно (рис. 6). |
|
(т. |
е. линии, параллельные |
|||
а) Можно убедиться в том, что волокна |
балки |
|||||
образующим), лежащие в области х\ > 0, сжаты, а |
волокна |
в |
области хх < 0 |
|||
растянуты. |
|
|
в параболу. В самом деле, |
|||
б) Ось ОА (нейтральная линия) деформируется |
||||||
обозначив через х координаты точки после |
деформации (*J = */+ ^ t)» имеем: |
|||||
М |
2 |
' |
*а |
|
|
|
*2= 0, *1 = 2ЕI |
*3**8 |
|
|
* Более систематический метод указан в задаче V.15.
Так как используется линейная теория упругости, то. кривизна дуги пара болы будет бесконечно малой, главная ее часть (в предположении, что / ограни чено) равна
_1__М_
(26)
Этот результат известен как закон Эйлера — Бернулли: изгибающий момент пропорционален кривизне балки. Коэффициент пропорциональности EI называют жесткостью балки на изгиб (относительно оси Ох2).
в) Сечение £Dat которое в естественном состоянии находится в плоскости хъ — а, после деформации переходит в плоскость
*з= |
а |
|
|
; |
|
последнее равенство, где переменная |
заменена |
на |
обусловлено |
линейным |
|
характером классической теории упругости. Эта |
плоскость перпендикулярна па |
||||
раболе, в которую перешла нейтральная линия. |
теории |
криволинейных |
упругих |
||
Все эти выводы имеют |
важное |
значение в |
|||
сред (в сопротивлении материалов). |
чтобы увеличить жесткость балки |
на изгиб |
|||
Заметим, наконец, что для того, |
Е1 для фиксированного материала, необходимо увеличить момент инерции /. Так
как масса балки определяется площадью ее поперечного сечения, то целесооб разно использовать такие формы сечения, которые при данной площади сечения дают большие значения моментов /. Отсюда ясно, почему на практике исполь зуют балки, сечения которых имеют вид 7\ L, Я.
Х.1.7. Равновесие сферического резервуара под внутренним дав лением. Речь здесь снова пойдет о регулярной задаче типа II. Область S на этот раз шаровой слой, ограниченный двумя концент рическими сферами, радиусы которых г и R (г < R). Снова считаем,
что / = 0 и что внешняя поверхность свободна от нагрузок (F = 0). Внутренняя полость наполнена газом под давлением, которое равно
мерно распределено по внутренней поверхности малой сферы (F = = —рп), п — единичный вектор нормали, внешний относительно ре зервуара, т. е. направленный к центру сфер О (рис. 7).
Так как область обладает сферической симметрией, заданные ве личины инвариантны относительно преобразования поворота вокруг любой оси, проходящей через О, то в любой точке М тензор напря жений не меняется при преобразованиях поворота относительно прямой ОМ. Обозначим через ог главное нормальное напряжение в направлении ОМ, а через а2—главное нормальное напряжение для любого ортогонального направления. Точно так же, без ограничения
общности можно предположить, что |
перемещение |
Х{М) коллине- |
|
арно ОМ, так как величина X зависит только |
от расстояния р |
||
точки М до центра. Итак, имеем |
|
|
|
0 M = pw, \u\ = l, |
r ^ p ^ R \ |
|
|
X(M) = l ( P)a, |
X ,= g(p)x„ |
(27) |
|
где |
|
|
|
PS (Р) = |
I (Р)- |
(28) |
Далее, тензор напряжений можно представить в виде суммы ша рового тензора аа6^ и одноосного тензора напряжений в направле
нии и, причем усилие растяжения или сжатия равно Oj — сга. Можно, таким образом, написать (задача II 1.5) равенство
° Ау + А — °г) |
= а 2 (Р) б,у + а (Р) */*/, |
|
|
||||
в котором |
введено |
обозначение |
(29) |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
paa(p) = |
o1 ( p ) - a s (p). |
(30) |
|
|
|
Задача |
заключается |
в нахождении |
функций |
Рис 7 |
сферический |
||
a i (Р)> |
(р) 11 £ (р)- |
|
равнове- |
резервуар |
под давле- |
||
Прежде всего выпишем уравнения |
нием |
||||||
сия. Заметив, что |
|
|
|
|
|
||
|
|
р2= XJXJ, pdp = Xjdx/t |
{xtXj),j=* 4xh |
|
дифференцированием уравнения (29) получаем (помечая производные по переменной р штрихом вверху):
a «y.y = * / ( - ^ - + Pa ' + 4 a ) -
Из соотношения (30) вытекает, что уравнения равновесия будут
выполнены тогда и только тогда, когда |
|
|
g; + - - ~ |
g,)= ° - |
(31) |
С другой стороны, из формул |
(27) имеем |
|
x i,/ = g (Р) б,у + j g 'x ix/ = |, 7,
поскольку (что легко проверяется) матрица вращения со/у тождест венно равна нулю. Сравнивая найденное выражение с (29) [с уче том (30)], видим, что тензор деформаций является сферически сим метричным, а его главные значения [с учетом (28)] равны:
= |
еа = | . |
|
|
|
(32) |
Заметим, что установленные |
формулы |
(31) и (32) |
можно |
было |
|
бы получить непосредственно, переходя в данном |
(очень простом) |
||||
случае к сферическим координатам (П 1У.2). |
|
|
|
||
Из определяющих соотношений вытекает, что |
|
|
|
||
а| = х [ г + 2 1 ] + 2 ц |', |
аа = х [ г |
+ | ] + |
2 р |
| , |
(33) |
и, следовательно, согласно уравнению (31) функция £— решение диф ференциального уравнения
'■ [ « '+ ? ] + * ^ + 2 ( ? - ? ) ] |
[ г + т ] ' - 0- |
Таким образом, объемное расширение £' + 2р-1£— постоянная
величина, равная
S ' + f - З . .
После интегрирования |
имеем |
|
|
|
|
|
|
&= *Р + £ - |
|
(34) |
|
Здесь е и Ъ—две постоянные, |
подлежащие определению из гранич |
||||
ных условий. |
(33) |
запишется теперь в такой |
форме: |
|
|
Поле напряжений |
|
||||
a i (Р) = (ЗА. + 2(A) е |
- М |
, а 2 (р) = (ЗА + 2ц) е + |
. |
(35) |
Граничные условия здесь имеют вид
a1(R) = 0, а1(г) = —р,
так что
|
(3A + 2(i)e = 3/Ce= ^ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36) |
|||||||
Итак, |
можно выписать |
полное |
решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
°1 = —Р: |
|
Я3 — р3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
я3—Г3 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
' р3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
_ |
|
г3 |
Я3 + 2р3 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
а2 — Р 2рз" Я3 —Г3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
__ |
Р'3 |
( |
Р |
, |
Я3 |
\ |
|
|
|
|
|
|
(37) |
||
|
|
|
|
|
Я3 — г3 V3/C’r |
4fip2 У ’ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из этого решения |
видно, |
что |
величина |
ох (р) |
отрицательна |
и |
|||||||||||||
возрастает. В |
радиальном направлении резервуар сжимается, причем |
||||||||||||||||||
сжатие |
стремится |
к |
нулю, |
когда |
р |
приближается |
к R. Далее, |
||||||||||||
а2(р) — положительно |
и |
убывает, |
|
т. |
е. |
в |
окружном направлении |
||||||||||||
материал растягивается (рис. 8). И наконец, |
можно |
показать, |
что |
||||||||||||||||
перемещение £ |
положительно |
и |
убывает, |
причем |
из |
соотношений |
|||||||||||||
(36) вытекает, |
что |
2bp —3 ^2 b R ~ 3^ e t следовательно, производная |
|||||||||||||||||
выражения (34) отрицательна. |
|
|
|
|
|
|
цилиндрического |
|
вала. |
||||||||||
|
|
|
|
|
Х.1.8. Кручение |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Вернемся |
к |
цилиндру, |
рассмотренному |
в |
|||||||||||
|
|
|
|
Х.1.4 |
и |
Х.1.6. Предполагаем |
по-прежнему, |
||||||||||||
|
|
|
|
что / = 0, а боковая |
поверхность 2 2 свобод |
||||||||||||||
|
|
|
|
на |
от нагрузок. На |
торцах |
1>1 и 2 0 в |
дан |
|||||||||||
|
|
|
|
ном случае приложены усилия, которые со |
|||||||||||||||
|
|
|
|
здают соответственно |
две |
крутящие |
проти |
||||||||||||
|
|
|
|
воположные |
пары |
М е3 и |
—Ме8 (рис. |
9). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Для |
начала |
рассмотрим |
случай, |
когда |
||||||||||
|
|
|
|
поперечное |
сечение S) |
является кругом |
ра |
||||||||||||
Рис. 8. Главные напряже |
диуса а с центром на |
оси |
Ох3. Можно ожи |
||||||||||||||||
ния в сферическом резер |
дать, что различные |
прямые сечения |
испы |
||||||||||||||||
вуаре под давлением |
тывают |
относительно |
какого-либо сечения |
Рис. 9. Кручение цилиндрического вала:
а-приложенные усилия; б - вращение прямого_ сечения; в-определение функции напряжений в =дв
некоторый поворот, например, относительно торца 2 о. пропор циональный расстоянию до т0. Так, если а —угол закручивания на единицу длины вала (по предположению бесконечно малый), то мо жно предположить, что поле перемещений (в обозначениях рис. 9,6) таково:
X<=*ax3rJ или Хг= —ах3х2, X 3 = ax3xit Х3 = 0. |
(38) |
Этому полю соответствует тензор деформаций
® li ~ 8 1 2 = ®22 = ®8Э ~ |
®18 в |
2 ” |
®28 = ~ 2 |
( ^ 9 ) |
Иными словами, в любой точке М тензор деформаций является тензором чистого сдвига в ортогональных направлениях j и е3. В соответствии с определяющими уравнениями тензор напряжений равен:
aii = ai2= CT22= ^83 = 0. |
= —Ца*2. пи = |а«х1. |
(40) |
Такое поле напряжений удовлетворяет уравнениям |
равновесия |
|
и граничным условиям на 2*. На |
торце 2 f имеют место |
очевидные |
равенства |
|
|
F — TJ, |
т = par, |
(41) |
которые, впрочем, можно установить с помощью уравнений (2). Торсор усилий, создаваемых поверхностной плотностью (41) на St,
сводится к паре |
сил с осью 0х3 и моментом М е 3, |
где |
|
|
М = |
par • г ■2лг dr = у paa4; |
(42) |
М _ крутящий |
момент, |
пропорциональный углу |
а, называемому |
относительным углом кручения (на единицу длины) вала-, |
|||
|
М = Da, D = pd, d = -ja*. |
(43) |
По определению, D называется жесткостью вала на кручение.
Она равна произведению модуля сдвига на некоторый множитель, зависящий от геометрии сечения, с размерностью четвертой степени длины, равный моменту инерции кругового сечения относительно центра (поверхностная плотность массы предполагается постоянной
и равной единице). Таким образом, формулы (38), |
(40) и (43) |
дают |
решение задачи кручения круглого вала. |
сечение связное, |
|
Найдем теперь решение в общем случае, когда |
||
но произвольной формы. Сформулируем регулярную задачу, |
кото |
рая позволит получить решение проблемы в целом. Очевидно, поле перемещений (38) не подойдет, однако можно предположить, что по крайней мере горизонтальные проекции сечений испытывают пово
роты относительно торца |
2 0. Можно |
далее |
выбрать |
|
на |
торцах |
20 |
||||||||
и Sit как |
и в |
(41), |
F3= 0. Этот выбор обеспечивает коллинеарность |
||||||||||||
момента сил, |
действующих на |
|
|
(или 2 0) относительно |
некоторой |
||||||||||
точки сечения оси Ох3. Итак, |
предстоит |
рассмотреть |
регулярную |
||||||||||||
задачу со следующими |
условиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
внутри |
S |
/ = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
на Е2 |
|
|
F = 0 |
|
|
|
|
|
|
(44) |
|||
|
|
на |
2 0 |
|
|
X, = X 2 = FS = 0, |
|
|
|
||||||
|
|
на |
2j |
|
|
X2 = alx1, F3 = 0. , |
|
|
|
|
|||||
На самом деле, можно убедиться в том, что поставленная зада |
|||||||||||||||
ча является регулярной |
и имеет |
единственное решение —поле |
на |
||||||||||||
пряжений |
и поле деформаций. В качестве упражнения предлагается |
||||||||||||||
выяснить, |
какие другие |
величины Х г и Х 3 |
в постановке задачи (44) |
||||||||||||
приводят к тому же решению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для решения этой задачи можно |
использовать |
результаты, |
по |
||||||||||||
лученные |
в III.5.1. Если |
задать |
функцию |
0 (xt, х2), |
равную нулю |
||||||||||
на границе д@> поперечного сечения |
|
называемую функцией |
на |
||||||||||||
пряжений |
при кручении, |
то поле напряжений внутри S, определяе |
|||||||||||||
мое формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
охз = 9.2, |
|
028= - |
0,1 |
|
|
|
(45) |
||||
(остальные компоненты |
|
равны |
нулю), |
будет удовлетворять урав |
|||||||||||
нениям равновесия |
внутри S, |
граничному |
условию |
на 2 2, условию |
|||||||||||
f 3= 0 на |
2 0 и на |
2 Х-. Кроме |
того, |
силы, |
действующие на торцах |
||||||||||
и 2 0, |
создают |
моменты, |
равные |
соответственно |
Л4е3 и —Мея, |
||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = 2 |
$Л 0do. |
|
|
|
|
|
(46) |
|||
Остается определить |
поле |
перемещений, удовлетворяющее |
гра |
||||||||||||
ничным условиям |
(44), |
относящимся |
к X t и Х 2 на |
2 0 и 2Х. Это |
|||||||||||
поле можно искать в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Xj = —ах3х2, |
Х 2 = ах3хь |
Х3 = а<р(хь х2, x3)t |
|
при которой выполняются упомянутые граничные условия. Отсюда получаем
е 11 = е 12 = 6 22 = е 83 = а Ф , 3» е 12 = “2 " ( ф , 1 * 2)» 6 23 = “2" (Ф , 2 Н“ -^l)*
Проблема заключается в том, чтобы выяснить, можно ли найти функцию ср, удовлетворяющую всем этим условиям.
Из определяющих уравнений следует, с одной стороны, что ф
не должна зависеть от переменной ха, т. е. должна быть функцией только xi и хг, а с другой —что
0Гй = в,* = И«(ф.1 —**). ° 2з = —9,1 = 1*01(9, , + Xj). |
(47) |
Если положить
0 = ца0,ф = 0 + у {х\ + х\), |
(48) |
то эти уравнения примут такой вид:
Ф.1 = Ч\§» Ф.* = —'Фл- |
(49) |
Таким образом, функция (ср + i4p) является аналитической функ цией f (г) комплексной переменной z = xi Jr ix2, ф и ф—гармониче ские функции xt и хг, а 0 удовлетворяет уравнению в частных про изводных
Д0 + 2 = О. |
(50) |
Функция напряжений 0 является, таким образом, решением
уравнения (50) в области 3>\ значения 0 на границе области дЗ> равны нулю.
Задачу можно решить непосредственно, определяя f (г) в пред положении, что мнимая часть этой функции на границе дЗ> прини мает заданные значения
Ф = 4-(*1 + *1) = Г -
Это классическая задача теории функций комплексного перемен ного. Мнимая часть искомой функции, очевидно, известна и равна ф, стало быть, известна функция 0 и, следовательно, поле напря жений; действительная часть, определяемая с точностью до адди тивной постоянной, дает ф и, следовательно, поле перемещений.
Крутящий момент М равен [см. формулу (43)]:
M —Da, D — nd, d = 2 ^ 5S0da. |
(51) |
Жесткость вала D на кручение и здесь равна произведению мо дуля сдвига ц на геометрический множитель, размерность которого равна четвертой степени длины.
Некоторые приложения полученных результатов будут рассмот рены в задачах (2, 3, 4, 5).
Другая интерпретация решения. Если длина вала велика по сравнению с по перечными размерами» то решение, определяемое формулами (45), (48), (50) (при 0 = 0 на границе д&>) и (51), можно интерпретировать (в свете замечаний Х.1.3) цак поле напряжений вала со свободной боковой поверхностью, заделанного тор цом 2 0 в жесткий монолит; на торец 2 * действует пара сил с моментом, направ
ленным по оси вала. В самом деле, к найденному полю перемещений всегда мож-
^0 прибавить |
поле |
моментов торсора так, что в точке О перемещение и вращение |
|||
будут равны |
нулю. |
Для этого выберем |
значение константы, от |
которой зависит |
|
(/, таким образом, |
чтобы ф была |
равна |
нулю при ^ = ^ = 0, и |
обозначим через |
|
и 2Ь значения 9 , 1 (0, 0) и — |
ф^8 (0, |
0). |
|
Перемещение центра тяжести торца 2 0 равно нулю, а вращение в этой точке задается ненулевыми компонентами матрицы вращения (которые обозначены здесь через со/у):
со21 = ахя= 0, (о31 = -^ (ф i + x 2) = aa, со32 = у (Ф. *—*i) = —ab.
Если компоненты матрицы вращения рассматривать как элементы приведения торсора бесконечно малых перемещений, то поле перемещений этого тензора оп ределяется формулой
[ - ( ш 8, аЪхъ%а(ахх —Ьх2)].
Таким образом, |
для |
того чтобы на основании принципа |
Сен-Венана |
получить решение рассматриваемой проблемы, достаточно поставить |
в соответст |
||
вие полю напряжений |
поле |
перемещений: |
|
* 1 = — а*з(*2— a), Xi = ax2(x1 — b)t Х 8= а(<р+bx2— ax1)t
для которого, по построению, перемещение и вращение начала координат отсут ствуют.
X. 1.9. Обобщение результатов на квазистатические задачи. Рассмотрим для простоты задачу второго типа, когда массовыми силами можно пренебречь (/= 0 ). В этом разделе исследуем приме нимость равновесных решений в случае, когда приложенные силы
F —функции времени; иными словами, |
исследуем вопрос о том, |
когда, заменив в решении, найденном |
для равновесия, величины |
F/ некоторыми функциями времени, будем иметь хорошую аппрок симацию точного решения задачи о движении среды под действием переменных во времени сил. В этом случае полученное таким об разом приближение является квазистатическим решением постав- ленной задачи.
Ответ на этот вопрос можно |
получить, |
исследуя прежде всего |
||||
общие уравнения |
и граничные |
условия. |
Единственная |
корректива, |
||
которая должна |
быть внесена, чтобы учесть движение,— это замена |
|||||
уравнений равновесия уравнениями движения. Эти |
последние в |
|||||
рамках линейного приближения |
запишутся следующим образом: |
|||||
|
|
d2Xi |
|
|
|
|
|
°ij*J — p-dt2- • |
|
|
|
|
|
Можно считать, что квазистатическое решение корректно описы |
||||||
вает движение среды тогда, когда инерционные |
силы в правой части |
|||||
уравнения на порядок меньше основных членов |
левой части. В этом |
|||||
случае говорят о «медленном» движении |
тела, с тем чтобы подчерк |
|||||
нуть малость сил инерции или отметить |
тот факт, что задача мо |
|||||
жет быть решена в рамках квазистатического приближения. |
||||||
Чтобы получить представления о порядке величин, |
рассмотрим |
|||||
типичный случай, когда F{ на границе dS |
изменяются |
во Времени |
по гармоническому закону с частотой со, и будем для простоты
считать, что в начальный момент перемещения |
и |
скорости |
частиц |
|
в 5 равны нулю. |
|
|
|
|
Пусть L —основной характерный |
размер тела, |
£ — модуль Юнга |
||
среды, Р —характерное амплитудное |
значение |
величин Fit |
дейст |