Механика сплошной среды
..pdfи относительно этих преобразований имеют каждый три инвариан та:
у |
— |
У '1у |
2 ^2 у |
y i j y i h |
|
^ 2у — |
~ (2^П/ |
2 ^2 I/)> |
|
(18.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fs y = УскУмУа = ЩъУ Л— Y Ihytyiy---- Ц-Лу, Ц-Ъу= |
Jay= |
IУц I; |
||||||||
пара тензоров уц, гц имеет еще смешанные инварианты |
|
|
||||||||
У'уг==Уаг1р |
ууг^= УтУпи'^хЬ ^угг== У1тгт1^Н< |
|
(18.20 ) |
|||||||
тройка yi), Zij, |
£,j имеет, кроме типа |
|
(18.20), еще один |
|
|
|||||
|
|
|
Ьг1=У1*?«Лн- |
|
|
|
(18-20") |
|||
Вообще группа из N тензоров у"(п= 1,2, |
, W) приводит к тен |
|||||||||
зору второго ранга с компонентами |
У$ |
в виде |
произведения и |
|||||||
линейному инварианту |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
*1/=«/!«, |
Уптп1т п |
У тЫ), YN = Y% -. |
|
(18.21) |
|||||
Характер возможных упрощений |
полиномов |
понескольким |
||||||||
тензорамвиден из § 9 |
и тождества |
|
(9.13"), если в нем |
положить |
||||||
Z=U + kV> считая X произвольным |
|
и приравнять |
нулю |
|
коэффици |
|||||
енты при различных степенях X. Получим тождества |
|
для пары |
||||||||
тензоров О, V |
и т. д. |
МСС |
утверждает, |
что задание |
процесса |
|||||
Основной |
постулат |
|||||||||
л (т) = (<?, Т, |
р) в точке М |
вполне |
определяет |
все |
физические |
|||||
функционалы |
(§ 10). |
будет представлять функционал |
состояния, |
|||||||
Выражение |
(18.13) |
если коэффициенты Ак из опытов будут найдены как функцио
налы <S, инвариантные относительно преобразований |
(18.19). На |
пример, для аналитических процессов Ак (k= l, 2, |
6) должны |
быть определимы как инвариантные функции <£ и всех производ
ных по t от <§. Первые инварианты |
всей |
группы производных |
||
тензоров выражаются |
через инвариант е*/6// = ге: |
|||
|
. |
. |
т. |
т. |
&Q= = e ifiij = |
Zhhi 80= e/i/t> |
8iA*/= 80> |
Скорости тензора деформаций, ускорения всех порядков имеют вторые инварианты, входящие в (18.8), (18.10). Все они выража ются через производные по времени от шести внутренних харак теристик траектории э(/) в Е6. Третьи инварианты имеют вид
8 А. А. Илыошнн
(18.20"). где уц, гц, £,-/ есть производные тензора е„- различных
порядков, включающие
_ т. т. т.
1^3т— в1кек1гЦу Ш^О, 1, 2, 3, 4,
и не выражающиеся операторами по t от s, хь • • •. *5-
Весь набор инвариантов, содержащий третьи инварианты тен
зора <g и его производных, обозначим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ы * . S. «. |
•)• |
|
|
|
(18.22) |
|
Следовательно, основной постулат МСС применительно к на |
|||||||||
чально |
изотропным |
средам приводит |
к |
уравнениям |
состояния |
||||
(18.13), |
в которых |
Л *=/4*(...) |
(k = l, |
..., 6) |
суть |
физические |
|||
функционалы длины дуги, кривизн, параметров |
(18.22), матрицы |
||||||||
а (18.3) |
ортогональных |
преобразований процессов в |
изображаю |
||||||
щем пространстве £ 6 и теплофизических параметров Т, р: |
|
||||||||
Л*=Л?Ит), |
М т), |
х6(т); ее, |
Т (т), р(т); % (т)]; |
(18.23) |
|||||
или приводит к (18.15), |
(18.16) |
и другим |
изоморфным |
(18.13), |
|||||
т е. получающимся из |
(18.13) |
формальными |
преобразованиями |
||||||
на основании тождеств размерности (18.11). |
|
|
посту |
||||||
Выраженный в |
виде |
формул |
(18.13), |
(18.23) основной |
лат МСС для изотропных тел действительно полностью отобра жает свойство изотропной среды в физическом пространстве, по
скольку определяющие |
соотношения |
коварианты |
относительно |
|||||||||||||
преобразования |
(18.18), |
(18.19) |
системы |
координат |
и |
тензоров |
||||||||||
У н В теле. |
|
|
|
|
|
|
£ 6 |
ясно, |
что |
при орто |
||||||
Из построения 6-мерного пространства |
||||||||||||||||
гональных преобразованиях репера а*, |
£= 0, 1 |
...» |
5 |
шестимер |
||||||||||||
ного |
пространства £ 6 все |
параметры |
— |
аргументы, |
указанные |
|||||||||||
в скобках |
(18.23), кроме |
и |
матрицы |
а, |
коварианты |
относи |
||||||||||
тельно 15-параметрнческнх ортогональных |
преобразований |
(18.3). |
||||||||||||||
Пятнмерное пространство £ 5 векторов z = 2*a* |
(k= |
1 2, ..., 5), |
||||||||||||||
как |
видно |
из |
таблицы |
коэффициентов |
р|/ |
(i, |
/= 1 , |
2, |
3 § 9), |
|||||||
есть пространство девиаторов (г./), поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
^ = р £ Ц ,= р 1 Ч 7 |
(*=1, |
2, |
5); *0= -p L _г.д 7. (18.24') |
||||||||||||
Модули н скалярные произведения любых пятимерных |
векторов |
|||||||||||||||
у, z: |z|= = 2 = (2 ^ jf) \ |
y2 = f/2CQS(y, Z)= //f / 2 f y, |
ИХ |
ПрОНЗВОДНЫХ |
ПО |
||||||||||||
времени |
над |
y z = y Sizu%других |
линейных |
по |
/ |
векторов |
— |
|||||||||
операторов |
z суть |
инварианты ортогональных |
преобразова |
нии векторов у, z в £5: у' = ау, z' —oz, причем матрица а — 1(Ьпараметгрическая: «аг= /. Очевидно, что любое линейное соотноше-
ние в £5 между векторами у, у<1} z, z(,) с коэффициентами, зависящими только от их инвариантов, инвариантно относительно ортогональных преобразований, т. е. пятимерное девиаторное про странство для них изотропно.
Опыты показывают, что определяющие соотношения для сплошных начально изотропных сред в области сравнительно ма лых деформаций согласуются с постулатом изотропии: они инва риантны относительно ортогональных преобразований в £ 5; образ физического процесса сохраняется при всех вращениях и отра жениях в £ 5 если в соответствующих точках траектории сохра няются значения параметров ед*(0» T(t), 0(0* Это свойство на столько сильно упрощает экспериментальные исследования физи
ческих |
функционалов |
начально |
изотропных |
|
сред |
и законов |
|||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = A iak, |
/l*=y4?[s, |
х, |
е0, |
Т, Р] (6=1, |
2, |
5), |
||
|
Or0= |
/4,[S, X, |
|
Т, |
Р], |
X= (Xj, х,, |
Хз, х4), |
(18.24) |
|
|
£b , |
|
что становится возможным даже прямой метод решения краевых задач МСС без знания аналитических представлений скалярных
функционалов |
A t, |
Atk, но с помощью некоторых универсальных |
(не зависящих |
от |
типов краевых задач) экспериментальных ус |
тановок*. При исследовании свойств новых сред естественно ис ходить из постулата изотропии и после выяснения степени точ ности (18.24) ставить задачу уточнения. Такое влияние ffz в об ласти больших деформаций имеется, например, в нелинейной тео
рии упругости (§ |
16): формулы |
(16.15) можно привести к виду |
|||||
(18.13), но в (18.23) явно войдут третьи инварианты. |
|||||||
Основные характеристики |
степени |
сдвиговой |
деформации и |
||||
сложности изотермических процессов |
в точке М тела — длина |
||||||
дуги 5 (18.5) и главная кривизна |
х\=*. (18.8), развернутые выра |
||||||
жения которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
__ |
t |
|
|
___ |
|
s = |
J |
У э э di = |
j v d i, |
v = y v if O ij\ |
|
||
|
tш |
1* |
|
3 |
|
|
|
. |
| |
r ~ — “ — "T |
r |
“ |
__ |
^ |
|
K= - ^ ~ |
У ViPiPmnvmn— (ViPu? . |
vlf= e tf |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(18.25) |
|
|
(A /» |
т |
1» 2, 3), |
|
|
* В 1962 г. в теории пластичности возник метод СН—ЭВМ: СН — машша для испытания в различных сочетаниях на растяжение, сжатие, кручение и гид ростатическое давление круглых трубчатых пли сплошных образцов металлов, ЭВМ — электронная вычислительная машина.
показывают, что это склерономные (не зависящие от масштаба времени) характеристики величин сдвигов и характера распреде ления их по различным физическим направлениям (волокнам). В представлении (18.16), требующем существования меньшего числа производных от э и а сравнительно с (18.13), более удоб ны, вместо xi, Х2 х3 х4 инвариантные в £> смешанные характе ристики процесса нагружения
s, <7J = | O |, q2= d\s\/ds, q3= o d s/^d s),
(18.26)
q ^ d q ^ ld a l,
причем коэффициенты Cm, Dm — функционалы no t параметров (18.26), а также е9 (или o9) и 7’(т), р(т). В изотропном Е$ соот ношения (18.16) можно привести к виду
|
|
Э |
DoS |
D 2 S ^ = C QO 4- С \ о -f- СоО, |
|
(18.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<(я5(т)) = |
0, |
я5(т)=ф(т), |
q{т), е0(т), сте (т); Т, р). |
||||||
т. е. одному векторному и одному |
скалярному |
соотношениям; |
||||||||
я5 — |
указанный |
процесс |
в |
Еъ |
q=(qlt |
., <?4); |
П^(я5), Ст(я5), |
|||
/'(я 5) |
— операторы |
над Я5(т). Для |
многих начально |
изотропных |
||||||
твердых и жидких |
тел в |
изотермических |
процессах |
соотношения |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.27') |
|
|
° е = /(л (0). |
n(0 = |
(s, р, |
qu q3), |
|
|
N, М — функции л (t), приближенно представляют (18.16). Преобразование (18.27') к индексной форме получается умно
жением на матрицу р = (р,-,-*); например,
|
®I/==_W |
+ |
|
CTe = 5iA /= /W . |
(18.27") |
||
М, N, f — |
функции |
я (s, р, |
qu </з), |
причем |
р= ро/УёГ |
и из (18.26) |
|
q i= \o\= Y i$ ~ s:jt |
|
|
У " |
д . |
(18-28) |
||
|
|
|
|
У |
SklSklEmnE/nti |
||
В качестве базисных тензоров при построении £б, £5 выше бы |
|||||||
ли приняты в Л контравариантный |
*5(Л) = (S|-y’) и |
ковариантный |
|||||
5(Л) = (е^), |
сопряженные |
в смысле Лагранжа: |
|
6/A = Sd&r= |
—Sijdzij = od3. Можно было бы взять любую другую сопряженную пару
6'A = S d & = J/]' dZij=J dz,
где 7(Л )=#~2(^, 5), z(JI) = ^ “2(S) — некоторые функции ука занных тензоров. Среди них есть такие, что для них радиус сфе ры в подпространстве Еъ девиаторов 5, внутри которой образ изо
тропен, не меньше, чем для z = &.
Условие ковариантности общего функционала состояний 5 = =£Г[<!э\ для начально изотропных тел относительно преобразова
ний (18.19), т. е. |
сохранение его вида при замене S = aS\ § = |
|
= &&', означает, |
что ОТ должен удовлетворять |
функциональному |
уравнению |
ЗГ[аУ] —а&~[7]. |
(18.29) |
|
Функционалы (18.13) с коэффициентами вида (18.23) удовлетво ряют этому уравнению.
§19. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ НАЧАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Если напряжения в начально изотропном твердом теле огра ничены условием пластичности (§ 17), то под действием нагрузок при aw<ors оно обычно ведет себя как идеально упругое (§ 17, 16). Ниже имеются в виду металлы и сплавы при нормальных тем пературах, но многие другие тела обладают такими же свойст вами.
Рассмотрим сначала малые деформации, при которых 5-мерное пространство девиаторов £5 (§ 18) изотропно, что с достаточной точностью установлено экспериментально. На траектории дефор
мации 3(s) |
в каждой ее точке s(^) по |
какому-нибудь |
закону (в |
||||||||
опытах — |
по |
желанию экспериментатора) |
задается |
плотность |
|||||||
или объемная |
деформация ee = 0(s), и |
в соответствии |
с |
постула |
|||||||
том изотропии возникает вектор напряжения |
os, |
определяемый |
|||||||||
векторно-линейным |
функционалом |
(18.13) |
или |
(18.16), |
или |
||||||
|
|
|
o ( s ) = ^ ( 9(s')} в (s')). |
|
|
|
|
(19.1) |
|||
При ортогональных преобразованиях в Е5 |
эти |
соотношения |
|||||||||
сохраняются, |
ориентация вектора |
o(s) |
при |
одинаковых 0(s') от |
|||||||
носительно |
репера Френе и его модуль |
|a |= a (s ') |
сохраняются, |
||||||||
т. е. все траектории, жестко повернутые |
в Е5 |
или |
отраженные |
||||||||
в зеркале |
любой |
размерности, |
скрепленном |
с репером |
Френе |
в любой фиксированной точке процесса s(s), тождественны, образ всего процесса и реакции сохраняются. Достаточно изучить one-
ратор (19.1) на каком-нибудь процессе 3 = f(s) в £ 5 , как он будет
известен для всего бесконечного множества процессов af(s), кото рые в физическом теле совершенно различны. Поэтому такой под ход к нахождению определяющих соотношений в МСС называется
теорией процессов, физическая достоверность |
их равноправна |
||
достоверности |
постулата изотропии. |
(изображающей процесс |
|
При движении конца вектора e(s) |
|||
точки) вдоль |
прямого луча (из точки |
О) до |
определенной точки |
Ks |э| =9S(р), |
|o |= a s(p) деформации |
будут упругими. Если в £ 5 |
в разных направлениях проводить лучи, на которых от О до Ks
давление р (s) |
(или 9(5)) одинаково, то точки Ks |
в силу симмет |
рии (изотропии |
£ 5 ) расположатся на поверхности |
сферы радиуса |
э8(р). Если в £ 5 строить соответствующие лучевым деформациям напряжения о(/), то согласно постулату они будут тоже лучевы
ми, граница |э |= э 5 |a |= a s будет сферой радиуса |
as, условие |
|о |< а 5 |
(19.2) |
называется условием пластичности Мизеса. Учитывая установлен ное свойство почти постоянства отношения тт ах/|о| (§ 6), при сохранении режима p(s) или 0(s) в опытах, условие пластичности Мизеса можно заменить условием пластичности Сен-Венана
Тшах^Тб'- |
(19.3) |
Ясно, что если по прямым лучам вести процессы с неодинаковы ми p(s) или 0(5), поверхности |о |= а 5(о, р), |э |= э 5(э, 0) могут не быть сферами. Но часто os, э8 не зависят от р.
Лучевые нагружения или деформирования называются просты ми. При простых нагружениях-разгрузках (обратных движениях
по лучу) очевидно, что определяющее уравнение имеет вид |
|
о=Вэ. |
(19.4) |
Определяющие соотношения (18.16) во многих случаях малых деформаций металлов, как уже отмечалось (§ 18), аппроксимиру
ются двучленной формулой |
|
|
|
||
йэ = |
da-{-( —-----— |
£f2_= CC)s ds. |
(19.5) |
||
N |
\ |
P N ) о |
P |
v |
' |
Коэффициенты N, P зависят от параметров |
|
|
|||
<7i=M = 0 . |
< 7*= -^ -, |
?з= ~~7 ~= cos ■&. |
(19.6) |
|
|
|
|
\da\ |
a ds |
|
|
Угол Ф называется (по его геометрическому смыслу в £ 5 ) углом сближения вектора напряжения о» с вектором р\ = йэ/ds касатель ной к траектории процесса e(s).
Теория малых упругопластических деформаций основана на свойствах медленных (квазистатических) процессов простого на гружения-разгрузки, которые с большой точностью реализуются в теле, если его нагружения-разгрузки просты, т. е. все внешние силы, произвольные по координатам (х), во времени возрастают и убывают пропорционально одному общему параметру л. В Еъ для каждой точки М тела такой процесс изображается движением
конца |
вектора э вдоль |
какого-то |
своего |
луча. Координатная |
|||
запись |
(19.4) |
и принимаемый при этом закон Гука для |
объемной |
||||
деформации |
(§ 15) содержат К и В, |
|
|
|
|
||
|
|
oti= B zih - р = К 9 , |
|
|
(19.7) |
||
причем В — функционал единственного независимого |
параметра |
||||||
q= d\d\/ds по длине дуги s. |
|
|
при простых |
||||
Назовем |
алгебраическим модулем деформаций |
||||||
нагружениях-разгрузках величину эа, связанную с э |
и q(s) соот |
||||||
ношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
d3a=da\ эа= |
\ q(s') ds'\ |
q = ± l\ |
э= |зв| . |
|
(19.8) |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Пусть Р0 — определенный постоянный единичный вектор на тра ектории э(э). Тогда, очевидно, при простых нагружениях-разгруз ках
3(s)=3a (s)P0. |
(19.9) |
Алгебраическим модулем напряжений оа назовем величину, опре деляемую равенством
a = o flP0, a = |a e|. |
(19.10) |
Из (19.7) находим выражение
Я = - ^ = — aSMs'M- |
(19.11) |
Эа эа |
|
Поскольку эа — известный функционал q(s) (19.8), задача опре деления функционала В сводится к определению функционала
Оа [q].
Свойства функционала пластичности В и его представление длякаждого материала при заданной постоянной температуре Т могут быть установлены в опытах на кручение тонкостенного трубчатого образца моментом 7Икр. Единственные отличные от нуля компоненты тензора напряжений и деформаций в трубке при выборе цилиндрических координат «1» — по образующей, «2» — по окружной координате
Мкр |
9с _2е — SL |
(а) |
2nR*h ’ |
*Ь12--^Ь12--- R ’ |
где R — средний радиус, h — толщина стенки, I — длина трубки, Ф — угол закручивания трубки на длине /.
Выражения основных величин через 012, 812:
|
oe= o 1IVr2, 3a=BiaV 2 = \q (s ')d s ’, |
|
|
эа |
|
|
(б) |
||||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
На рис. 19.1 показаны резуль |
||||||||||
|
|
|
таты испытания. Так как направ |
||||||||||
|
|
|
ления' |
кручения |
равноправны, |
кар |
|||||||
|
|
|
тина |
в |
первой |
и |
третьей |
четвер |
|||||
|
|
|
тях одинакова. В пределах участка |
||||||||||
|
|
|
OAs Oa==2Gaa |
[ — 9s O |
aO |
s, |
|
э3= |
|||||
|
|
|
= V ^ 1,5 es). |
|
|
|
При |
движении |
|||||
|
|
|
от точки As к А\ |
и |
далее |
зависи |
|||||||
|
|
|
мость |
определяется |
универсальной |
||||||||
|
|
|
кривой |
активной |
деформации |
|
|||||||
|
|
|
оа= Ф (эа), |
|
|
|
эа |
|
q== + L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
в точке А х (эа= э= эа1) |
умень |
||||||||
|
|
|
шать деформацию |
(q=—1), то на |
|||||||||
|
|
|
пряжение будет убывать по прямой |
||||||||||
|
|
|
A XAS' |
с |
наклоном |
2G, |
пройдя |
||||||
|
|
|
через точку Оь где а„=0; |
ea= ei(p)= |
|||||||||
|
|
|
= 0 0 ! |
|
называется |
пластической |
|||||||
грузке |
из точки |
Для |
деформацией, соответствующей раз- |
||||||||||
пассивной |
деформации на |
участке |
|||||||||||
А*А/ |
|
o'a—oa=2G ф —за), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
НЛП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B=2G — |
|
|
- 2эх |
|
э.. г^э [^Э < |
|
|
(Г) |
||||
где ч \= У 1,5es, es — константа материала |
(у |
сталей —К)-3). |
|||||||||||
При дальнейшем |
уменьшении э„ |
кривая |
ASA3 |
приблизительно |
|||||||||
одинакова с -J. -1; и называется участком вторичных пластических |
|||||||||||||
Ограничиваясь |
простым |
нагружением |
0Д .4, |
и |
упругой |
раз |
|||||||
грузкой |
.4 Д , закон связи |
(19.7) можем записать в виде |
|
|
u iy — |
э |
bijy |
at |
|
|
||
|
|
|
(19.12) |
®ii ®ij—2G (е,/ |
6jу), - —<C 0. |
||
|
|
|
at |
В общем случае функционал В[э] строится на основании диа граммы (рис. 19.1) так: параметру s задаем непрерывно возрас тающие значения от 0 до любого значения (пластические дефор мации возникнут при s> 9 s) и задаем программу нагружений-раз грузок, т. е. функцию <7(s) = ± l, например
<7= 1 , |
<7= — 1, ^ < s' < s2; q = + 1, s2< s ' < s 3, ... , |
|
(19.13) |
находим 3a(s), т. e. «путь» на диаграмме рис. 19.1:
s |
=S, |
|
|
|
9a(s)=^q(s')ds' = |
= 2 sx—s, |
sx ^ |
s ^ s2; |
(19.14) |
о |
= s —2 Is.—s.), |
s„<1s |
s,: |
|
Следуя этим путем изменения эа по s, |
найдем соответствующие |
(Jo (s) и B(s) (19.7).
Соотношения (19.7), (19.12) можно записать в общей форме, если ввести вместо функции о=Ф(э) обратную ей э=Ф-1(а) и обозначить отношение
Ф 1 (д) __1 -f- ф (о)
(19.15)
о2G
Тогда деформацию гц можно представить в виде суммы упругой е(е) и пластической в<р):
|
ei/ = e(y) + e(i; ), |
(19.16) |
|
причем |
|
|
|
|
|
1 |
1—2v |
|
|
t2G |
1+ v |
J p ) _ |
ф(р) |
|
(19.17) |
(0|/ + p6f/)= |
- |
||
г/ “ |
2G |
|
|
где v — коэффициент Пуассона. Обозначая as= Y 2/3 os, из вида
функций Ф(э) и Ф_ |(о) |
(рис. |
19.1) заключаем, что при активном |
|
нагружении (da/dt>0) |
ф(о) =0, o<crs, и возрастает вдоль кривой |
||
ASA[. В точке Л> отрезок ОА\ |
представляет полную деформацию |
||
вцгИо), отрезок OOi — пластическую деформацию |
(>!,). отре |
зок O ^'i— упругую деформацию е ^ А ) - |
При разгрузке |
(da/dt< |
||||||||||||
<0) |
из |
точки А\ |
текущая |
деформация е12(ОЛ1/) состоит из той |
||||||||||
же |
пластической |
e(iP2(A) |
плюс |
упругая |
0YM\, т. е. eli2 = 0 ^ 2 0 . |
|||||||||
Таким образом, на всем пути СМ.ЛАА |
(и |
обратно |
на |
|
АОИг) |
|||||||||
формула |
(19.16) |
остается |
правильной, |
только на пути А^И* |
(и |
|||||||||
A'sOAj) |
пластическая |
деформация |
{А) |
заморожена, |
т. |
е. |
||||||||
остается равной |
(А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
» _ |
ф Ю |
(oj. + p^i,). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
В,/ “ |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Законы упругопластических деформаций, установленные выше, |
||||||||||||||
дают |
выражения |
напряжений |
Oij= Oij—рЬц |
через |
деформации |
|||||||||
в// = вё/+1 /306*/, а значит, и через перемещения иг, уравнения дви |
||||||||||||||
жения при этом образуют замкнутую систему. |
называется |
вариант |
||||||||||||
Теорией |
пластического |
течения обычно |
|
|||||||||||
-соотношений |
(19.5) при |
N = 2G = const и Р, |
зависящем от |
напря |
жения а, пластической деформации з(р)= / е (.^е(.Р>
или работы на пластических деформациях
Wp= [ o d a ^ \
но не от <7i, <7з, qA (19.6).
Без этих ограничений функции N, Р исследованы: для процес сов деформации малой кривизны где к порядка (3 —10) е^; средней кривизны >с~/г-1; процессов в виде «веера» двухзвенных ломаных.
В точке 0 1 (рис. |
19.1) при разгрузке из А\ напряжение исче |
зает, при возвратном |
процессе из 0\ в А х деформация упругая, |
точки А\ и Asf — новые пределы упругости в состоянии 0\. Та
кое же явление наблюдается |
и в общем |
случае в пространстве |
||
Е$. На рис. 19.2 показана сфера радиусом |
внутри которой де |
|||
формации упругие (a=2G3). |
|
пластическими |
дефор |
|
Любой |
процесс OAsA\ сопровождается |
|||
мациями |
(Л5 — любая точка |
на сфере). Для простоты пренебре |
||
гая упругой деформационной анизо!ропией, имеем |
|
|||
|
э<р> = э — |
э<«> э<‘>= — |
. |
(19.18) |
Продолжая процесс из А и обнаружим, что э(р) для одних направ
лений АХА\ продолжают изменяться, но для других АгА\ они ос таются постоянными. Граница, разделяющая область продолжаю