Основы теории цепей. Часть 2
.pdfС учетом того, что по теореме Виета |
p1 p2 |
= |
1 |
||||
LC |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
ния тока принимает следующий вид: |
|
|
|
||||
i = − |
U0 |
e p1t −e p2t . |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
L( p |
− p ) |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Напряжение на резисторе
uR |
= iR = − |
U0 R |
|
e p1t −e p2t . |
|
|
|
||||
|
|
L( p − p ) |
|
||
|
1 |
2 |
|
|
, закон измене-
(4.15)
(4.16)
Получим функцию изменения напряжения на индуктивности
u |
|
(t) = Li′ |
= − |
U0 |
|
p e p1t − p e p2t . |
(4.17) |
|||
|
p − p |
|
||||||||
|
L |
L |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Качественно изобразим графики полученных функций (рис. 4.17), длячегопроведемследующиеисследования.
Определим начальные значения функций:
– напряжение на конденсаторе
|
|
|
u (0+ ) = u (0+ ) =U |
|
|
p1 − p2 |
|
=U |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
Cñâ |
|
|
|
|
|
|
p1 − p2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
что не противоречит начальным условиям; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
– |
ток и напряжение на резисторе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i(0+ ) = − |
U0 |
|
|
|
e0 |
−e0 |
= 0 , |
uR (0+ ) = − |
|
|
U0 R |
|
|
e0 |
−e0 = 0 ; |
||||||||||||||
L( p − p |
|
|
L( p − p |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
– |
напряжение на индуктивности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
u |
|
(0+ ) |
= − |
|
U0 |
|
p e0 − p e0 |
= 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
− p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
p1 < 0 и p2 < 0 и |
|
p1 |
|
< |
|
p2 |
|
, |
то при изменении вре- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
мени t |
от 0 до ∞ величины e p1t и e p2t |
|
убывают от 1 до 0 и разность |
161
этих экспонент e p1t −e p2t всегда положительна. Следовательно, ток i не меняет своего направления, т.е. конденсатор все время разряжается; в частности, при uC (0+ ) =U0 > 0 ток отрицателен. Такой односто-
ронний разряд конденсатора и называют апериодическим разрядом. На рис. 4.17 изображены зависимости i(t), uR(t), uC(t) и uС(t).
В интервале времени 0 < t < t1 ток по абсолютному значению возрастает, в интервале времени t1 < t < ∞ ток по абсолютному значению
убывает, стремясь к нулю. Напряжение на конденсаторе также монотонно убывает, стремясь к нулю.
u i
uC(t) |
|
|
e p1t |
|
|
U0 |
|
|
t1 |
uC(t) |
|
t |
||
|
||
e p2t |
|
t1 t2 t i(t)
uR(t)
uL(t)
t
-U0 |
Рис. 4.17 |
|
162
В момент времени t1 имеет место перегиб в кривой напряжения на конденсаторе uC (t) , следовательно, ток имеет максимальное зна-
чение, а напряжение на индуктивности uL (t) равно нулю. В момент
времени t2 – перегиб в кривой тока, |
а напряжение uL (t) принимает |
|||||||||||||||||||||
максимальное значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значение t1 определяется из условия: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
di(t) |
|
|
|
= |
uL (t) |
|
|
|
= 0 , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t =t1 |
|
|
|
L |
|
|
|
t =t1 |
|
|
|
||||
|
uL (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
U0 |
|
|
|
p e p1t1 |
− p e p2t1 |
|
= 0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
L |
|
|
L( p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
t =t1 |
|
|
|
− p ) |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p e p1t1 |
− p e p2t1 = 0, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение полученного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
p2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 = |
p1 |
|
. |
|
|
(4.18) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
− p2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение t2 определяется из условия:
uL (t)
dt
решение уравнения
Из уравнения
|
|
= ( p |
|
− p ) |
|
p1 |
e |
|
− p2 e |
|
= 0 , |
|||||||
|
|
|
|
U0 |
|
2 |
|
p1t1 |
2 |
p2t1 |
|
|||||||
|
t =t2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2ln |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
= |
|
p1 |
|
|
= 2t . |
|
(4.19) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
p1 − p2 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u |
|
= −(L |
di |
|
+ Ri) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует, что напряжение на зажимах конденсатора в любой момент времени уравновешивается суммой напряжения самоиндукции на за-
163
жимах катушки и напряжения на участке с сопротивлением. В первый момент времени, когда uR (0+ ) = iR = 0 , напряжение на зажимах кон-
денсатора полностью уравновешивается напряжением на зажимах катушки. Ток начинает возрастать по абсолютному значению именно с такой скоростью, чтобы наступило равновесие. В интервале 0 < t < t1
напряжение uC частично уравновешивается напряжением на катушке и частично напряжением на сопротивлении. С возрастанием времени на долю катушки приходится все меньшее сопротивление и, соответственно, скорость нарастания тока уменьшается.
В момент времени t1 uC = – uR, т.е. оставшееся к этому моменту времени напряжение на конденсаторе полностью уравновешивается напряжением на сопротивлении. Поэтому ток дальше возрастать не может. В этот момент он достигает максимального значения, т.к. после этого момента он должен убывать вследствие того, что конденсатор продолжает разряжаться.
Напряжение на конденсаторе и ток в нем в момент времени 0 < t < t1 разных знаков, следовательно, мгновенная мощность конден-
сатора pC = uC i < 0 , т.е. энергия отдается конденсатором из его электрического поля. Напряжение на индуктивности и на сопротивлении одного знака с током, следовательно, pL = uLi > 0 и pR = i2 R > 0 , т.е. энергия поступает в индуктивность, запасаясь в ее магнитном поле,
ивыделяется в виде теплоты в сопротивлении.
Винтервале времени t1 < t < ∞ напряжение на индуктивности
так же, как и напряжение на конденсаторе, положительно, поскольку они совместно преодолевают сопротивление цепи. Теперь мгновенная мощность индуктивности отрицательна, и катушка так же, как и конденсатор, отдает запасенную в ней энергию. Вся эта энергия превращается в тепло.
4.2.7.3. Предельный апериодический разряд
Если корни характеристического уравнения вещественны и равны друг другу, переходный процесс имеет предельный апериодический
164
характер. Это имеет место при условии R = 1 , т.е. при
|
|
2L |
|
LC |
|
||
R = R = 2 |
L |
. В этом случае корни уравнения |
p |
= p |
= − |
R |
= −δ . |
кр |
C |
|
1 |
2 |
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
При этом выражения для тока и напряжения становятся неопределенными из-за равенства нулю и числителя, и знаменателя. Раскроем эти неопределенности по правилу Лопиталя, считая, что p1 – переменная
истремитсяк p2 |
= − |
|
R |
= −δ . Получимследующеевыражениедлятока: |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i = − |
U0 |
|
lim |
e p1t −e p2t |
= − |
U0 |
te p2t = − |
U0 |
te−δt . |
(4.20) |
|||||||||||
L |
|
|
p1 − p2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
p1 →p2 |
|
|
|
|
L |
L |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
uL |
= L |
di |
=U |
0 (δt −1)e−δt ; |
|
|
(4.21) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C ∫ |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u |
|
= |
1 |
|
t |
idt +U |
|
=U |
|
(δt +1)e−δt . |
(4.22) |
||||||||
|
|
C |
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер процессов в этом случае не отличается от рассмотренных выше при апериодическом разряде конденсатора. Процесс также апериодический. Момент достижения током максимального абсолютного значения определяется как t1 =1δ . Это предельный
случай апериодического разряда, так как при дальнейшем уменьшении R ниже значения Rкр разряд становится колебательным.
4.2.7.4.Колебательный разряд конденсатора
Вслучае, если корни характеристического уравнения p1,2 комплексные сопряженные, переходный процесс имеет колебательный
характер. В данном случае R < 1 и подкоренное выражение от-
2L LC
165
рицательно. Корни характеристического уравнения в общем случае записываются в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1,2 = −δ± jωсв , |
|||
где |
δ = |
R |
– |
|
коэффициент затухания; |
|||||||||
2L |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ωсв |
= |
1 |
|
− |
|
|
R 2 |
частота свободных (собственных) колебаний |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
– |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
LC |
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|||
контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Между δ и ωсв |
существует следующая связь: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ2 + ω2 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку все изложенные выше выкладки применимы и для данного случая, запишем полное решение:
uC |
(t) = − p |
− p |
|
p2e |
|
− p1e |
. |
|
|
|
U0 |
|
|
p1t |
|
p2t |
|
|
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Подставив в данную формулу выражения для p1 и p2 , получим:
uC (t) = − |
|
|
|
U0 |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−δ+ jωсв + δ+ jωсв |
|
|
|
|
|
|
||||||||
× ( |
−δ− jω |
) |
e(−δ+ jωсв )t − |
(−δ+ jω |
) |
e(−δ− jωсв )t |
= |
|||||||||
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
= − |
U0e−δt |
δ(e |
− jω |
t |
−e |
jω t |
) − jωсв (e |
jω |
t |
+ e |
− jω t |
) = |
||||
|
|
св |
|
св |
св |
|
св |
|||||||||
2 jω |
|
|
|
|||||||||||||
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
U0e−δt |
[δ[cos ω t − j sin ω t −cos ω t − j sin ω t] − |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
2 jωсв |
|
|
св |
|
|
|
св |
|
св |
|
|
св |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− jωсв[cos ωсвt + j sin ωсвt + cos ωсвt − j sin ωсвt]] =
−δt
= −U0eω [−δ2 j sin ωсвt − jωсв 2cos ωсвt ] =
2 j св
166
= − |
U0e−δt |
[−δsin ω t −ω |
|
cos ω t |
] = |
U0e−δt |
|
[δsin ω t + ω |
cos ω t] . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
св |
|
|
|
ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
св |
св |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим ток в контуре: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
i(t) = СuC′ |
= C |
|
|
|
|
|
e−δt |
|
[δsin ωсвt + ωсв cos ωсвt] |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
CU0 |
|
δ |
e−δt (−δ) sin |
ω t + e−δt |
cos ω |
|
t ω |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ω |
|
−δe−δt |
cos |
ω t −e−δt sin ω |
t |
ω |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= − |
CU0 |
e−δt δ2 sin ω |
t +ω2 sin ω |
t |
= − |
CU0 |
|
e−δt δ2 |
|
+ω2 sin |
ω t . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) = − |
|
U0 |
|
|
|
e−δt |
sin ω t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωсвL |
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Введем I0 = |
|
U0 |
|
|
|
|
и упростим выражение, полученное для uC (t) : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ω |
L |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
e−δ t |
[δsin ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t] |
|
|
|
|
|
δ2 + ω2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u (t) = |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t + ω |
|
cos ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
δ2 + ω2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
||||
тогда, обозначив cosβ = |
|
|
|
|
|
δ |
|
|
, sin β = |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
, где |
β = arctg |
ωсв , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ2 + ωсв2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ2 + ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC (t ) |
|
U |
e−δt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
L |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ2 + ωсв2 |
sin |
ωсвt |
+ arctg |
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
U |
|
e−δ t |
|
|
L |
|
|
|
ωсвt + arctg |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
св |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωсвL |
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
uC (t) =U0ρe−δt sin ωсвt + arctg |
св |
. |
(4.24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
Напряжение на индуктивности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
′ |
|
U0 |
|
p1t |
|
p2t |
U0 |
|
−δt |
[δsin ωсвt −ωсв cos ωсвt] = |
||||||
uL (t) = LiL |
= − |
|
|
|
p1e |
|
− p2e |
= |
|
e |
|
|
||||
p |
− p |
|
ω |
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωсвt −arctg |
ω |
|
|
|
||||
|
|
|
=U0ρe−δt sin |
|
св . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
При построении графиков следует принимать во внимание со-
отношение между постоянной времени экспоненты τexp ≈ 1δ и перио-
дом синусоиды T |
= |
2π |
в свободной составляющей. Рассмотрим |
|
ω |
||||
св |
|
|
||
|
|
св |
|
два варианта:
1. τexp <<Тсв . В данном случае возможно только аналитическое определение свободной составляющей (рис. 4.18). Для этого
i
|
ωt + arctg |
ω |
sin |
|
|
|
|
δ |
t |
i(t)
– I0e-δt
–I0
Рис. 4.18
168
необходимо |
оценить время переходного процесса tпп |
= (4 ÷5)τexp , |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где |
τexp = δ . |
Далее в зависимости от необходимой точности по- |
|||||
строения графика этот промежуток времени следует разбить на n |
|||||||
интервалов ∆t и далее рассчитать значение искомой функции в ка- |
|||||||
ждый момент ti = ti −1 + ∆t . |
|
|
|
||||
|
|
2. Наибольший интерес представляет случай τexp >>Tсв . В дан- |
|||||
ном |
|
случае |
возможно |
графическое |
перемножение |
экспоненты |
|
exp = |
E e−δt = I |
ρe−δt и синусоиды sin ω t . На рис. 4.19 изображе- |
|||||
|
|
ωсвL |
0 |
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны зависимости uR, uL и uC от ωсв, кривая тока подобна кривой на- |
|||||||
пряжения на резисторе uR. |
|
|
|
||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
I0ρ |
|
|
I0ρe-δt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
uC(t) |
ωсвt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–I0ρe-δt |
|
|
|
|
–I0ρ |
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
ωсвt |
|
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–I0ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
uR(t) |
ωсвt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π/2 |
3/2π |
5/2π |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
Из рисунка видно, что процесс в этом случае является колебательным. Ток и напряжения на всех участках периодически изменяют знак. Амплитуда колебаний убывает по показательному закону, следовательно, в цепи совершаются затухающие колебания тока и напряжений. Угловая частота затухающих колебаний
ω = |
|
1 |
|
− |
|
R2 |
|
= |
|
ω2 −δ2 |
, |
(4.25) |
|||||
|
LC |
4L2 |
|
|
|||||||||||||
св |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
где ω0 – резонансная частота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Период затухающих колебаний определяется по формуле |
|
||||||||||||||||
T |
= |
|
2π |
= |
|
|
|
2π |
|
. |
|
(4.26) |
|||||
|
ωсв |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
св |
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
R2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4L |
|
|
Быстроту затухания тока характеризуют декрементом колебаний ∆, который определяется как отношение двух последующих амплитуд одного знака:
|
|
Ie−δt |
|
|
∆ = |
|
|
= eδTсв , |
(4.27) |
Ie |
−δ(t +T ) |
|||
|
св |
|
||
|
|
|
а также логарифмическим декрементом колебаний, определяемым как
ϑ= ln δTсв . |
(4.28) |
Рассмотрим подробнее энергетические процессы, происходящие при затухающем колебательном разряде конденсатора.
В интервале 0 < t < t1 , пока ток нарастает от нуля до максимально-
го по модулю значения, характер процесса такой же, как и при апериодическом разряде в аналогичном интервале (см. рис. 4.18). В интервале t1 < t < t2 характер колебательного разряда аналогичен характеру апе-
риодического разряда в интервале t1 < t < ∞ . При апериодическом раз-
ряде напряжение на конденсаторе, напряжение на резисторе и ток уменьшаются до нуля в установившемся режиме. Но при колебатель-
170