Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdfвычисляем xn , из предпоследнего уравнения – xn−1 , и далее, поднимаясь по системе вверх, находим xn− 2 , …, x1 .
Если в ступенчатой матрице (5.7) r < n , то система, соответствующая ей, является неопределенной (имеет множество решений). В этом случае (n − r ) неизвестных xr +1 , xr + 2 , …, xn прини-
маются за свободные переменные, (т.е. они могут принимать любые значения), и обратным ходом из последнего уравнения системы вычисляется xr через свободные переменные xr +1 , xr + 2 ,…, xn , из пред-
последнего уравнения – xr −1 через xr+1 , xr + 2 ,…, xn и так далее определяются переменные xr− 2 ,..., x1 . При этом неизвестные x1, x2 , ..., xr
называются базисными.
Продемонстрируем метод Гаусса на конкретных примерах. Пример 5.3. Решить систему методом Гаусса:
x1 + x2 − x3 = 2,
−2 + + 6 = 2,
x1 x2 x3
+ 2 + = 6.
x1 x2 x3
Решение. Запишем расширенную матрицу системы, отделив столбец свободных членов вертикальной чертой:
1 |
1 |
−1 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
2 |
. |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Исключаем неизвестные x1 из второго и третьего уравнений.
Для этого ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2, а к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –1. Получим:
1 1 |
−1 |
|
2 |
|
1 1 |
−1 |
|
2 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
3 |
4 |
|
6 |
|
~ |
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
0 |
3 |
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
(для упрощения вычислений поменяли местами второе и третье уравнения).
Исключаем неизвестные x2 из третьего уравнения. Для этого вторую строку, умноженную на –3, прибавляем к третьей строке:
1 1 |
−1 |
|
2 |
1 1 |
−1 |
|
2 |
||||||
|
|
||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
~ |
|
. |
||||||||
|
0 |
0 −2 |
|
−6 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(последнюю строку разделили на –2).
Полученной матрице соответствует система ступенчатого вида:
x1 + x2 − x3 = 2, |
||
|
x2 + 2x3 |
= 4, |
|
x3 |
= 3. |
|
Эта система имеет единственное решение. Поднимаясь по системе снизу вверх, последовательно находим неизвестные x3 , x2 , x1 . Таким образом,
x1 = 7, |
|
x2 |
= −2, |
|
= 3. |
x3 |
Пример 5.4. Решить систему методом Гаусса:
2x − y + z = −2, |
|
|
+ 2 y + 3z = −1, |
x |
|
|
− 3y − 2z = 3. |
x |
Решение. Запишем расширенную матрицу системы, переставив местами первое и второе уравнения, и преобразуем ее в эквивалентную:
42
1 |
2 3 |
|
−1 |
1 2 3 |
|
−1 |
1 2 |
3 |
|
−1 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 −1 |
|
|
−2 |
|
|
|
−5 |
−5 |
|
|
|
|
|
−5 |
−5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
~ |
0 |
|
0 |
|
~ |
0 |
|
0 |
. |
|||||||
|
1 |
−3 |
−2 |
|
3 |
|
|
0 |
−5 |
−5 |
|
4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последней строке матрицы соответствует невозможное равенство 0 = 4. Следовательно, система несовместна.
Пример 5.5. Решить систему методом Гаусса:
x + 2 y − 4z = 1,2x + y − 5z = −1,
x − y − z = −2.
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
1 |
2 |
−4 |
|
1 |
1 2 −4 |
|
1 |
1 2 |
−4 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
−5 |
|
−1 |
|
|
|
−3 |
|
|
−3 |
|
|
|
−3 3 |
|
−3 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
~ |
0 |
3 |
|
|
~ |
0 |
|
. |
|||||||
|
1 |
−1 −1 |
|
−2 |
|
|
0 |
−3 |
3 |
|
−3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнюю строку матрицы отбрасываем, так как соответствующее ей равенство 0=0 выполняется для любых значений неиз-
вестных. Предпоследнюю строку разделим на –3. Получим |
|||||
1 |
2 |
−4 |
|
1 |
x + 2y − 4z = 1, |
|
|||||
|
|
|
|
|
, т.е. |
0 |
1 |
−1 |
|
1 |
y − z = 1. |
|
|
Ступенчатая система является неопределенной. Придадим z значение t, где t – произвольное число. Тогда из последнего уравнения системы y = t + 1, а из первого x = 2t − 1. Таким образом, сис-
тема имеет бесконечно много решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам:
x = 2t − 1,
= + 1, где – произвольное число.
y t t
z = ,
t
43
Каждое отдельное решение системы получается при какомлибо определенном значении t.
x = −1,
Например, если = 0 , то = 1, t y
z = 0,
x = 3,
если = 2 , то = 3, t y
z = 2,
x = −5,
если = −2 , то = −1, t y
z = −2.
Пример 5.6. Решить систему методом Гаусса:
x1 + x2 + x3 + x4 = 3, |
|
x1 + 2x2 + 2x4 = 5, |
|
|
= 7. |
x1 + 3x2 − x3 + 3x4 |
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
1 1 |
1 |
1 |
|
3 |
1 1 |
1 1 |
|
3 |
1 1 |
1 |
1 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
2 |
|
5 |
|
|
0 |
1 |
−1 1 |
|
2 |
|
|
0 |
1 |
−1 1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
. |
|||||||||||||
|
3 |
−1 3 |
|
7 |
|
|
0 |
2 |
−2 2 |
|
4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнюю строку отбрасываем и получаем систему ступенчатого вида:
x1 + x2 + x3 + x4 = 3, которая является неопределенной.
− + = 2,
x2 x3 x4
Так как в последнем уравнении три неизвестных, то x3 и x4 придадим произвольные значения t1 и t2 соответственно, и из второго уравнения найдем x2 , а из первого – x1 . Таким образом, получим:
44
x1 = 1− 2t1 , |
|
|
|
|
|
x2 |
= 2 + t1 − t2 |
, |
где t1 |
, t2 |
– произвольные числа. |
|
= t 1 , |
|
|||
x3 |
|
|
|
|
|
|
= t2 , |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
Если положить, например, t1 = 1, t2 = 0 , то получим конкретное решение из бесконечного множества решений данной системы:
x1 = −1, |
|
x2 |
= 3, |
|
= 1, |
x3 |
|
|
= 0. |
x4 |
5.4. Решениеоднородныхсистемлинейных уравнений
Рассмотрим однородную квадратную систему линейных урав-
нений
a11x1 + + a1n xn = 0, |
|
|
a21x1 |
+ + a2n xn = 0, |
(5.9) |
|
|
|
..................... |
|
|
|
+ + +ann xn = 0. |
|
an1x1 |
|
Очевидно, что эта система всегда совместна ( rang A = rang A )
и имеет нулевое (тривиальное) решение x1 = x2 |
= ... = xn |
= 0 . |
|
||
Из правила Крамера вытекают следующие утверждения о ре- |
|||||
шениях рассматриваемой системы. |
|
|
|
|
|
Утверждение 5.1. Если определитель |
= |
a11 |
... |
a1n |
≠ 0 , то |
... |
... |
... |
|||
|
|
an1 |
... |
ann |
|
система (5.9) является определенной и имеет только тривиальное решение: x1 = x2 = ... = xn = 0 .
45
Утверждение 5.2. Если определитель = 0, то система (5.9)
является неопределенной.
Замечание. Если система (5.9) является неопределенной ( = 0 ), то бесконечное множество ее решений находится методом Гаусса.
|
|
|
|
|
|
3x + 2 y − z = 0, |
Пример 5.7. Решить систему 2x − y + 3z = 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3y − 4z = 0. |
Решение. Вычислим определитель . |
||||||
|
|
3 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|||||
= |
|
2 |
−1 3 |
|
= 12 + 6 − 6 − 1+ 16 − 27 = 0. |
|
|
|
1 |
3 |
−4 |
|
|
В силу утверждения 5.2 система является неопределенной. Для нахождения ее решений применим метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы, поставив последнее уравнение первым:
1 3 |
−4 |
|
0 |
1 3 |
−4 |
|
0 |
1 3 −4 |
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
2 |
−1 |
|
0 |
|
|
0 |
−7 |
11 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
|
~ |
0 |
−7 11 |
|
0 |
. |
||||||||
|
2 |
−1 |
3 |
|
0 |
|
|
0 |
−7 |
11 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3y − 4z = 0
Такимобразом, имеемнеопределеннуюсистему:
−7 y + 11z = 0.
Для упрощения вычислений придадим z значение 7t , где t – любое число, и выразим из второго уравнения y , а из первого
уравнения найдем x . Получим
x = −5t, |
|
|
– произвольное число. |
y = 11t, где t |
|
|
|
z = 7t, |
|
46
Пример 5.8. Решить однородную систему
3x1 + 2x2 + x3 = 0,2 + 3 + = 0,
x1 x2 x3
2 + + 3 = 0.
x1 x2 x3
Решение. Вычислим определитель .
= |
3 |
2 |
1 |
= 27 + 4 + 2 − 6 − 12 − 3 = 12 . |
2 |
3 |
1 |
||
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку ≠ 0 , то система имеет в силу утверждения 5.1 только тривиальное решение
x1 = 0, |
|
x2 |
= 0, |
|
= 0. |
x3 |
Замечание. Неквадратные однородные системы решаются методом Гаусса. Однако, однородную систему из двух уравнений с тремя неизвестными можно решить изложенным далее способом.
Итак, рассмотрим систему:
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0, |
|
|
|
(5.10) |
|
|
|
|
|
a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0. |
|
|
|
|
Основная матрица системы имеет вид: |
a11 |
a12 |
a13 |
|
A = |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
Обозначим |
j – определитель квадратной матрицы, который |
||||||||||||||||
получается из матрицы А вычеркиванием j-того столбца: |
|||||||||||||||||
1 = |
|
a12 |
a13 |
|
, |
2 = |
|
a11 |
a13 |
|
, |
3 = |
|
a11 |
a12 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
47
По теореме Кронекера-Капелли система (5.10) всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, так как rang A = rang A < n,
n = 3. Найти все решения системы (5.10) позволяют следующие утверждения.
Утверждение 5.3. Если |
хотя |
бы |
один |
из определителей |
|||||||||||
j , j = |
1,3 |
|
системы (5.10) отличен от нуля, то все решения системы |
||||||||||||
(5.10) определяются по формулам: |
|
|
|
||||||||||||
x1 = |
1t, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 = − |
2t, |
где t – произвольное число. |
|
||||||||||||
|
|
3t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x3 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Утверждение 5.4. Если |
1 = |
2 = |
3 = 0 , |
то система (5.10) |
|||||||||||
имеет бесконечное множество решений: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 = t1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
где t1 ,t2 |
– произвольные числа. |
|||||
x2 = t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
(a21t1 + a22t2 ), |
|
|
|
|
||||||||
x3 = − |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5.9. Решить систему |
|
|
|
||||||||||||
3x + 2 y − z = 0, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x − y + 3z = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Вычислим определители |
1 , 2 , |
3 . |
|||||||||||||
1 = |
|
2 |
−1 |
|
= 6 − 1 = 5 , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 = |
|
3 −1 |
|
|
= 9 + 2 = 11, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 = |
|
3 |
2 |
|
|
|
= −3 − 4 = −7 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
48
В силу утверждения 5.3 имеем:
x = 5t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
– произвольное число. |
|
|
|
|
|
|||||||||
y = −11t, где t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = −7t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5.10. Решить систему |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3x + 2 y − z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−9x − 6y + 3z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Вычислим определители |
1 , 2 , |
3 . |
|
|
|||||||||||||
1 = |
|
2 −1 |
|
= 0 , |
2 = |
|
3 |
−1 |
|
= 0 , |
3 = |
|
3 |
2 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
−6 3 |
|
|
−9 3 |
|
|
−9 −6 |
|
|||||||||
Очевидно, |
что |
|
система |
эквивалентна |
|
одному уравнению |
3x + 2 y − z = 0 . Чтобы найти все множество ее решений, двум неиз-
вестным придадим произвольные значения, а третье найдем из уравнения. Получим
x = t1, |
|
|
где t1,t2 – произвольные числа. |
y = t2 , |
|
|
+ 2t2 , |
z = 3t1 |
49
РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
6.ВЕКТОРЫ
6.1.Основные понятия
При изучении физических явлений приходится иметь дело с величинами двух видов: скалярными и векторными.
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются площадь, длина, объем, температура, масса и т.д.
Другие величины, например, скорость, ускорение, сила, определяются не только своим числовым значением, но и направлением.
Они называются векторными величинами.
Вектор– это направленный отрезок. Если точка А является началом вектора, а точка В – его концом, то вектор обозначается симво-
→ |
→ |
. Начало вектора назы- |
лом AB или при однобуквенном обозначении а |
||
→ |
(с начальной точкой В и ко- |
|
вают точкой его приложения. Вектор ВА |
→
нечной точкой А) называется противоположным вектору AB . Вектор,
→ →
противоположныйвектору а, обозначается − а .
Числовой характеристикой вектора является его длина. Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине отрезка,
изображающего вектор. Обозначается длина вектора |
→ |
или |
→ |
. |
AB |
a |
|||
|
|
|
|
|
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет направления, и длина его равна
нулю. Это позволяет отождествлять его с числом ноль.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных пря-
→ →
мых, называются коллинеарными. Коллинеарность векторов а и b
→ →
обозначается а|| b .
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Из данного оп-
50