Сопротивление материалов конспект лекций
..pdfРис. 16.8
3. Определим эквивалентные напряжения по четвертой теории прочности точках А и В.
В точке А:
σIV |
= |
σ2 +σ2 |
−σ σ |
= 1 |
0,1472 |
+0,1192 −0,147 0,119 = 0,135 |
МПа. |
|||||
экв |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 2 |
δ |
|
δ |
|
|
|
В точке В: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
σIV |
|
= |
1 |
0,1562 +0,1152 |
−0,156 0,115 = 0,140 МПа. |
|
||||
|
|
экв |
|
δ |
|
|
|
δ |
|
|||
|
Следовательно, наиболее опасной точкой будет точка В. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
σэквIV = |
0,140 |
≤[σ], |
δ≥ 0,140 103 = 7 мм. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
20 |
|
|
|
С учетом технологии изготовления и коррозионной среды при- |
|||||||||||
нимаем |
δ = |
|
7 |
|
+2 =11 мм. Таким образом, толщина оболочки при- |
|||||||
0,8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нята равной 11 мм. Для определения веса резервуара необходимо найти боковую поверхность оболочки S. Тогда вес резервуара
Qрез = γрезSδ.
171
Лекция 17. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
ВСОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ
17.1.Основные понятия
Всовременной технике имеется ряд задач, в которых вопрос
опрочности не может быть удовлетворительно решен без учета закона движения рассчитываемой конструкции. Возникающие при этом силы инерции, удары, вибрации играют весьма существенную роль.
Такие нагрузки, а также вызванные ими напряжения и деформации называются динамическими. В случае динамической нагрузки любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил, характеризующих действие соседних элементов, и сил инерции, как известно из принципа Д’Аламбера.
Внекоторых случаях динамическую обобщенную силу Fд можно представить в следующем виде:
Fд = FстKд,
где Fст – обобщенная сила, возникающая при статическом нагружении; Kд – динамический коэффициент.
Определив динамическую силу, можно вычислить динамическое напряжение и динамическую деформацию для соответствующего вида нагружения. Найденное значение динамического напряжения сравнивается с допускаемым напряжением, полученным для материала на основании статических экспериментальных исследований.
17.2. Силы инерции
Стержень, движущийся по направлению своей продольной оси
Стержень АВ (рис. 17.1) поднимается вверх силой, приложенной к концу А. При равномерном движении на каждый элемент стержня будет действовать только сила тяжести с наибольшим значением ql в сечении А. При равномерно ускоренном движении с ускорением а
172
на каждый элемент длиной dz кроме его веса qdz
будут действовать |
силы |
инерции, имеющие |
в данном случае |
то же |
направление, что |
и сила тяжести. Для определения величины сил инерции, действующих на элемент, нужно мас-
су элемента |
q |
dz |
умножить |
на ускорение а. |
||||
g |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Продольная сила в сечении z |
|
|
|
|
||||
|
|
Nд = qст 1+ |
a |
z. |
(17.1) |
|||
|
|
g |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Наибольшее усилие будет в сечении А. |
||||||||
Если qстl |
обозначить через Fст, то |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
||
|
|
|
Nдmax |
= qст 1+ |
|
l, |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
g |
Рис. 17.1
(17.2)
|
|
|
a |
|
|
Nд = Nст 1 |
+ |
|
|
. |
(17.3) |
|
|||||
|
|
|
g |
|
|
Из выражения (17.3) следует, что |
|
|
|
||
Kд =1+ |
a |
|
. |
|
(17.4) |
g |
|
||||
|
|
|
|
При опускании стержня сила инерции и сила тяжести имеют разный знак, следовательно,
Kд =1− |
a |
. |
(17.5) |
|
|||
|
g |
|
Если к нижнему концу стержня подвешен груз Q, то для растягиваемого усилия в сечении А выражение для динамической силы имеет вид
|
|
a |
|
|
Fд = (ql +Q) 1 |
+ |
|
. |
(17.6) |
|
||||
|
|
g |
|
173
Вращающийся стержень
Вращающийся стержень представлен на рис. 17.2. При вращательном движении элементов конструкций инерционные силы обычно значительно превосходят статическую составляющую в формуле (17.3). В связи с этим можно принять правомерным соотношение
|
|
|
|
|
Fд ≈ Fин. |
|
|
|
|
|||||||
dF |
|
|
= dma |
= |
γAdz |
ω2 z, |
(17.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
ин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dFин |
= q |
|
|
= |
γA |
ω2 z, |
(17.8) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
dz |
|
|
|
ин |
|
|
g |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
N(z) = |
|
1 q z, |
(17.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ин |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
= |
γAω2l |
2 |
, |
(17.10) |
|||||||
|
|
max |
|
|
8g |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N |
max |
|
|
|
γω2l2 |
|
|||||||
σд = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
≤ [σ]. |
(17.11) |
|||||
|
|
|
|
|
8g |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17.2
174
Для рассмотренных случаев (см. рис. 17.1, 17.2) условие прочности имеет вид
σд = NAд ≤[σ].
В сравнении с задачами статики в задачах динамики из условия прочности могут быть решены задачи по определению допускаемых скоростей движения и допускаемых длин элементов конструкций.
Вращающееся кольцо (обод маховика)
Кольцо (рис. 17.3) нагружено при вращении с постоянной скоростью ω равномерно распределенной по окружности инерционной радиальной нагрузкой. Если в поперечном сечении кольцо имеет площадь А, а удельный вес материала равен γ, то вес единицы длины кольца будет равен Аγ, а соответствующая центробежная сила инерции на единицу длины дуги
q = |
γA |
Rω2. |
(17.12) |
ин g
Рис. 17.3 |
Рис. 17.4 |
Рассматривая равновесие элемента кольца (рис. 17.4), можно увидеть, что для него справедливо единственное уравнение равновесия: сумма проекций всех сил на центральный радиус должна быть равна нулю. Ввиду того, что толщина кольца – величина малая, мож-
175
но принять, что напряжения будут равномерно распределены по сечению. Учитывая это, получаем уравнение
q |
Rdα−2σA |
dα |
= 0. |
(17.13) |
||
|
||||||
ин |
2 |
|
|
|||
|
|
|
||||
Из выражения (17.12) после некоторых сокращений следует |
||||||
|
σ = |
γv2 |
≤[σ] , |
(17.14) |
||
|
|
|||||
|
|
g |
|
|||
где v – окружная скорость, v = ωR. |
|
|||||
Напряжение, как и в |
случае вращающегося стержня |
(17.11), |
не зависит от площади поперечного сечения.
Для обода маховика важно, чтобы от возникающих сил инерции, приводящих к растяжению дуги окружности кольца, приращение его радиуса не превышало величину технологического натяга, полученного при насадке обода на маховик.
Учитывая, что напряженное состояние в кольце (ободе маховика) линейное, можно записать σ = εЕ.
С учетом выражения (17.14) получим
γv2 |
= εE. |
(17.15) |
|
g |
|||
|
|
Определим относительную деформацию ε. При увеличении радиуса кольца R на величину u длина дуги его станет равной 2π(R +u). Тогда относительная деформация
ε = |
2π(R +u) −2πR |
= |
u |
. |
(17.16) |
||
|
|
2πR |
|
||||
|
|
|
|
R |
|
||
С учетом выражения (17.15) получим |
|
|
|
|
|||
u = |
|
γv2 R |
= γω2 R3 ≤[δ], |
(17.17) |
|||
|
gE |
||||||
|
|
gE |
|
|
|
|
где [δ] – величина натяга при насадке обода на маховик.
176
Пример
Стальная труба удерживается на двух тросах и равноускоренно поднимается вверх. Определить ускорение а при подъеме, если наибольшее напряжение в трубе при этом σд = 40 МПа. Плотность мате-
риала γ = 78,5 кН/м3, l = 20 м, отношение диаметров α = Dd = 0,8,
D = 300 мм.
Решение:
Расчетная схема изображена на рис. 17.5, а, эпюра поперечных сил – на рис. 17.5, б, эпюра изгибающих моментов от статического действия распределенной нагрузки с учетом инерционных сил – на рис. 17.5, в.
а
б
в
Рис. 17.5
177
Динамическое напряжение σ = σ K = σ 1+ а .
д ст у ст g
Максимальное напряжение |
σст = |
|
M x |
max |
= |
|
gl2 |
|
, |
q = γA, А = |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Wx |
|
|
32 Wx |
|
|
|
|||||
= πD4 2 (1−α2 ), Wx = π32D3 (1−α4 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя значения, определяем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
σст = |
78,5 103 3,14 0,32 |
0,36 32 200 |
= 7983 103 |
Па. |
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
4 32 3,14 0,3 0,59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим ускорение а из зависимости σд |
= σст |
|
+ |
а |
|
||||||||||
1 |
: |
||||||||||||||
g |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
40 106 = 7,983 1+ |
|
а |
106 |
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
9,81 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а =39,3 м/с2.
178
Лекция 18. РАСЧЕТЫ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ
Ударом обычно называют такое явление, при котором скорости ударяемого тела и ударяющего тела за короткий промежуток времени изменяются до конечной величины. Точная теория удара связана с изучением местных деформаций в окрестности контакта (контактная задача теории упругости), а также с явлением волнового распространения деформации в упругом теле и оказывается довольно сложной.
В данном пособии рассматривается инженерная теория удара. Расчетные формулы получают, применив закон сохранения энергии. Эта теория является приближенной, она строится на следующих допущениях:
1)напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, свойства материала не изменяются, поэтому закон Гука при ударе остается в силе;
2)соударяющиеся тела после удара не отделяются друг от друга;
3)масса ударяемого тела считается пренебрежимо малой по сравнению с массой ударяющего тела;
4)вся энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, потеря части энергии пренебрежимо мала.
18.1.Вертикальный удар
Обозначив кинетическую энергию падающего груза (рис. 18.1, 18.2) Q через Т и учитывая, что она равна изменению потенциальной энергии груза, запишем:
Т = Q(H + δд ), |
(18.1) |
где Н – высота падения груза до соприкосновения с ударяемым телом; δд – динамическое перемещение точки соударения при ударном
приложении нагрузки Qд с высоты Н.
179
Рис. 18.1 |
Рис. 18.2 |
Динамическая деформация может быть выражена формулой
δд = kдδст, |
(18.2) |
где δст – статическое перемещение той же точки ударяемого тела при статическом приложении силы Q.
Потенциальная энергия деформации стержня, накопленная при ударе, может быть выражена формулой
U |
|
= |
1 Q δ |
|
= |
1 |
сδ2 |
, |
(18.3) |
|
д |
|
2 д |
д |
|
2 |
д |
|
|
где с = Q = Qд ; с называется жесткостью стержня.
δст δд
На основании закона сохранения энергии при принятых допущениях справедливо равенство
Т = Uд, или Q(H + δд ) = |
сδд2 |
. |
(18.4) |
|
2 |
||||
|
|
|
Решая уравнение (18.4) относительно деформаций δд, получим наибольший корень:
180