Учебное пособие 800669
.pdf
|
1 |
|
|
|
X* ( j ) |
X [ j( n 0 )] . |
(2.217) |
||
|
||||
|
T n |
|
Уравнение (2.217) означает, что частотный спектр на выходе ИИЭ представляет собой сумму частотных спектров непрерывного сигнала на входе, смещенных по оси частот на величину n 0. Отсюда же следует, что преобразование Лапласа сигнала на выходе ИИЭ является периодической функцией s с периодом, равным j 0, т.е. X*(s)=X*(s jk 0), где k – целое число.
Из того же уравнения (2.217) следует, что частотный спектр сигнала на выходе ИИЭ также является периодической функцией с периодом, равным частоте квантования 0, т.е. X*(j )=X*[j( k 0).
|
|
Периодичность X*(j ) |
|
|
видна из рассмотрения ам- |
||
|
плитудного |
спектра |
|
|
mod(X*(j )) сигнала на вы- |
||
|
ходе ИИЭ (рис. 2.20), кото- |
||
|
рый |
состоит |
из спектра |
|
mod(X(j )) |
непрерывного |
|
|
сигнала на входе и подоб- |
||
Рис. 2.20. Частотный спектр импульсного сигнала при |
ных |
ему дополнительных |
|
0 2 1 |
спектров. |
|
Спектр mod(X*(j )) полностью определяется диапазоном частот (- 0/2,
0/2) или, в силу симметрии, – диапазоном (0, 0/2). Вообще, периодические временные функции имеют дискретные частотные спектры, а дискретные временные функции – периодические частотные спектры.
Непрерывный сигнал x(t) может быть теоретически восстановлен по сигналу х*(t) при условии фильтрации дополнительных (боковых) состав-
ляющих спектра X*( j ) , т. е. с помощью идеального полосового фильтра с амплитудной частотной характеристикой
151
1, 1 1 ; H( )
0, 1 и 1 .
Однако если частота квантования
Рис. 2.21. Частотный спектр импульсного сигнала при 0 2
0 меньше удвоенной наивысшей частоты 1, содержащейся в спектре входного сигнала,
основной и дополнительные спектры накладываются так, как показано на рис. 2.21. В этом случае сигнал x(t) не может быть восста-
новлен фильтрацией из сигнала на выходе ИИЭ.
Таким образом, можно сделать вывод, что если непрерывный сигнал x(t) обладает конечным спектром |X(j )| с частотой среза 1, то его квантова-
ние по времени с частотой 0 .2 1 не приводит к потере информации.
Отсюда следует, что, несмотря на близость физического смысла час-
тотных характеристик импульсных и непрерывных систем, существует и особенность этих характеристик для импульсных систем. Заключается она в том, что частотные характеристики импульсных систем устанавливают связь между гармоническими последовательностями (гармоническими решетчаты-
ми функциями) на входе и выходе импульсного фильтра с передаточной функцией W*(s) или W(z). Огибающие решетчатых функций изменяются по гармоническому закону и при этом, в отличие от непрерывной гармониче-
ской функции, гармоническая решетчатая функция в общем случае не явля-
ется периодической функцией n. Кроме того, амплитуды Аx, Ау не обязатель-
но являются теми максимальными значениями, которые могут достигать те или иные члены соответствующих последовательностей х(пТ), у(пТ). Ампли-
туды всегда будут определять лишь верхние границы, но не обязательно мак-
симумы членов этих последовательностей.
Если исходная информация о системе представлена импульсной пере152
даточной функцией W*(s) или W(z), то для перехода к частотным характери-
стикам используются замены аргументов s= j или z = еj T.
В результате такой замены аргумента получаем комплексный коэффи-
циент передачи импульсной системы
W* ( j ) W(ej T ). |
(2.218) |
Пусть импульсная передаточная функция имеет вид
W(z) |
B(z) |
|
b zm b |
|
zm 1 .... b z b |
|
||||||
|
|
|
m |
m 1 |
|
1 |
0 |
. |
(2.219) |
|||
A(z) |
a zn a |
n 1 |
zn 1 ... a |
z a |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
Сделав замену z = еj T, получим комплексный коэффициент передачи
W(ej T ) |
b ejm T b |
ej( m 1) T .... b ej T b |
|
|||
m |
m 1 |
1 |
0 |
. |
(2.220) |
|
a |
ejn T a |
|
|
|||
|
ej( n 1) T ... a ej T a |
|
||||
|
n |
n 1 |
1 |
0 |
|
|
Комплексный коэффициент передачи импульсной системы может быть представлен как
W* ( j ) U* ( ) jV* ( ) H* ( )ej * ( )
где U*( ), V*( ), H*( ), ( ) – соответственно вещественная, мнимая, ам-
плитудная и фазовая частотные характеристики импульсной системы. Оче-
видно, что для полученных характеристик справедливы полученные ранее выражения (2.204) и (2.205) частотных амплитудной и фазовой характери-
стик непрерывных систем и способы их построения.
Отметим /4/ основные особенности частотных характеристик импульс-
ных систем, которые вытекают из свойств импульсной передаточной функ-
ции.
1. Частотные характеристики импульсных систем являются периодиче-
скими функциями относительно частоты с периодом повторения 0 = 2 /Т.
Это означает, что при построении этих характеристик достаточно ограни-
читься изменением в диапазоне шириной 2 /Т, например от - /Т до /Т.
Если же учесть, что участки частотной характеристики в диапазоне от - /Т
до 0 и от 0 до /Т симметричны (поскольку W*(j ) и W*(-j ) – комплексные
153
сопряженные функции), то можно ограничиться построением частотной ха-
рактеристики в интервале изменения от 0 до /Т.
2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики импульсной систе-
мы заканчиваются на вещественной оси, так как для = /Т комплексный коэффициент передачи (2.220) всегда является действительным числом.
Свойство периодичности частотных характеристик импульсных систем физически объясняется стробоскопическим эффектом, который проявляется в том, что гармоническая решет-
чатая функция на входе им-
пульсного фильтра не изменяет-
ся при изменении частоты огибающей на любую величину,
кратную 0, т. е. последователь-
Рис. 2.22. Гармонические сигналы различных |
ность х(nТ) будет одной и той |
частот, соответствующие одной решетчатой |
|
функции |
же при всех частотах огибаю- |
|
|
щей, равных + k 0 (рис. 2.22). |
|
Для импульсных систем, так же как и для непрерывных, могут быть построены логарифмические частотные характеристики. Их построение ос-
новано на так называемом билинейном преобразовании |
|
||||||
z |
1 |
w |
|
(2.221) |
|||
|
w |
||||||
1 |
|
||||||
или, соответственно, |
|
|
|
|
|
||
w |
z 1 |
|
(2.222) |
||||
z 1 |
|||||||
|
|
|
|
т. е. на переходе от z-преобразования к w-преобразованию.
Сделав подстановку z = еj T, получаем из (2.222)
|
ej T 1 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w |
|
|
j tg |
|
j . |
(2.223) |
||
ej T 1 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
154 |
|
|
|
|
где tg T – так называемая относительная (безразмерная) псевдочасто-
2
та. Обычно вводится в рассмотрение абсолютная псевдочастота
2 2 tg T .
T T 2
Функция (2.221) однозначно отображает внутреннюю область единич-
ного круга (рис. 2.23, а) плоскости z в левую полуплоскость (рис. 2.23, 6)
плоскости w, при этом окружности единичного радиуса на плоскости z соот-
ветствует мнимая ось на плоскости w. Таким образом, плоскость w для им-
пульсных систем является аналогом плоскости s для непрерывных систем.
Для перехода от импульсной передаточной функции W(z) к частотной характеристике W(j ) следует сделать подстановку:
w |
1 w |
|
|
|
|
|
|
1 j (T |
2 ) |
. |
(2.224) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 w |
T |
1 j (T |
|
|||||||||
|
|
|
j |
|
2 |
) |
|
|
||||
|
w j |
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
Для относительно не-
сложных систем получаемый результат приемлем для практи-
ческого использования, но по мере усложнения структуры пе-
редаточных функций подста-
новка (2.224) приводит к гро-
моздким выражениям, расчет по
Рис. 2.23. Отображение круга единичного
радиуса плоскости z на плоскости w которым представляет доста-
точно сложную задачу. Теряется одно из основных достоинств метода логарифмических частотных характе-
ристик – простота построения самих характеристик.
Во многих случаях построение можно значительно упростить, если его производить приближенно и отдельно для областей низких < 2/Т и вы-
155
соких > 2/Т частот /4, 37/.
Для области низких частот приближенное выражение комплексного коэффициента передачи может быть получено непосредственно из переда-
точной функции непрерывной части подстановкой s=j и умножением на до-
полнительный множитель (1 - j (T/2)).
Псевдочастота в этой области практически совпадает с частотой входного сигнала и логарифмические частотные характеристики импульсной системы в области низких частот WH(j ), т. е. слева от частоты = 2/Т, будут совпадать с характеристиками непрерывной части W(j ). При этом в переда-
точной функции WH(j ) будут присутствовать только постоянные времени,
удовлетворяющие условию 1/Ti<2/T.
Для построения логарифмических частотных характеристик в области высоких частот необходимо записать передаточную функцию W(s) для об-
ласти частот > 2/Т и, последовательно применив z- и w-преобразования,
найти Wb (j ).
Например, если для области частот правее частоты = 2/Т передаточ-
ная функция непрерывной части имеет вид
W ( s ) |
kb |
, |
|
s(1 Tl 1s )(1 Tl 2s ) (1 Tns ) |
|||
|
|
где kb = ср (частота среза непрерывной части системы), то импульсная пере-
даточная функция в области высоких частот имеет вид
|
|
kbT |
n |
(1 di ) |
|
T |
|
Wb |
( z ) |
kb |
Ci |
, |
di e Ti . |
||
z 1 |
|
|
|||||
|
|
i l 1 |
z di |
|
Применив w-преобразование с последующей заменой w=j (T/2), полу-
чим выражение для частотной передаточной функции:
|
|
|
n |
|
Wb |
( j ) |
kb(1 j (T / 2)[1 j ((T / |
2) Ti |
|
|
i l 1 |
. |
||
j (1 j (T / 2)) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
156 |
|
|
Тогда комплексный коэффициент передачи импульсной системы:
n
[1 j (T / 2 Ti )](1 j (T / 2 ))
W( j ) WH |
( s) |
|
|
|
|
i l 1 |
. |
|
s j |
(1 |
|
j (T / 2 )) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Это выражение легко используется для построения логарифмических частотных характеристик.
2.4.5. Обобщенные частотные характеристики замкнутых систем автоматического регулирования и их связь с характеристиками
переходных процессов
В соответствии с (2.140) и (2.141) переходной процесс в системе опре-
деляется выражением
|
1 |
c j |
|
|
y(t ) |
Y(s)estds, |
(2.225) |
||
|
||||
|
2 j c j |
|
где Y(s) – изображение выходного процесса.
Представив Y(s) в виде суммы регулярной Yr(s) (когда все корни харак-
теристического уравнения Y(s) располагаются в левой полуплоскости) и не-
регулярной Yn(s) (когда корни характеристического уравнения Y(s) имеют
положительные или равные нулю вещественные части)
Y(s ) Yr (s ) Yn(s ), |
(2.226) |
перепишем (2.225) в виде |
|
y(t ) |
1 |
j Y (s )estds |
1 |
c j Y |
(s)estds y |
(t ) y (t ), (2.227) |
|
|
|||||
|
2 j |
r |
|
n |
r |
n |
|
j |
2 j c j |
|
|
где yr(t) и yn(t) – составляющие переходного процесса от регулярной и нере-
гулярной частей Y(s). В (2.227) учтено, что абсцисса сходимости с для регу-
лярной составляющей переходного процесса равна нулю.
Положив s=j , представим регулярную составляющую переходного процесса в виде
157
y |
(t ) |
1 |
Y ( j )ej td . |
(2.228) |
|
|
|||||
r |
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
||
Представив |
|
|
|
|
|
Yr ( j ) Rr ( j ) jSr ( j ), |
(2.229) |
где Rr(j ) и Sr(j ) – обобщенные вещественная и мнимая частотные характе-
ристики, а также учитывая, |
что |
ej t cos t jsin t |
перепишем (2.228) в |
||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(t ) |
|
1 |
|
|
R ( )cos t S |
|
( )sin t d |
|||||
|
2 |
|
|||||||||||
r |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.230) |
|
|
|
|
R ( )sin t S |
|
( )cos t d . |
||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
Учитывая, что функция Rr( ) – четная, а Sr( ) – нечетная, второй инте-
грал выражения (2.230) равен нулю. Последнее позволяет представить (2.230)
в виде
y |
(t ) |
1 |
|
R |
( )cos t S |
( )sin t d |
(2.231) |
|
|
||||||
r |
|
2 |
r |
r |
|
|
Полагая, что воздействие приложено в момент t=0, что подразумевает равенство нулю выходного сигнала для отрицательных значений t yr (t ) t 0 0 из (2.231) следует
y |
(t ) |
|
|
|
1 |
R ( )cos t S |
|
( )sin t d 0. |
(2.232) |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||
r |
|
|
t 0 |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Представив yr(t) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
yr (t ) yr (t ) |
|
t 0 |
yr (t ) |
|
t 0 |
(2.233) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
yr (t ) yr (t ) |
|
t 0 |
yr (t ) |
|
t 0 |
, |
(2.234) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
где yr (t ) t 0 определяется в соответствии с (2.231), получим
158
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yr |
(t ) |
|
Rr ( )cos t d ; |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(2.235) |
||
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
yr (t ) |
|
|
|
Sr ( )sin t d . |
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в соответствии с (2.227) переходной процесс в замкну-
той системе определяется выражениями
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(t ) yn |
(t ) |
|
Rr ( )cos t d ; |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
, |
(2.236) |
||
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
y(t ) yn |
(t ) |
|
|
|
Sr ( )sin t d . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
или с измененными пределами интегрирования
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(t ) yn |
(t ) |
|
Rr ( )cos t d ; |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
(2.237) |
||
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
y(t ) yn |
(t ) |
|
|
|
Sr ( )sin t d . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
Анализ (2.237) показывают, что вычислить переходные процессы с по-
мощью обобщенных вещественной или мнимой частотных характеристик можно только в том случае, если удастся определить нерегулярную состав-
ляющую переходного процесса yn(t).
Рассмотрим реакцию системы с передаточной функцией W(s) на еди-
ничное входное воздействие x(t)=1(t) при условии, что корни характеристи-
ческого уравнения расположены в левой полуплоскости. Тогда изображение выходного сигнала может быть представлено в виде
Y(s) W(s)L{ x(t )} |
W(s) |
. |
(2.238) |
|
|||
|
s |
|
В этом случае нерегулярная составляющая Yn(s) может быть представ-
лена в виде /8/
Y (s) |
W(0) |
. |
(2.239) |
|
n |
s |
|
|
|
159 |
Выражение (2.239) с учетом (2.226) и (2.238) позволяет представить ре-
гулярную составляющую в виде
|
|
Y (s) |
W(s) W(0 ) |
. |
|
|
|
(2.240) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
r |
|
|
s |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя в формулу (2.240) s=j и представив W(j ) виде |
|
||||||||||||||
|
|
W( j ) P( ) jQ( ), |
|
|
(2.241) |
||||||||||
где P( ) и Q( ) вещественная и мнимая частотные характеристики, рассмат- |
|||||||||||||||
риваемой системы, а так же учитывая, что Q(0)=0, получим |
|
||||||||||||||
Y ( j ) |
P( ) jQ( ) P(0 ) |
|
Q( ) |
j |
P(0 ) P( ) |
. |
(2.242) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из сопоставления (2.242) и (2.229) следует |
|
|
|
||||||||||||
|
R ( ) |
Q( ) |
; |
S |
( ) |
P(0) P( ) |
, |
|
(2.243) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка (2.243) в (2.237) с учетом того, что yn(t) = P(0) позволяет представить реакцию рассматриваемой системы на единичное входное воз-
действие в виде
|
|
|
2 |
|
|
|
cos t |
|
||
y(t ) P(0 ) |
|
Q( ) |
d ; |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
(2.244) |
|||
|
2 |
|
|
sin t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
y(t ) |
P( ) |
d . |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Полученные соотношения устанавливают связь между вещественной или мнимой частотными характеристиками и реакцией системы на единич-
ное входное воздействие при нулевых начальных условиях.
160