Учебное пособие 2055
.pdfОтвет: |
K ( 1 , |
2 ) |
8 |
3 |
|
, |
|
|
|
2 (3,5) . |
|||
3 |
44 |
|
|
|
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примеры для самостоятельного решения |
|||||||||||||
1. Дискретные случайные величины |
X и Y независимы |
||||||||||||
и имеют распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
4 |
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P |
|
0,3 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,4 |
0,6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите закон распределения случайной величины Z X Y
иее математическое ожидание.
2.Случайные величины X и Y независимы и каждая имеет показательный закон распределения с плотностью распре-
деления f (x) e x при x 0 и f (x) 0 при x 0 . Найдите плотность вероятности суммы этих величин.
3. Найдите математическое ожидание и среднее квадрати-
ческое отклонение случайной величины |
Z 3X Y 5 , если |
|
M(X ) 3 , M (Y) 5, D(X ) 2 , |
D(Y) |
1, а случайные вели- |
чины X и Y независимы. |
|
|
4. Случайные величины X и Y |
независимы и обе равномер- |
но распределены на отрезке [0, 2]. Найдите функцию плотности вероятности случайной величины Z X Y .
5. Пусть X1 и X 2 - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром . Найти распределение случайной величины Y X1 X2 .
6. Случайные величины X и Y независимы и каждая равномерно распределена на (0, 1). Найдите плотность вероятности случайной величины Z
81
7. Каждая из случайных величин X и Y равномерно распределена в интервале (0,1) . Полагая величины X и Y независимыми, найдите функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию для каждой из величин U min(X ,Y) и
Vmax(X ,Y ) .
8.Закон распределения двумерной случайной величины задан табл. 4.
Таблица 4
X |
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
Y |
1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
Y |
3 |
0,05 |
0,15 |
0,2 |
|
|
|
|
|
Найдите: а) безусловные законы распределения величин X и Y ; б) закон распределения X при условии, что Y 1 .
9. Равновозможны все положения случайной точки (X,Y) в треугольнике с вершинами A(0,0), B(2,0) и C(2,1) . Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y . Найти линию регрессии Y на X .
10.В примере №8 найдите корреляции между X и Y .
11.По известной функции плотности вероятности f (x)
случайной величины X |
найдите функцию плотности вероят- |
|||||
ности g(y) случайной величины. |
|
|
|
|
||
12. Система случайных величин |
( X1 , X2 ) имеет функцию |
|||||
плотности вероятности |
f (x1 , x2 ) |
|
2 |
|
. Найдите |
|
|
|
|
||||
2 (x2 |
1)(x2 |
4) |
||||
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
плотность распределения g( y1 , y2 ) |
двумерной случайной ве- |
|||||
|
82 |
|
|
|
|
личины |
(Y1 ,Y2 ) , если |
X1 tg(Y1 ) , X2 |
2tg(Y2 ) , |
|
Y1 |
|
/ 2 , |
|||||
|
Y2 |
|
/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
13. Задана табл. 5 распределения дискретной двумерной |
||||||||||
случайной величины (X,Y) . Определить: |
|
|
|
|
|
|||||||
а) безусловные законы распределения СВ (X,Y) ; |
|
|
|
|
||||||||
б) функцию распределения F (x, y) системы СВ (X,Y) ; |
|
|||||||||||
в) условный закон распределения СВ |
Y при |
X |
xi и |
|||||||||
M[Y / X |
xi ]; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) зависимость или независимость компонент X ,Y ; |
|
|
|
|
||||||||
д) центр рассеивания: точку M (mX ,mY ); |
|
|
|
|
|
|||||||
е) коэффициент корреляции rXY . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||
|
X / Y |
|
-1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0.15 |
|
0.3 |
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0.05 |
|
0.05 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Двумерная СВ распределена равномерно в области D . D – треугольник с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).
Определить: 1) двумерную плотность вероятности f (x, y) ;
2)одномерные плотности f1 (x), f2 (x);
3)зависимы или нет СВ (X,Y) ;
4)центр рассеивания: точку M (mX ,mY );
5)дисперсии DX , Dy ;
6)коэффициент корреляции rXY .
15. Задана табл. 6 распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) .Определить:
а) безусловные законы распределения СВ (X,Y) ; 83
б) функцию распределения F (x, y) системы СВ (X,Y) ;
в) условный закон распределения СВ Y при X xi и
M[Y / X |
xi ]; |
|
|
|
г) зависимость или независимость компонент X ,Y ; |
||||
д) центр рассеивания: точку M (mX ,mY ); |
|
|||
е) коэффициент корреляции rXY . |
|
|||
|
|
|
|
Таблица 6 |
X / Y |
|
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0.05 |
0.2 |
? |
|
|
|
|
|
1 |
|
0405 |
015 |
0.2 |
|
|
|
|
|
16. Дана плотность вероятности f (x, y) СВ (X,Y)
f (x, y) |
C(x3 |
y3 ), 0 x 1, 0 y 1; |
|
0 |
в остальных случаях. |
||
|
Определить:
1)параметр С;
2)одномерные плотности f1 (x), f2 (x);
3)зависимы или нет СВ (X,Y) ;
4)центр рассеивания: точку M (mX ,mY );
5)дисперсии DX , Dy ;
6)коэффициент корреляции rXY .
Ответы
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
6 |
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,12 |
0,46 |
|
0,42 |
|
, M (Z) |
7,3; |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ze |
z при z |
0 и |
f (x) |
0 при z |
0 ; |
|||||
f (z) |
|||||||||||
3. |
M(Z) 6 , |
|
(Z) 3 ; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
84 |
|
|
|
4. |
|
f (z) |
0, 25z |
при z |
[0, 2] , |
f (z) |
1 |
|
|
|
0, 25z |
|
при z |
[2, 4] , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
0 при остальных z ; |
|
5. f ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
|
f (z) |
0 при |
z |
0 , |
|
f (z) |
1/ 3 при |
|
z |
(0,1] , |
f (z) |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3z1,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при 1 |
|
z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. F(v) |
P(V |
v) |
0 при v |
0 , F(v) |
|
2v |
|
v2 |
|
при 0 |
v |
1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
F (v) |
|
1 при 1 |
v , M (V ) |
1/ 3 , D(V) |
|
|
|
1/ 18 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
F(u) |
|
P(U u) |
0 при u |
0 , |
F(u) |
|
u2 |
|
при 0 |
|
u |
1 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
F(u) |
|
1 при 1 |
u , M(U) |
|
2 / 3, D(U) |
1/ 18; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
X |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Y |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,2 |
|
|
0,4 |
0, |
|
|
|
P |
0, |
|
0, |
|
|
|
|
|
б |
|
P |
|
1/ |
|
1/ |
|
|
1/ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. rxy |
1 / 2 , y |
|
|
|
0,5x ; 10. rxy |
0, 08 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. g( y) |
|
f ( y) |
при 0 |
y |
1, |
g(y) |
|
f (x) при y |
0 и y |
1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
g( y , y ) |
4 / |
2 при |
|
y |
|
|
/ 2 , |
|
y |
2 |
|
|
|
|
/ 2 |
и g( y , y ) |
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
при остальных y1 и y2 .
ЗАНЯТИЕ № 11-12. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Если X - дискретная СВ, имеющая закон распределения (хk, рk) k=1, 2,..., который можно записать в виде табл. 7, и Y=
85
(Х), где -неслучайная функция, то Y также является дискретной CВ, причем ее возможные значения уk= (хk).
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xk |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
P(X) |
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pk |
|
… |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если (х) – монотонная функция, то все значения yk различны и P(Y=yk)=P(X=xk), то есть СВ Y имеет следующий закон распределения
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x1) |
(x2) |
… |
(xk) |
… |
|
|
|
|
|
|
P(Y) |
p1 |
p2 |
… |
pk |
… |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Если при этом (х) – немонотонная функция, то среди
ее значений у1, у2, у3,…,уk,… могут быть одинаковые. В этом случае столбцы с равными значениями (хi) объединяются в один столбец, а соответствующие вероятности складываются, т. е.
P Y yk |
P X xi . |
i: xi |
yk |
Если Х – непрерывная СВ с ФР F(x) и плотностью вероятности f(x) и Y= (х), причем (х) – монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция, а х= -1(у) – обратная функция, то
F(y)=P(Y<y)=P( (х)<y)=P(X< -1(х))=F[ -1(х)].
Дифференцируя последнее равенство по у, получаем
86
F y F |
-1 |
y |
d |
-1 y |
или f y f |
-1 y |
d |
-1 |
y . |
|
|
||||||||
|
dy |
dy |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y= |
(x) |
|
|
|
|
|
Y<y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
X<x |
x |
x |
|
|
|
Если у=φ(х) - монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:
F(y)=1-F[φ-1(y)], f(y)= -f[φ-1(y)] dyd [φ-1(y)].
y
y= (x)
y |
|
|
Y<y |
|
|
0 X<x |
x |
x |
Выражения для плотности вероятности СB Y и для монотонно возрастающей и для монотонно убывающей функции φ(х) можно объединить:
f y |
f |
1 y |
|
d |
1 y |
. |
|
|
|
|
|||||
dy |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим непрерывную случайную величину |
с плотно- |
||||||
стью распределения |
f (x) |
и случайную величину |
( ) с |
плотностью распределения g(y) . По определению функция распределения F ( y) случайной величины равна
87
F ( y) P( |
y) |
f (x)dx |
D x : (x) y |
f (x)dx . |
|
|
D |
( x) y |
Числовые характеристики находятся по формулам:
(xk )P( X xk ), если X дискретная СВ;
k
my
|
(x) f (x)dx, |
если X |
непрерывная СВ. |
|||||
( |
(x ) |
m |
y |
)2 |
P( X |
x ), если X дискретная СВ; |
||
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
(x) |
m |
y |
)2 |
f (x)dx, если X непрерывная СВ. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|||||
Для случайного вектора |
2 с плотностью распределе- |
|||||||
ния f (x, y) если |
|
|
|
( 1, 2 ) , то |
|
|||
|
M |
|
|
|
(x, y) f (x, y)dxdy. |
Пример 1. Найти закон распределения СB. Y=(Х-т)/σ, если СВ X подчиняется нормальному закону N(m,σ).
Решение. В нашем случае Y=(1/σ)Х-т/σ, т.е. а=1/σ, b=-
т/σ. Вспоминая формулу для плотности распределения нормального закона N(m,σ) и учитывая формулу (3), получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y m / |
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||
f |
y |
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
e y |
/ 2 , |
|||||||
m / |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
т.е. |
СВ Y распределена по закону N(0,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда N m, |
|
|
|
Y X |
m / |
N 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Логарифмически нормальное распределение.
88
CB X распределена нормально по закону N(m,σ). Найти плот-
ность распределения |
СB |
Y== |
(Х); y (x) ex отсюда |
|||
x ln y |
1( y) и следовательно, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
N m, |
f x |
1/ |
|
2 e x m / 2 . |
f(y)
0 em / 2 y
Функция ех – монотонно возрастающая всюду, поэтому нахо-
дим f y |
1 |
|
|
1 |
e ln y m / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
y |
|
|
||
|
M y em / 2 , D y e2m |
|
e 1 . |
|||||
Пример 3. Распределение Пирсона |
2 |
с n степенями сво- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
боды. Пусть |
i |
N(0,1) и независимы. Тогда |
|
|
имеет плотность распределения
2 |
2 |
2 |
n |
1 |
n |
|
|
1 |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
e |
x 2 , x |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
fn (x) |
|
2n 2 Г (n 2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x |
0, |
|
|
где Г ( |
) |
1 |
x |
dx |
– Гамма-функция. M |
2 |
n , |
||||
x e |
|
n |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 2 |
2n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
Пример 4. Распределение Стьюдента с n степенями свобо-
ды T (n) |
u |
|
n |
|
, |
где |
|
u N(0,1) , v |
2 , u, v |
– независимые |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
случайные величины, имеет плотность распределения |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Г |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
fn |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Г |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MTn 0 , |
|
|
|
DTn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
, |
|
n 2 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. |
|
Плотность распределения случайной величины |
|||||||||||||||||||||||||
равна |
f (x) |
1 |
|
|
|
|
. |
Найти |
плотность |
распределения |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(1 |
|
|
x2 ) |
||||||||||||||||||||||||
g(y) случайной величины |
|
|
|
1/ . |
|
|
|
Решение. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов; слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру:
f |
x |
|
|
f (x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
x |
|
y |
1 x |
|
|
|
||||||
x |
|
( y) |
|
x |
1 y |
|
|
|
||||||
x |
|
y |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
, |
|
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
g |
y |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
g y |
1 1 y2 |
|
|
|
y2 |
|
1 y2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|