Методическое пособие 514
.pdf2.5.2. Статически неопределимые стержневые системы
Для определения усилий в статически неопределимых системах, подвергающихся деформации, условия равновесия системы сил из статики являются необходимыми.
Для составления уравнений равновесия можно использовать любую из трёх эквивалентных форм условий равновесия плоской системы сил:
1) Первая или основная форма. Для равновесия плоской системы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю:
n |
n |
|
n |
|
|
|
Pix |
0, |
Piy 0, |
mA (Pi ) 0 . |
(2.19) |
||
i 1 |
i 1 |
i |
1 |
|
|
|
2) Вторая форма или теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, приложенных к телу, необходимо, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
mA (Pi ) 0, |
mB (Pi ) 0, |
mC (Pi ) 0 , (2.20) |
||||||
i 1 |
i 1 |
i 1 |
||||||
где точки A , |
B и C не лежат на одной прямой. |
3) Третья форма: Для равновесия плоской системы сил, приложенных к телу, необходимо, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю:
40
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
mA (Pi ) |
0, |
mB (Pi ) 0, |
Pix 0 , |
(2.21) |
||||
i 1 |
|
i 1 |
|
i |
1 |
|
||
где за |
ось |
Ox |
принята |
любая |
прямая, не |
перпендикулярная AB .
Однако данные условия не являются достаточными. Их следует дополнить уравнениями совместности перемещений, основанными на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании развернутого закона Гука. Необходимое число этих дополнительных уравнений равно степени статической неопределимости системы n .
Для определения усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, используют следующий алгоритм.
1)Создаем силовую схему. Отбрасываем связи, наложенные на систему, заменяя их неизвестными усилиями и реакциями согласно аксиоме связей статики. Если имеем систему сходящихся сил, то применяем метод вырезания узлов.
2)Составляем независимые уравнения статики, содержащие неизвестные усилия, и устанавливают степень
статической неопределимости системы. Если n 0 , то задача статически определимая и её решение проводится в соответствии с разделом 2.5.1. Если n 0 , то задача статически неопределимая. Параметр n показывает, сколько надо составить дополнительных уравнений совместности перемещений, чтобы решить задачу.
4)Создаем схему совместности перемещений. Рассматриваем систему в деформированном состоянии: устанавливаем связь между деформациями и перемещениями отдельных ее элементов и составляем уравнения совместности перемещений.
5)С помощью развернутого закона Гука входящие в уравнения совместности перемещений абсолютные удлинения стержней выражаем через действующие в них усилия, и получаем уравнения, содержащие неизвестные усилия.
41
6) Решаем систему уравнений, состоящую из уравнений статики (п. 2) и уравнений совместности перемещений (п. 5), определяем неизвестные усилия.
2.6. ЗАКОН ПУАССОНА
Рассмотрим стержень, который
растягивается продольной силой Р (рис. 2.6). Опытным путём установлено, что даже при очень небольших деформациях стержня в продольном направлении его поперечные размеры изменяются. Удлинение в продольном направлении вызывает сужение в поперечном направлении. И наоборот: укорочение в
продольном направлении сопровождается Рис. 2.6 поперечным расширением. Т.о., при растяжении тело удлиняется и становится тоньше, а при сжатии укорачивается и становится толще. Поперечные деформации при растяжении или сжатии пропорциональны продольной деформации.
Если |
обозначить |
относительную |
продольную |
|||
деформацию |
через |
, |
а относительную |
поперечную |
||
деформацию через n , то: |
|
|
||||
|
а |
а0 |
, |
|
|
(2.22) |
n |
а |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
(2.23) |
|
|
|
|
|
|
Соотношения (2.22) и (2.23) установлены эмпирическим путем. Коэффициент пропорциональности – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Это безразмерная величина. Симон Пуассон полагал, что коэффициент для всех материалов одинаков и равен 0,25. Однако позднейшие опыты показали, что это не так, его величина лежит в пределах от 0 до 0,5. В практических
расчетах для стали принимают |
равным 0,3; за упругими |
пределами растет до 0,5. |
|
42
2.7. ЗАДАЧА Р1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен сосредоточенными силами Pi и
распределенной нагрузкой интенсивностью qi (рис. Р1.0–Р1.9).
Определить силы реакции. Построить эпюры нормальной силы и нормального напряжения. Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении для его материала [ ] 160 МПа. Проверить жесткость стержня, если допускаемое перемещение [ l] 0,5 мм. Собственным весом стержня пренебречь,
E 2 105 МПа. Численные данные приведены в таблице Р1.
Рис. Р1.0 |
Рис. Р1.1 |
Рис. Р1.2 |
Рис. Р1.3 |
43
Рис. Р1.4 |
Рис. Р1.5 |
Рис. Р1.6 |
Рис. Р1.7 |
Рис. Р1.8 |
Рис. Р1.9 |
44
Таблица Р1
№ |
a , |
b |
c |
d |
F1 |
F2 |
F3 |
F , |
P1 |
P2 |
P3 |
q1 |
q2 |
q3 |
q , |
|
м |
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
кН / м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
a |
2a |
3a |
3F |
5F |
4F |
2 |
2qa |
|
6qa |
|
5q |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,8 |
2a |
3a |
1,5a |
2F |
3F |
4F |
4 |
5qa |
|
|
4q |
|
3q |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1,0 |
3a |
4,5a |
a |
4F |
F |
3F |
5 |
10qa |
4qa |
|
|
|
q |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,2 |
a |
3,5a |
2a |
5F |
2F |
4F |
2 |
|
|
4qa |
3q |
|
2q |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1,4 |
2a |
1,5a |
4a |
5F |
6F |
3F |
3 |
5qa |
|
|
|
3q |
7q |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,7 |
1,5a |
a |
2a |
3F |
F |
6F |
3 |
3qa |
5qa |
|
|
6q |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0,6 |
3a |
2,5a |
a |
F |
4F |
2F |
4 |
6qa |
|
7qa |
5q |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,9 |
2a |
5a |
3a |
5F |
2F |
3F |
4 |
|
3qa |
|
2q |
|
4q |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1,3 |
3a |
a |
5a |
3F |
2F |
F |
6 |
|
10qa |
5qa |
8q |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1,1 |
3a |
4a |
2a |
2F |
1,5F |
3F |
5 |
7qa |
|
3qa |
|
4q |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
Указания. Задача Р1 – на расчет на прочность и жесткость статически определимого ступенчатого стержня при растяжении. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 2.5.1. Подробный ход решения аналогичной задачи приведен в примере Р1.
Пример Р1. Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен сосредоточенной силой P и распределенной
нагрузкой интенсивностью q |
|
(рис. 2.7). Определить реакцию |
Рис. 2.7 |
|
защемления. Построить эпюры нормальных сил и напряжений. Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении [ ] для его материала. Проверить жесткость стержня при
допускаемом перемещении [ |
l] . Собственным весом стержня |
|||||||
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: F 103 |
мм2 , |
a |
1 м , Р |
10 |
кН , q 30 |
кН |
, |
|
м |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
E 2 105 МПа, [ ] |
200 |
МПа, [ l] |
0,5 |
мм . |
|
|
Решение:
1) Стержень защемлен с одной стороны. Отбрасываем
заделку, заменяя её силой реакции R (рис. 2.8 а). Для определения реакции защемления составим уравнение равновесия в проекции на ось балки:
n
Piz 0 : P qa R 0 .
i 1
Вычисляем:
R 10 30 1 20 кН .
Знак минус указывает, что истинное направление реакции заделки противоположно изображенному на рис. 2.8 а.
46
Рис. 2.8
2)Разобьем стержень на 2 участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, резко (скачком) изменятся распределенная нагрузка или площадь поперечного сечения. На каждом участке запишем выражение для нормальных сил и нормальных напряжений.
3)1 участок: 0 z 2a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z1 (рис. 2.9). Составим
условия равновесия для участка:
47
n
Piz 0 : N1 P 0 .
i 1
Отсюда нормальная сила
N1 P 10 кН .
Нормальное напряжение
|
|
|
|
N |
P |
10 103 H |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
МПа. |
||||
|
|
|
F1 |
F |
103 мм2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Удлинение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
N l |
|
|
2Pa |
|
|
2 104 H 103 мм |
||||||||||||
l1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1E |
|
|
FE |
103 мм2 |
|
2 105 |
|
Н |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мм2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На |
|
|
этом |
участке |
нормальные |
|
|
|
|
||||||||||||||
сила и напряжение постоянны, участок |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
сжимается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
2 |
|
участок: |
|
|
2a |
z |
|
3a . |
|
|
|
|
||||||||||
Рассечем |
|
|
этот участок |
произвольным |
|
|
|
|
|||||||||||||||
поперечным |
сечением |
z2 |
(рис. |
2.10). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Составим |
|
|
|
условия |
равновесия |
|
для |
|
|
|
|
||||||||||||
участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Piz |
0 : |
|
N 2 |
P q(z2 |
2a) 0 . |
|||||||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальная сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
N 2 |
|
|
|
|
P q(z2 |
2a) кН . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислим |
значения |
нормальной |
|
силы |
|||||||||||||||||||
участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
N2 |
z |
2 |
2a |
10 |
30(2 1 |
|
2 1) |
10 |
кН , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N2 |
|
z |
2 |
3a |
10 |
30(3 1 |
|
2 1) |
20 |
|
кН . |
||||||||||||
Нормальное напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9
0,1 мм .
Рис. 2.10
на границах
48
2 |
|
|
N2 |
|
P q(z2 2a) |
|
|
qz2 |
|
P 2qa |
МПа. |
||
|
|
F2 |
2F |
|
|
|
|
2F |
2F |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим значения нормального напряжения на |
|||||||||||||
границах участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
z2 |
2a |
10 103 H |
5 |
МПа, |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
2 103 мм2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 103 H |
|
|
|
10 МПа. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
z2 |
3a |
2 103 мм2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Удлинение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
N |
2 |
3a |
P |
3a |
l2 |
|
|
|
dz |
|
dz |
|
F2 E |
2FE |
||||
|
2a |
2a |
2a |
|||
|
|
|
|
q(z 2a)dz 2FE
|
P |
|
|
q(z 2a)2 |
|
3a |
|
Pa qa2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2FE |
|
|
4FE |
|
2a |
2FE |
|
4FE |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
10 103 H 103 мм |
|
|
30 10 |
3 Н |
1м 10 |
3 |
мм |
|
|||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
||||||||||||||
2 103 |
мм 2 2 105 |
|
|
Н |
|
4 103 мм 2 |
2 105 |
|
|
Н |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
мм 2 |
|
мм 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,025 |
|
0,0375 0,0125 мм . |
|
|
|
|
|
|
|
|
На этом участке нормальные сила и напряжение изменяются по линейному закону, участок растягивается.
5) По полученным данным в системе координат "N z" строим в масштабе эпюру нормальных сил (рис. 2.8б). Очевидно, что для определения реакции защемления не было необходимости составлять уравнение, как мы это проделали в п.1. Это значение можно «снять» с построенной эпюры в месте заделки.
Проведем анализ эпюры N (z) . Точки разрыва I рода
(скачки) возникают в местах, где возникают (исчезают) сосредоточенные силы. В нашем случае таких точек две: одна создается силой P , другая – реакцией заделки.
49